2020届湖北省武汉市高三下学期5月质量检测数学文试题版.doc

2020届湖北省武汉市高三下学期5月质量检测数学（文）试题一、单选题1已知复数满足，则复数（ ）.ABCD【答案】B【解析】首先根据题意得到，再化简即可得到答案.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属于简单题.2已知集合，则（ ）.ABCD【答案】C【解析】首先分别解不等式和，再求交集即可.【详解】因为，所以.因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题.3某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为（ ）.A3B5C10D15【答案】B【解析】计算出管理人员所占比例，再乘以样本容量即可.【详解】样本总量为160人，其中管理人员有40人，其所占比例为，现抽取一个容量为20的样本，抽到管理人员的人数为人.故选：B【点睛】本题考查求分层抽样中基本量，属于基础题.4若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）.A2B4CD【答案】B【解析】该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，最后由长方体体积公式计算即可.【详解】该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，所以体积为.故选：B【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.5已知，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于,两边平方可知1-sin2x=,因此可知=，故选D【考点】二倍角正弦公式点评：主要是考查了二倍角公式的运用，属于基础题6函数的值域为（ ）.ABCD【答案】C【解析】令，对函数分离常数后可得原函数的值域.【详解】函数的定义域为.令，则，其中，故的值域为，故的值域为.故选：C.【点睛】本题考查函数值域的求法，一般地，对于形如，我们可以用分离常数的方法来求其值域.7已知，是从点引出的三条射线，每两条射线间夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）.ABCD【答案】D【解析】过上一点作平面，则就是直线与平面所成的角，说明点在的平分线上，通过直角和直角，求出直线与平面所成角的余弦值【详解】过上一点作平面，则就是直线与平面所成的角因为，所以点在的平分线上，即过点作，因为平面，则，设，在直角中，则在直角中，则即直线与平面所成角的余弦值是故选：【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力和计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键8已知平面上定点和，又点为双曲线右支上的动点，则的最大值为（ ）.A8B10C11D13【答案】D【解析】由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得，然后求出的最大值即可.【详解】由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点由双曲线的定义可得所以由图可得，当三点共线时取得最大值，最大值为所以的最大值为13故选：D【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，属于常考题型.9已知向量，向量与夹角为，且，则（ ）.AB2CD4【答案】A【解析】利用向量的数量积定义，可求出，再利用，展开即可求解.【详解】，与夹角为，解得，.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的定义、向量模的求法，需熟记公式，属于基础题.10已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为（ ）.A1B2C3D4【答案】C【解析】根据对称轴可得，从而求出，进而可得，令，解方程即可.【详解】函数图象关于直线对称，所以，解得，又因为，所以，所以，令，则，解得，因为，所以，.即函数在区间上零点的个数为3.故选：C【点睛】本题考查了余弦函数的性质以及求函数的零点个数，解题的关键是掌握余弦函数的对称轴，属于基础题.11设直线与抛物线交于，两点，若线段中点横坐标为2，则直线的斜率（ ）.A2BCD或2【答案】A【解析】将直线方程与抛物线方程联立消可得：，根据判别式可得的取值范围，利用韦达定理以及中点坐标公式可得，解方程即可求解.【详解】联立直线与抛物线，消整理可得，设，由题意，解可得，解可得或，综上可知，.故选：A【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、中点弦问题，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.12已知函数在无零点，则实数的取值范围为（ ）.ABCD【答案】B【解析】首先求出导函数，根据选项只需讨论时函数的单调性，当时，可知函数在单调递减，上单调递增，只需函数的极小值即可.【详解】由函数，则，由选项可知，当时，即函数在上单调递减，当时，即函数在上单调递增，所以是函数的极小值点，若要函数在无零点，只需，即，解不等式可得.故选：B【点睛】本题主要考查了利用导函数研究函数的零点问题、函数的单调性，函数的极值、最值，属于基础题.二、填空题13函数的图象在点处的切线方程为_.【答案】【解析】求导得到，计算，得到切线方程.【详解】，则，故，故切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.14柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子刚好成对的概率为_.【答案】【解析】列举出所有的情况，找出符合题意的情况，由古典概型的概率计算公式，即可得出答案.【详解】设三双鞋子分别为、，则取出2只鞋子的情况有：， ，共种. 其中，成对的情况有：，共种， 由古典概型的公式可得，所求概率为.故答案为：【点睛】本题考查了通过列举法求古典概型的概率，属于基础题.15已知，为直线上两点，为坐标原点，若，则面积的最小值为_.