FIR滤波器窗函数设计

题目名称：FIR滤波器窗口函数设计FIR滤波器窗口函数设计导言：数字滤波器是指输入和输出为离散时间信号，通过一定的运算关系改变输入信号中包含的频率成分的相对比例或对某些频率成分进行滤波的装置。在许多数字信号处理系统中，例如图像信号处理，有限脉冲响应(FIR)滤波器是最常用的部件之一，其执行信号预调制、频带选择和滤波功能。FIR滤波器在截止频率边缘没有IIR滤波器陡，但具有严格的线性相位特性和良好的稳定性。它可以设计成多通带(或多阻带)滤波器组，因此可以广泛应用于数字信号处理领域。一、数字滤波器的分类(1)根据系统响应函数的时间特性，分为两种类型1.有限脉冲响应数字滤波器网络特点：无反馈支路，单位脉冲响应长度有限。2.无限脉冲响应数字滤波器网络特点：有一个反馈支路，即信号流程图中有一个回路，其单位脉冲响应是无限的。(FIR数字滤波器和IIR数字滤波器的区别1.就性能而言，IIR滤波器的传递函数包括两个可调因子：零点和极点。极点的唯一极限是在单位圆内。因此，可以用更低的阶数获得更高的选择性，使用更少的存储单元，计算量小，并且效率高。然而，这种高效率是以相位非线性为代价的。选择性越好，相位非线性越严重。FIR滤波器传递函数的极点固定在原点，不能移动。它只能通过改变零位来改变其性能。因此，为了实现高选择性，必须使用更高的顺序。对于相同的滤波器设计指标，FIR滤波器要求的阶数可以比IIR滤波器高5-10倍，但FIR滤波器可以获得严格的线性相位。2.在结构上，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。相反，只要FIR滤波器采用非递归结构，无论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，因此引起的频率特性误差也很小。此外，FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法。在相同的顺序条件下，运算速度可以快得多。3.从设计工具的角度来看，IIR滤波器可以依赖于模拟滤波器的结果，因此通常有有效的闭合形式设计公式用于精确计算。计算工作量相对较小，对计算工具的要求不高。从以上简单的比较可以看出，IIR和FIR滤波器各有优势，在实际应用中应该从多方面进行选择。从使用要求来看，IIR更适合于对相位要求不敏感的场合，如语言交流，从而充分发挥其经济高效的特点。对于图像信号处理、数据传输和其他以波形承载信息的系统，线性相位要求很高。如果有条件，FIR滤波器更好。此外，不管IIR和FIR，阶数越高，信号延迟越大。同时，在IIR滤波器中，阶数越高，对系数的精度要求越高。否则，很容易造成有限字长误差，并将极点移出单位圆。因此，订单选择需要综合考虑。二。FIR数字滤波器的设计(一)FIR滤波原理FIR滤波器的系统输入输出差分方程为：因此，FIR滤波器的系统功能是：由于FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是一个有限长度序列，所以H (z)是Z-1的次多项式，在Z平面上有(n1)个零，在原点有(n1)阶重极点。因此，H(z)总是稳定的。FIR滤波器设计的任务是选择有限长度h(n)，使传递函数H(EJ)满足一定的幅度特性和线性相位要求。由于FIR滤波器可以很容易地实现严格的线性相位，所以FIR数字滤波器设计的核心思想是寻找有限的脉冲响应来逼近给定的频率响应。(FIR滤波器窗函数的设计原则窗函数法的设计思想是根据所需的理想滤波器频率响应HD(EJ)设计一个FIR滤波器，使其频率响应hej=近似HD(EJ)。