第5章 自动控制原理频域分析法

第5章频域分析法,5.1频率特性5.2典型环节的频率特性5.3系统开环频率特性图的绘制5.4稳定判据5.5开环频率特性与时域指标的关系习题,5.1频率特性,5.1.1频率特性的概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。设线性系统G(s)的输入为一正弦信号r(t)=Arsint，在稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但其振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，即cs(t)=Acsin(t+)，如图5-1所示。,图5-1系统在正弦信号作用下的稳态响应,用R(j)和C(j)分别表示输入信号Arsint和输出信号cs(t)=Acsin(t+)，则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为该系统的频率特性函数，简称频率特性，记作,(5-1),其中，输出与输入的振幅比随的变化关系称为幅频特性函数A()，是G(j)的模,(5-2),输出与输入的相位差随的变化关系称为相频特性函数()，是G(j)的幅角,()=argG(j)=G(j)(5-3),幅频特性描述了系统在稳态下响应不同频率正弦输入信号时幅值衰减或放大的特性；相频特性描述了系统在稳态下响应不同频率正弦输入信号时在相位上产生滞后或超前的特性。因此，如果已知系统（环节）的微分方程或传递函数，令s=j便可得到相应的幅频特性和相频特性，并依此作出频率特性曲线。,对频率特性的几点说明：（1）频率特性不仅仅针对系统而言，其概念对控制元件、控制装置也都适用。（2）由于系统（环节）动态过程中的稳态分量总是可以分离出来，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性，因此可以将频率特性的概念推广到不稳定系统（环节）。,（3）虽然频率特性G(j)是在系统（环节）稳态下求得的，却与系统（环节）动态特性G()的形式一致，包含了系统（环节）的全部动态结构和参数。（）根据频率特性的定义可知，这种数学模型即使在不知道系统内部结构和机理的情况下，也可以按照频率特性的物理意义通过实验来确定，这正是引入频率特性这一数学模型的主要原因之一。,图5-2RC电路,例5.在如图5-2所示的RC电路中，设输入电压为ui(t)=Asin(t),求频率特性函数G(j)。解由复阻抗的概念求得,(5-4),如上所述，G(j)可以改写为G(j)=|G(j)|ej()(5-5),式中,5.1.2频率特性的图示方法频率特性的图形表示是描述系统的输入频率从0到变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线。虽然系统的频率特性函数有严格的数学定义，但它最大的优点是可以用图示方法简明、清晰地表示出来，这正是该方法深受广大工程技术人员欢迎的原因所在。,1.极坐标频率特性图（奈奎斯特图）极坐标频率特性图又称奈奎斯特图（Nyquist）图或幅相频率特性图。极坐标频率特性图是当从0到变化时，以为参变量，在极坐标图上绘出G(j)的模|G(j)|和幅角G(j)随变化的曲线，即当从0到变化时，向量G(j)的矢端轨迹。G(j)曲线上每一点所对应的向量都表与某一输入频率相对应的系统（或环节）的频率响应，其中向量的模反映系统（或环节）的幅频特性，向量的相角反映系统（或环节）的相频特性。,频率特性函数可以表示成G(j)=R()+jI()代数式=|G(j)|G(j)极坐标式=A(j)ej()指数式,如果将极坐标系与直角坐标系重合，那么极坐标系下的向量在直角坐标系下的实轴和虚轴上的投影分别为实频特性R()和虚频特性I()。,例5.2绘制例5.1中C电路的极坐标频率特性图，其中R=1k，C=500F。解该电路的频率特性为,其中，T=RC=0.5。则,（5-6）,G(j)=-arctanT=-arctan0.5（5-）在不同下求出的|G(j)|及G(j)如表5-所示。