【答案】【解析】设点到直线的距离为，再利用三角形的面积公式可得，再利用余弦定理以及基本不等式可得，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】由直线可得， 则点到直线的距离为，由，则，在中，由余弦定理 ，当且仅当，等号成立，所以，解不等式可得，即面积的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理以及基本不等式，需熟记公式，属于基础题.16一种药在病人血液中的量保持以上才有疗效；而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时20的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：，精确到）【答案】【解析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得出指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系、换底公式和对数的运算性质以及条件进行求解.【详解】设应在病人注射这种药经过小时后再向病人的血液补充这种药，则血液中的含药量与注射后的时间的关系式为：，依题意，可得， 整理可得，所以，即，由，所以.故在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.故答案为：【点睛】本题主要考查了建立拟合的函数模型求解实际问题，关键是能够通过已知关系建立起恰当的函数模型，通过函数模型构造不等式，属于基础题.三、解答题17已知等差数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.【答案】（1）（2）10【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.（2）利用等差数列的前项和公式求出，从而求出此数列的正数项，进而可确定取得最大值时的值.【详解】设差等数列公差为，依题意有.解之得，则，故的通项公式为：.（2）由，得，所以，即，由，故，故取最大值时的值为10.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.18李老师在某大学连续三年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课三年来学生考试成绩分布：成绩人数105010025015040（1）求这三年中学生数学考试的平均成绩和标准差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）请估计这三年中学生数学考试成绩的中位数.附：.【答案】（1）平均成绩，标准差，（2）中位数为【解析】（1）根据表中数据计算即可（2）由已知数据可知，前4组频率依次为：，然后得出中位数位于区间，然后算出即可.【详解】（1）平均成绩，标准差所以.（2）由已知数据可知，前4组频率依次为：，由，可知，中位数位于区间，设中位数为，则，解之得，故中位数为【点睛】本题考查的是平均数、标准差和中位数的算法，计算能力是解答本题的关键.19如图，在三棱柱中，侧面是边长为4的菱形，且，面面，.（1）求证：面；（2）求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在菱形中，过作于点，首先证明平面，然后得到即可（2）因为平面，所以到面的距离与到面的距离相等，然后证明平面，然后求出的长度即可【详解】（1）证明：在菱形中，过作于点，因为平面平面，平面平面，平面所以平面，则，因为，所以平面.（2）因为平面，所以到面的距离与到面的距离相等.在菱形中，连，设，则，由（1）可知平面，面，所以平面平面，面面，而，所以平面，所以即为到面的距离，在菱形中，所以，故到面的距离为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明和点到平面距离的求法，考查了学生的空间想象能力.20已知，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知是直线上一动点，若，与轴分别交于点，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值；定值为【解析】（1）由条件得出，即可（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，然后算出，然后算出即可【详解】（1）依题意，由椭圆的定义可得的周长为，即，所以，故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，由得，显然，则，直线，令得，即，同理，同理：，于是：所以为定值.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21已知函数，.（1）证明：不等式在恒成立；（2）证明：在存在两个极值点，附：，.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1），首先利用导数证明当时，总有，然后可得（2）分和两种情况讨论，每种情况都要用导数求出的单调性.【详解】（1），设，易得在上为增函数，又，存在唯一，使得，在时，为减函数，在时，为增函数，因此时，总有，为减函数.，从而原不等式得证.（2），则，在时，令，则在上递增.又，.存在唯一，使.在时，为减函数，即为减函数，在时，为增函数，即为增函数，而，.又，存在唯一的使得，在时，为减函数，在时，为增函数，故为一个极小值点.另一方面，在时，由，而，由（1）可知，在上恒成立，又在上恒成立，是的极大值点，从而得证.【点睛】本题考查的是利用导数证明不等式，利用导数研究函数的单调性，属于难题，考查了学生的分析问题、解决问题的能力.22在直角坐标系中，直线的参数方程为（参数，为常数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线的交点为，两点，曲线和轴交点为，若面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由得，然后得到即可（2）将直线的参数方程化为，然后联立直线与曲线的方程消元可得，然后算出，然后由的面积即可得出答案.【详解】（1）由得，所以，即，所以.（2）由，消去参数得到，所以，与轴交点为，由，得，记，则，面积，所以，即，所以.【点睛】涉及曲线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.23已知正数，满足.求证：（1）；（