理想滤波器的脉冲响应序列hd(n)由HD(Ej)的傅里叶逆变换得出，即：hdn=12-Hd(EJ)EJnd因为Hd(ej)是一个矩形频率特性，所以hdn是一个无限序列并且是非因果的，而要计数的FIR滤波器的脉冲响应序列在长度上是有限的，所以有限序列h(n)被用来近似无限序列hdn，并且最有效的方法是截断hdn，或者用有限窗口函数w(n)序列截断hdn，即3336HN=W (n) HDN。根据复卷积公式，时域中的乘积关系可以表示为频域中的周期卷积关系，从而获得所设计的FIR滤波器的频率响应：h(EJ)=12-HdejW(EJ(-)d其中，W(ej)是截断窗口函数的频率特性。由此可见，实际FIR数字滤波器的频率响应H(ej)接近理想滤波器频率响应Hd(ej)，这完全取决于窗函数的频率特性W(ej)。如果w(n)具有以下形式：W(n)相当于一个矩形，我们称之为矩形窗口。也就是说，我们可以使用矩形窗函数w(n)截取无限脉冲响应hdn的一个段hn来近似hdn。通过添加矩形窗口获得的滤波器的实际频率响应能很好地接近理想频率响应吗？下图显示了带有矩形窗口的理想过滤器。理想低通滤波器的频率响应Hd(ej)如图左上角所示，矩形窗口的频率响应W(ej)如图左下角所示。根据卷积定理，实际滤波器的频率响应h(EJ)图如图所示。从图中可以看出，增加矩形窗口后，实际频率响应偏离理想频率响应，主要影响有三个方面：(1)在理想幅频特性的陡峭边缘形成过渡区，过渡带宽取决于矩形窗函数频率响应的主瓣宽度。(2)在过渡区的两侧形成肩峰和波纹，这是由矩形窗函数的频率响应的旁瓣引起的。旁瓣的相对值越大，旁瓣越多，波纹越多。(3)随着窗函数宽度n的增加，矩形窗函数频率响应主瓣宽度减小，但旁瓣相对值不变。为了提高滤波器的性能，窗函数谱应满足：主瓣应尽可能窄，使设计的滤波器具有陡峭的过渡带；第一侧瓣的面积相对于主瓣的面积尽可能小，即能量尽可能多地集中在主瓣中，泄漏较少，使得所设计的滤波器的肩峰和残余振动小并且接近理想滤波器。然而，这两个条件是矛盾的。在实际应用中，应进行折衷，并考虑各种指标。(MATLAB信号处理中提供的窗口功能上面只考虑了一个矩形窗口。如果我们使窗口主瓣的宽度尽可能的窄，旁瓣尽可能的小，我们可以得到一个性能更好的滤波器。我们可以通过改变窗户的形状来达到这个目的。在数字信号处理的发展过程中，形成了许多不同于矩形窗口的窗口函数。这些窗函数在主瓣和旁瓣特性上有自己的特点，可以满足不同的要求。因此，在用窗函数法设计FIR数字滤波器时，窗宽n和窗函数w(n)应根据给定的滤波器性能指标来选择。下面描述几种类型的窗口功能及其特征。1.矩形窗口矩形窗函数的时域形式可以表示为：其频域特性是：2.汉宁窗函数汉宁窗函数的时域形式可以表示为：其频域特性是：其中是矩形窗函数的幅频特性函数。汉宁窗函数的最大旁瓣值比三角窗函数的主瓣宽度为8/N，是矩形窗函数的两倍，但其旁瓣宽度要小得多。(4)各窗函数的图形和幅频特性1.用MATLAB编程绘制各种窗口函数的形状，窗口函数的长度为21。程序如下：clf。Nwin=21n=0:n win-1；图(1)对于ii=1:4开关ii案例1w=棚车(Nwin)；%矩形窗口Stext=矩形窗口；案例2w=hanning(Nwin)。% Hanning窗口Stext=汉宁窗；案例3w=汉明(Nwin)；% hamming窗口Stext=汉明窗；案例4w=triang(Nwin)；%三角形窗口Stext=三角形窗口；目标posplot=2，2，int2str(ii)；子情节(posplot)；茎(n，w)；%绘制窗口功能继续图(n，w，r)；%绘制信封XL Abel(n)；伊拉贝尔(w(n)；标题(stext)；拖延；网格打开；目标程序运行结果如下：2.