,表5-不同下的|G(j)|及G(j)的值,图5-3RC电路的极坐标频率特性图,2.对数坐标频率特性图（伯德图）对数坐标频率特性图又称伯德（Bode）图，由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线组成。通常将二者画在一张图上，统称为对数坐标频率特性。与极坐标图不同，在伯德图中以为横轴坐标。但的变化范围极广（0），如果采用普通坐标分度的话，很难展示出其如此之宽的频率范围。因此，在伯德图中横轴采用对数分度。,1)对数幅频特性的坐标系对数幅频特性的坐标系如图5-所示。(1)横轴：=lg。轴为对数分度，即采用相等的距离代表相等的频率倍增，在伯德图中横坐标按=lg均匀分度。和lg的关系如表5-所示。,图5-4对数幅频特性的坐标系,表5-2和lg的关系,对lg而言为线性分度。如表5-所示。=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处。从表5-2中可以看出，的数值每变化10倍，在对数坐标上lg相应变化一个单位。频率变化10倍的一段对数刻度称为“十倍频程”，用“dec”表示。即对而言：=lg10-lg=1,(2)纵轴：L=20lgA(),单位为分贝,记作dB。2)对数相频特性的坐标系对数相频特性的坐标系如图5-5所示。(1)横轴：轴对数分度，即=lg。(2)纵轴：()线性分度。,图5-5对数相频特性的坐标系,例5.3绘制例5.1中RC电路的对数坐标频率特性图（T1s）。解RC电路的频率特性为,所以有,表5-3不同下的L()及()值,图5-6RC电路的对数坐标频率特性,5.2典型环节的频率特性,5.2.1比例（放大）环节比例环节的传递函数为G(s)=K，故其频率特性函数为G(j)=K=Kej0（5-）,1.极坐标频率特性（幅相频率特性）A()=K,()=0（5-）可见，比例环节的幅频特性和相频特性都是与无关的常量。在极坐标频率特性图（Nyquist图）中其频率特性曲线为正实轴上坐标为(K,j0)的一个点，如图5-(a)所示。,2.对数坐标频率特性（Bode图）L()=20lgK,()=0（5-）可见，比例环节的对数幅频特性L()和对数相频特性()也都是与无关的水平直线。L()是一条纵坐标为20lgK的、平行于横轴的直线,()是一条与0线重合的直线，如图5-()所示。,图5-7比例环节的幅相频率特性和对数坐标频率特性(a)幅相频率特性；(b)对数坐标频率特性,5.2.2积分环节积分环节的传递函数为G(s)=1/s，故其频率特性函数为,（5-11）,1.极坐标频率特性（幅相频率特性）,（5-12）,图5-8积分环节的幅相频率特性和对数坐标频率特性(a)幅相频率特性；(b)对数坐标频率特性,2.对数坐标频率特性（Bode图）,（5-13）,可见，微分环节的幅频特性与频率相等,相频特性恒为90，所以在极坐标频率特性图（Nyquist图）中其频率特性曲线为沿虚轴的上半轴由原点指向无穷远点的直线，如图5-(a)所示。,5.2.3微分环节微分环节的传递函数为G(s)=s，故其频率特性函数为G(j)=j=ej90（5-1）1.极坐标频率特性（幅相频率特性）A()=,()=90（5-15）可见，微分环节的幅频特性与频率相等,相频特性恒为90,2.对数坐标频率特性（Bode图）L()=20lgA()=20lg=20,()=90（5-1）可见，微分环节的对数幅频特性L()是（即lg）的一次线性函数，其直线斜率为20dB/dec，直线在=1时与横轴相交,()是一条纵坐标为90的平行于横轴的直线，如图5-()所示。,图5-9微分环节的幅相频率特性和对数坐标频率特性(a)幅相频率特性；(b)对数坐标频率特性,5.2.4惯性环节惯性环节的传递函数为,故其频率特性函数为,1.极坐标频率特性（幅相频率特性）,（5-18）,R()-0.52+I()2=0.52,2.对数坐标频率特性（Bode图）,（5-19）,由此可以绘出惯性环节的Bode图，但在工程上常用简便的渐近线来代替实际的曲线，如图5-1(b)所示。