一数学归纳法 (4).ppt

1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,1.数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是使命题成立的.,正整数,最小正整数,2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n时，验证命题成立；(2)假设n时命题成立，推证当n时命题也成立，从而推出对所有的命题成立.,k1,n0(n0N*),k(kn0，kN*),nn0，nN*,思考探究数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？,提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推.两者缺一不可.,1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.0,解析：因为n3，所以，第一步应检验n3.,答案：C,2.用数学归纳法证明1aa2an1(a1)，在验证n1时，等式左端计算所得的项是()A.1B.1aC.1aa2D.1aa2a3,解析：因为当n1时，an1a2，所以验证n1时，等式左端计算所得的项是1aa2.,答案：C,3.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是()A.2k1B.2(2k1)C.D.,解析：当nk(kN*)时，左式为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1).,答案：B,4.用数学归纳法证明：，第一步应验证左式是，右式是.,解析：令n1则左式为1，右式为.,答案：,5.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k).,解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).,答案：,1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中nk和nk1时之间的联系.,2.用数学归纳法证明与正整数有关的等式时，通常采用的步骤为：(1)找出f(k1)与f(k)的递推关系；(2)把归纳假设f(k)g(k)代入；(3)作恒等变形把f(k1)化为g(k1).,特别警示运用数学归纳法需注意以下几点：nn0时，n0的取值；两个步骤，缺一不可；证nk1成立时必须用上归纳假设.,对于nN*，用数学归纳法证明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2).,思路点拨,课堂笔记设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立；(2)假设当nk时等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)，则当nk1时，,f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k11)(k1)(k2)(k3).nk1时等式也成立.由(1)(2)可知，当nN*时等式都成立.,用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明.,特别警示如果在数学归纳法证题的过程中，没有运用归纳假设，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.,已知数列an，an0，a10，1.求证：当nN*时，anan1.,思路点拨,课堂笔记(用数学归纳法证明)(1)当n1时，因为a2是方程x2x10的正根，所以a1a2.(2)假设当nk(kN*，k1)时，0akak1，因为,(ak21)(ak11)(ak2ak1)(ak2ak11)0，所以ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立.根据(1)和(2)，可知anan1对任何nN*都成立.,把题设条件中的“an0”改为“当n2时，an1”，其余条件不变，求证：当nN*时，an1an.,证明：(1)当n1时，因为a2是x2x10的负根，所以a1a2.(2)假设当nk(kN*，k1)时，ak1ak，,(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10，又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即当nk1时，命题成立.由(1)(2)可知，当nN*时，an1，(8分),|xn1xn|xnxn1|()2|xn1xn2|()n1|x2x1|()n1.(11分)综上：nN*时，|xn1xn|()n1.(12分),自主体验设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点(n，)都在函数f(x)x的图象上.(1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；,(2)将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b5b100的值.,解：(1)因为点(n，)在函数f(x)x的图象上，故n，所以Snn2an.令n1，得a11a1，所以a12；令n2，得a1a24a2，所以a24；令n3，得a1a2a39a3，所以a36.,由此猜想：an2n.用数学归纳法证明如下：当n1时，由上面的求解知，猜想成立.假设nk(k1，且kN*)时猜想成立，即ak2k成立，则当nk1时，注意到Snn2an(nN*)，故Sk1(k1)2ak1，Skk2ak.两式相减，得ak12k1ak1ak，所以ak14k2ak.,由归纳假设得，ak2k，故ak14k22k2(k1).这说明nk1时，猜想也成立.由知，对一切nN*，an2n都成立.,(2)因为an2n(nN*)，所以数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，.每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是,等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b1006824801988.又b522，所以b5b1002010.,1.如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立.若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是()A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立,解析：由题意nk成立，则nk2也成立，又n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立.,答案：B,2.设f(n)，nN*，那么f(n1)f(n)()A.B.C.D.,解析：用数学归纳法证明有关问题时，分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然，当自变量取n时，等式的左边是n项和的形式.,答案：D,3.下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A.667kB.27k1C.2(27k1)D.3(27k),解析：本题考查用数学归纳法证明整除性问题.(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除.(2)假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立.,答案：D,4.猜想11,14(12),149123，第n个式子为.,答案：149(1)n1n2(1)n1(123n),5.设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)；当n4时，f(n)(用n表示).,解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数.f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.,累加，得f(n)f(2)234(n1)(n2).f(n)(n1)(n2).,答案：5(n1)(n2),6.求证：当n1(nN*)时，(12n)(1+)n2.,证明：(1)当n1时，左边右边，命