6-数值积分与微分

科学计算与MATLAB，讲座：中南大学材料科学与工程学院，唐建国，2013年10月，第6讲数值积分与微分，执行摘要，介绍数值积分矩形积分逼近计算梯形积分逼近计算抛物线积分逼近计算牛顿-柯特斯公式自适应(Simpson)求积高斯求积数值微分MATLAB积分与微分函数摘要1。高斯定理简介：在真空中的静电场中，通过任何封闭表面的电通量等于表面中所有电荷的代数和的1/0，与封闭表面外的电荷无关。理论计算和实际应用中存在许多积分问题。环定理：在静电场中，沿任何闭合路径的场强的线积分等于零。对于定积分问题，只要得到原函数，就可以使用牛顿-莱布尼茨公式。对于实际的物理问题，被积函数是复杂的，不能得到原函数。我不知道被积函数的解析表达式，但我可以通过实验得到被积函数的一些离散函数值。对于上述现象，牛顿-莱布尼茨公式很难起作用，只能建立一种近似的积分计算方法。定积分的几何意义，f(x)，基本思想：用积分区间上某些离散点的函数值的线性组合来计算定积分的近似值。没有必要寻求原始函数。插值型求积公式，不管函数有多复杂或从实验中获得一些离散数据，都可以用一个简单的插值多项式来近似。从而获得n 1个数据点，1个计算2个实验测量值的函数，使用这些数据点，可以获得插值多项式，并且积分为：插值型求积公式，f (x)，y (x)。插值方法在较大的积分区间有较大的误差，一般的方法是细分积分区间，并在单元间范围内用低阶插值多项式逼近。为了便于数值计算，积分区间通常分为n个等长的单元格：步长，节点，f (x)，xk，xk1，f (xk)，f (xk1)，在MATLAB中提供的积分函数：矩形积分近似计算梯形积分近似计算抛物线积分近似计算牛顿-柯特公式高斯求积法菱形求积法样条函数求积法辛普森奇异积分重积分计算1.2数值微分，被称为20世纪美国人口统计：(单位33，360万)，尝试计算美国如果t时刻的人口是x(t)，那么人口增长率是：问题：我们如何找到dx/dt？基本思想是用函数值的线性组合来近似函数在某一点的导数。2。数值积分，2.1矩形积分近似计算。每个单元之间采用矩形逼近，即插值多项式为：区间，积分逼近为：基本公式基本原则，基本思想：用积分区间上一些离散点函数值的线性组合来计算定积分的逼近。没有必要寻求原始函数。区间，积分近似为：复合规则，MATLAB编程，2.2梯形积分近似计算。每个单元之间采用梯形近似，即插值多项式为：区间，积分近似为：区间，积分近似为：截断误差为：其中：虽然矩形和梯形公式的代数精度较低，但它也要求函数的光滑性较低，特别是当被积函数为周期函数时，它是一种理想的方法。MATLAB程序设计，2.3抛物线积分近似计算，两个单元之间采用抛物线近似，即插值多项式为：区间，积分为：区间，积分为：截断误差为：其中：抛物线公式具有较高的代数精度，且程序设计相对简单，因此，它是一种广泛使用的方法。金属塑性成形是指金属材料在一定外力作用下发生塑性变形并获得一定力学性能的加工方法。热加工图的主要目的是掌握热加工图可用于分析材料在不同区域(不同变形温度和应变率)的高温变形机理，从而获得热加工的“安全区”和“不稳定区”，达到控制组织演变、避免缺陷产生和优化加工图参数的目的。热加工图的计算基础以及试验数据的采集和处理为了获得构建加工图的数据，需要进行热模拟试验。试验温度和应变率范围的选择应根据待优化的加工工艺范围来确定。以新型锆合金N18为例。试验温度为600、660、730、775、860、980，应变率为0001、0.11、10、50s-1。试验后的数据应按要求转换成真应力-真应变曲线，并可获得相同应变水平下不同温度和不同应变率下的流变应力值，如表1所示。(1)测试数据的插值(2)根据公式(3)计算每个测试数据点的m值。它可以用Matlab中的“梯度”梯度函数来实现。(3)根据等式(7)和(8)，耗散效率可以通过使用“cumtrapz”函数-累积梯形积分函数来计算。基本命令格式是：Z=cumtrapz(X，Y)(这意味着梯形方法用于计算Y在X点上的点积分)(4)根据公式(5)计算失稳判据。(5)利用计算出的值和值矩阵及绘图软件(如Origin)，在变形温度T和应变率形成的二维平面上绘制-热处理图的等值线图。X=600，660，730，775，860，980%X轴，温度Y=-3，-2，-1，0，1，1.70%Y轴对数应变率z=108.3，78.5，57.1，36.1，24.3，10.9，152.4，112.9，71.7，48.8，35.4，11.4，180Y罗吉%应变率的插值向量，ZlogI=层间2 (X，Y，ZLOG，Y罗吉，样条)%通过样条方法插值(对数应力)矩阵Zi=层间2 (X，Y，Z，Y罗吉，样条)%通过样条方法插值应力矩阵Fx，M=梯度(ZlogI，1，(1.70-(-1)/(I-1)%计算对数力/对数率=m%以下计算积分S=cumtrapz(Yi，Zi)%计算* 10秒。/(m (1，) 1)%第一个固定值为=1:jg (:n)=s (:n) smin (n)%每个项目的累计积分值加上最小值-G P(:n)=Zi(:N)。*易(:)%各项应力应变率的乘积-P值endeta=2 *(1-G/P)* 100%计算值矩阵ksai=2 * M ./(/100)-1%计算值矩阵，谢谢！设置函数f(x)Ca，b，将积分区间a，bn等分，步长h=(b-a)/n，节点xk=a kh为等距节点。牛顿-柯特斯公式是指在等距节点下由拉格朗日插值多项式建立的数值求积公式。