,图5-10惯性环节的幅相频特性和对数坐标频率特性(a)幅相频率特性；(b)对数坐标频率特性,1)低频渐近线当T1，即1，即1/T时，在L()中可忽略1，则,（5-2）,令=lg，c=lg(1/T)，则L()=-20(-c)（5-21）,3)转折频率低频渐近线与高频渐近线的交点在c=1/T处，因为当c=1/T时，-20lgT=-20lg1=0。故称c=1/T为惯性环节的转折频率。而转折频率处的实际对数幅频为,5.2.5一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为G(s)=Ts+1，故其频率特性函数为,（5-22）,1.极坐标频率特性（幅相频率特性）,（5-23）,可见，当由0时，惯性环节的幅频特性A()从1,相频特性()由090。因此，一阶微分环节的极坐标频率特性曲线是一条平行于虚轴的射线，其顶点在（1，j0）,如图5-11(a)所示。,图5-11一阶微分环节的幅相频率特性和对数坐标频率特性(a)幅相频率特性；(b)对数坐标频率特性,2.对数坐标频率特性（Bode图）,（5-24）,5.2.6振荡环节振荡环节的传递函数为,（5-25）,其中,T为振荡环节的时间常数,n=1/T为振荡环节的无阻尼自然振荡频率,为振荡环节的阻尼比。其频率特性函数为,（5-26）,1.极坐标频率特性（幅相频率特性）,（5-27）,图5-12振荡环节的幅相频率特性,采用描点法作出振荡环节的幅相频率特性曲线如图5-12所示。可见，当由0时，振荡环节的幅频特性A()从10,相频特性()由0-180。另外，当=n时，A()=1/2，()=-90。说明当=n时，曲线与负虚轴相交，且阻尼比越大，交点越靠近原点。由于阻尼比的取值范围不同，A()将会表现出不同的特点，如图5-13所示。,图5-13振荡环节的幅频特性,(1)在某些取值范围内，A()将会随着的增大出现峰值。A()在某一频率下达到峰值的现象称为“谐振”，该频率称为谐振频率r，该峰值称为谐振峰值Mr。(2)在某些取值范围内，A()不会出现“谐振”现象，而是随的增大而递减。令(dA()/(d)=0，得r=n,（5-28）,（5-29）,2.对数坐标频率特性（Bode图）,（5-30）,图5-14振荡环节的对数坐标频率特性,图5-15振荡环节的渐近对数幅频特性,1)低频段当/n1，即n时，,令=lg,c=lg(1/T)，则,L()=-40(-c)（5-31）,说明在高频段，惯性环节的幅频特性曲线类似于斜率为-40dB/dec的一条通过c=lg(1/T)的直线。,3)转折频率低频渐近线与高频渐近线的交点在=n处，因为当=n时，-40lgT=-40lg1=0，故称=n为惯性环节的转折频率。,5.3系统开环频率特性图的绘制,5.3.1系统开环频率特性函数极坐标图的绘制系统开环传递函数可以写成如下形式：,nm(5-32),系统开环频率特性函数极坐标图主要用于判断闭环系统的稳定性。通常将系统开环传递函数写成各环节串联的形式，利用“幅值相乘、幅角相加”的原则确定几个关键点的准确位置，然后绘出图形的大致形状即可。绘制步骤如下：(1)将系统的开环频率特性函数G(j)H(j)写成指数式A(j)ej()或代数式R()+jI()。(2)确定极坐标图的起点=0+和终点。(3)确定极坐标图与坐标轴的交点。,图5-16极坐标图的起点,图5-17极坐标图的终点,例5.4系统的开环传递函数为,（5-33）,试绘制该系统的开环频率特性函数极坐标图。,图5-18例5.4的极坐标图,5.3.2系统开环对数频率特性图的绘制系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联的形式，即G(s)H(s)=G1(s)G2(s).Gn(s)（5-3）系统的开环频率特性为,（5-37）,则系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为,（5-38）,（5-39）,绘制步骤如下：(1)将开环频率特性写成典型环节相乘的形式,并求出各典型环节的时间常数。(2)从小到大按顺序计算各环节的转折频率1/Ti，若T1T2T3.,则有123.。(3)绘制起始段00的范围内，()对-180线未发生穿越，而p1=0，所以系统闭环稳定。