每个窗函数的幅频特性由512个频率点用MATLAB编程绘制。程序如下：clf。Nf=512。%窗口函数复频率特性的数据点数Nwin=20%窗口函数数据长度图(1)对于ii=1:4开关ii案例1w=棚车(Nwin)；%矩形窗口Stext=矩形窗口；案例2w=hanning(Nwin)。% Hanning窗口Stext=汉宁窗；案例3w=汉明(Nwin)；% hamming窗口Stext=汉明窗；案例4w=triang(Nwin)；%三角形窗口Stext=三角形窗口；目标y，f=频率(w，1，Nf)；%求解窗函数的幅频特性mag=ABS(y)；%来获得窗函数振幅频率特性posplot=2，2，int2str(ii)；子情节(posplot)；绘图(f/pi，20 * log10(mag/max(mag)；%绘制窗口函数的幅频特性Xlabel(归一化频率)；伊拉贝尔(振幅/分贝)；标题(stext)；网格打开；目标程序运行结果如下：从上图中每个窗函数的幅频特性可以看出，每个窗函数都有明显的主瓣和旁瓣。主瓣的带宽和旁瓣的幅度衰减决定了窗函数的应用。矩形窗口主瓣最窄，但旁瓣峰值也最大(第一旁瓣衰减为13dB)；不同的窗口函数在这两个方面有不同的特点，所以应该根据具体问题来选择。一般来说，汉明窗和汉宁窗的主瓣具有较小的旁瓣和较大的衰减速度，这是一种常见的窗函数。下表列出了各种窗口函数的主瓣和旁瓣特性：每个窗口功能的特征表窗口函数主瓣带宽第一旁瓣相对于主瓣的衰减(分贝)矩形窗口4N-13汉宁窗8N-31海明窗8N-41三角窗8N-25此外，主旁瓣频率宽度也与窗函数长度n有关。增加窗函数的长度n将减小窗函数主瓣的宽度，但不能减小旁瓣幅度衰减的相对值(分贝)，该值由窗函数决定。例如，绘制了矩形窗口函数的幅频响应，窗口长度为：(1)N=10；(2)N=20；(3)N=50；(4)当n=100时的曲线图如下：从上图可以看出，随着n的增加，主瓣和旁瓣都变窄，但是第一旁瓣的幅度相对于主瓣减小了相同的分贝数，第二旁瓣的幅度相对于第一旁瓣减小了相同的分贝数。然而，随着N的增加，旁瓣的数量也增加。减小主瓣宽度和抑制旁瓣是一对矛盾，不能同时实现，只能根据不同的目的来处理。第三，利用窗口功能设计数字滤波器信号分析中使用的窗口函数可以根据滤波器的指数进行不同的选择。对于滤波器的窗函数，通常要求窗函数主瓣的宽度窄，以获得更好的过渡带。旁瓣的相对值尽可能小，增加了通带的平滑度，增加了阻带的衰减。窗函数设计方法的基本原理是截取具有一定宽度窗函数的无限脉冲响应序列，得到有限长度脉冲响应序列。主要设计步骤如下：(1)获得单位脉冲响应hdn理想的fi(2)根据hn=w(n)hdn，求出实际滤波器的单位脉冲响应HN；(3)检查过滤器的性能。FIR滤波器是按照上述步骤设计的：首先，示例1要求使用窗函数设计线性相位FIR低通滤波器，并且满足性能指标：通带边界的归一化频率WP为0.5，阻带边界的归一化频率ws=0.66，阻带衰减不小于30dB，并且通带纹波不大于3dB。假设一个信号，其中F1=5Hz，F2=20Hz。信号的采样频率为50Hz。尝试将原始信号与通过滤波器的信号进行比较。根据要求：阻带衰减不小于30dB，根据窗函数特征表选择汉宁窗，满足滤波要求；在窗函数设计方法中，要求设计频率归一化到0范围，奈奎斯特频率对应于，因此通带和阻带边界频率分别为0.5和0.66。程序如下：wp=0.5 *