从插值型求积公式中，我们知道2.4牛顿-柯特斯求积公式可以通过引入变换x=a th，然后dx=hdt，xk-xj=(k-j)h，x-xj=(t-j)h来获得，因此插值型求积公式被表示为牛顿-柯特斯公式，其中ck(n)被称为柯特斯系数。记住，在牛顿-柯特斯公式中，当n=1，2，4时的公式是最常用和最重要的三个公式，称为低阶公式。1。梯形公式和其他项，Cotes系数是，2.4.2几个低阶求积公式和其他项，梯形公式有1次代数精度。2。辛普森公式和其他术语一样，科特系数是，辛普森公式有3个代数精度。3。科特公式和其他术语一样，科特系数是，求积公式是，上面的公式叫做科特求积公式，也叫五点公式。Cotes公式有5个代数精度。注：当N8时，科特系数为负，这将增加误差，使计算不稳定。因此，在实际应用中，一般不使用高阶牛顿-柯特斯公式，而是使用低阶复合求积法。柯特斯系数表：用MATLAB实现的多阶牛顿-柯特斯公式，函数i=牛顿柯特斯(f，a，b，类型)% type=1柯特斯公式%type=2牛顿-柯特斯六点公式%type=3牛顿-柯特斯七点公式I=0；开关类型1，I=(b-a)/90)*(7 *子(符号(f)，符号(f)，a).32 *个子系统(sym(f)，findsym(sym(f)，(3*a b)/4).12 *个子系统(sym(f)，findsym(sym(f)，(a b)/2).32 *子(sym(f)，findsym(sym(f)，(a 3 * b)/4)7 *子(sym(f)，findsym(sym(f)，b)；情况2，I=(b-a)/288)*(19 *子(符号(f)，符号(f)，a).75*subs(sym(f)，findsym(sym(f)，(4*a b)/5).50*subs(sym(f)，findsym(sym(f)，(3*a 2*b)/5).50*subs(sym(f)，findsym(sym(f)，(2*a 3*b)/5).75 *子(sym(f)，findsym(sym(f)，(a 4 * b)/5)19 *子(sym(f)，findsym(sym(f)，b)；情况3，I=(b-a)/840)*(41 *子(符号(f)，符号(f)，a).216*subs(sym(f)，findsym(sym(f)，(5*a b)/6).27 *个子系统(sym(f)，findsym(sym(f)，(2*a b)/3).272*subs(sym(f)，findsym(sym(f)，(a b)/2).27 *个子系统(sym(f)，findsym(sym(f)，(a 2*b)/3).216 *子(sym(f)，findsym(sym(f)，(a 5 * b)/6)41 *子(sym(f)，findsym(sym(f)，b)；最后，举例：用牛顿-柯特斯级数公式计算积分，q=牛顿-柯特斯(sin (x)，0，10，1) q=3.7613q=牛顿-柯特斯(sin (x)，0，10，2) q=2.7865q=牛顿-柯特斯(sin (x)，0，10，3) q=1.5296。当积分区间a，b的长度较大且节点数n 1固定时，直接使用牛顿-柯特斯公式的余数将较大。然而，如果节点数增加，即n 1增加，则公式的舍入误差难以控制。为了提高公式的精度，使算法简单、易于实现，常用的合成方法是：将积分区间a，b分成几个子区间，然后在每个单元上使用低阶牛顿-柯特斯公式，最后在每个单元上加上积分的近似值。2.4.3复合求积公式，复合梯形积分近似计算，各单元之间采用梯形近似，即插值多项式为：区间，积分近似为：区间，积分近似为：复合梯度法：MATLAB编程，函数I，step=combinetraprl (f，a，b，EPS)% f被积函数%a，b积分上下限%eps精度%I积分结果%step积分子区间数if(nargin=3)EPS=1.0e-4；endn=1；h=(b-a)/2；I1=0；I2=(subs(sym(f)，findsym(sym(f)，a) subs(sym(f)，findsym(sym(f)，b)/h；而(I2-I1)epsn=n1；h=(b-a)/n；I1=I2；I2=0。for I=0:n-1x=a h * I；x1=x h；I2=I2 (h/2)*(子符号(符号(f)，符号(f)，x)子符号(符号(f)，符号(f)，x1)；依赖关系=I2step=n；例如，用复合梯度积分法计算定积分，q，s=combinetraprl (1/(x 2-1)，2，4) q=0.2945s=15 q，s=combinetraprl (1/(x 2-1)，2，4，1.0e-6) q=0.2939s=66，2.5 adaptive (Simpson)求积法来提高计算精度：增加插值多项式的三次幂的计算过程是复杂的。变步长辛普森近似算法是一种辛普森方法，它将相等间隔的数量加倍，直到误差满足要求。此外，低阶插值用于增加等分割区间，并且辛普森方法具有可变步长：区间数从1开始，并且整个a，b是区间，即区间数N=1。然后执行以下过程：步骤(1)区间数N=2i结果S1，计算停止条件：辛普森积分近似公式为：等分区间加倍后，区间数变为2N，新等分区间上的原节点变为偶数节点，步长变为，区间加倍后，辛普森积分近似公式为：引入标记：然后变步长辛普森积分近似计算过程：编程计算过程：也需要00来防止错误收敛I1=I2；I2=0。fori=0:(2(n-1)-1)x=a h * 2 * I；x1=x h；x2=x1 h；I2=I2 (h/3)*(子符号(