系统2在L()0的范围内，()对-180的正、负穿越次数之差为，而p2=1，即N+-N-p2/2，所以系统闭环不稳定。,5.4.4稳定裕度奈奎斯特稳定判据不仅能判别系统的稳定性，而且还能指出稳定的程度。后者是奈奎斯特稳定判据的重要优点，有着极为重要的实际意义。在设计一个系统时，不仅要求它必须是稳定的，而且还应该使系统具有一定的稳定度。,系统离开稳定边界的程度说明了系统的相对稳定性。开环幅相曲线越靠近(-1,j0)点，系统的相对稳定性就越差。通常以稳定裕度作为衡量闭环系统相对稳定性的定量指标，包括相位稳定裕度和幅值稳定裕度h（简称相位裕度和幅值裕度）。,1.相位裕度的定义和计算方法相位裕度是指G(j)曲线上模值等于1（为开环截止频率c）的矢量与负实轴的夹角（见图5-27）。在对数曲线上，相当于20lg|G(j)|=0处的相频G与-180的角差，即=180+G（5-52）相位裕度表明在开环截止c上使系统达到临界稳定状态所需的相移滞后量。,图5-27稳定裕度及h,2.幅值裕度的定义和计算方法幅值裕度h是指G(j)曲线与负实轴相交点模值|G(j1)|的倒数1/|G(j1)|。在对数曲线上，相当于G为-180时幅频20lg|G(j1)|的负值，即Lh=-20lg|G(j1)|（5-53）相位裕度和幅值裕度愈大，系统的稳定性就越高。一般来说，为了使系统既有适当的稳定裕度，又有较好的动态性能，通常要求40（5-5）h2或Lh6dB（5-55）,例5.9某系统如图5-28所示。试分析该系统的稳定性并指出相位裕度和幅值裕度。解该系统的开环放大倍数为10，转折频率分别为1=1，2=100。绘制出开环系统的对数幅相特性曲线如图5-29所示。因为系统开环传递函数中有两个积分环节，所以在()曲线最左端视为=0+处，补作两个-90的角度（如虚线段所示）。,图5-28例5.9的系统结构图,图5-29开环系统的对数幅相特性曲线,由图可知，在L()=20lg|G(j)|0的范围内，G曲线没有穿越-180线，且p=0，所以闭环系统稳定。=180+G(j10)=180+arctan10-180-arctan0.1=78.7h,5.5开环频率特性与时域指标的关系,1.低频段低频段通常是指开环对数频率特性曲线L()在第一个转折频率1以前的区段。它反映了频率特性与稳态误差的关系。这一段特性完全由系统开环传递函数中的积分环节的个数和开环增益K决定。其中，积分环节的个数决定了这一段的斜率为-20dB/dec；开环增益K决定了它的位置。当0时，,则,（5-5）,L()=20lgK-20lg（5-57）当L()=0时，20lgK-20lg=0所以,（5-58）,图5-30低频段对数幅频特性曲线,2.中频段中频段通常是指开环对数频率特性曲线L()在截止频率c附近的区段。它反映了系统动态响应的稳定性和快速性。下面的讨论以最小相位系统为例。对于这类系统，由于其幅频特性和相频特性有明确的对应关系，因此仅通过幅频特性即可分析系统的性能。中频段的幅频特性曲线斜率对系统的稳定性和快速性有很大的影响。我们将从两种极端的情况加以说明。,(1)中频段幅频特性曲线斜率为-20dB/dec，而且所占的频率区间较宽,如图5-31（a）所示。在这种情况下，可近似地把整个系统的开环对数频率特性曲线看作斜率为-20dB/dec的一条直线。那么系统的开环传递函数可看成,（5-59）,则闭环传递函数为,（5-60）,(2)中频段幅频特性曲线斜率为-40dB/dec，而且所占的频率区间较宽,如图5-31（b）所示。在这种情况下，可近似地把整个系统的开环对数频率特性曲线看作斜率为-40dB/dec的一条直线。那么系统的开环传递函数可看成,（5-1）,图5-31中频段幅频特性,则系统闭环传递函数为,（5-2）,系统相当于零阻尼（=0）振荡系统（临界稳定），系统动态过程将持续振荡。,3.高频段高频段通常是指开环对数频率特性曲线L()离截止频率c较远的区段。它反映了系统抗干扰的能力。这部分的频率特性是由小时间常数的环节决定的。由于远离c，分贝值又低，对系统的动态响应影响不大。由于高频段的开环幅频一般比较低L()0，即|G(j)|1，因此闭环频率特性为,（5-3）,故闭环频率特性近似等于