行列式的计算方法

行列式的若干计算方法王小虎指导教师晏兴学河西学院数学与统计学院甘肃张掖734000摘要归纳总结行列式的计算方法,并举例说明它们的应用关键词行列式初等变换计算方法化简中图分类号O175THENUMBEROFCALCULATIONMETHODOFDETERMINANTWANGXIAOHUINSTRUCTORYANXINGXUESCHOOLOFMATHEMATICSANDSTATISTICS,HEXIUNIVERSITY,ZHANGYE,GANSU,734000ABSTRACTSUMMARIZEDDETERMINANTMETHODOFCALCULATION,ANDEXAMPLESOFTHEIRAPPLICATIONKEYWORDSDETERMINANTELEMENTARYTRANSFORMATIONCALCULATIONMETHODSSIMPLIFICATION引言行列式是研究线性代数的一个重要工具,在线性方程组,矩阵,二次型中用到行列式,在数学其它分支也常常用到行列式,因此行列式的计算显得尤其重要,但行列式的计算灵活多变,需要较强的技巧,一直是学生不易领会和掌握的,本文在已经学过行列式的计算方法的基础上总结出如下一些常用方法1定义法根据行列式的定义我们可以利用定义直接计算行列式,其中121212NNNJNJJJDA是的逆序数1NJ1J例1证明12314523412500AADA分析观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法证明由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为12NJJA则1512125NNJJJDA（1）其中为的任意排列,在中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,15,JJ,234取不同行不同列的元素只有四个,就是说（1）式中每一项至少有一个来自后三行后三列故0D注意此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多2化三角形法化三角形是将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式进行计算的一种方法,是计算行列式最基本的计算方法之一,这是因为由行列式的定义我们可以直接计算上（下）三角形或对角形行列式一般而言,对任意行列式都可化为三角形行列式,但是有的行列式化简时非常繁琐,应该先利用性质实施一些初等变换,然后再化简例2计算行列式1231452121NNDN分析直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第列乘1加到第列,第列乘1加到第列,这样做下去2N1N直到第列乘1加到第列,然后再计算就显得容易1解231452121NNDN11311NN0201NN200100NNN0020N1212NN112N问题推广在例2中,这个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应,N该适应计算行列式111111111232432ADAANDANDANDADANDAND112ANDDD2100NND2100ANNDDNND121NDA1212NND如果将例2中的数，代入结论显然成1A1212NADN立3加边法利用行列式按行（列）展开的性质把阶行列式通过加行（列）变成与之相等的阶行列式,然N1N后计算添加行列式的四种方法设121212NNNNAAD（1）首行首列121212NNNNAAD1212120NNNAA（2）首行末列121212NNNNAAD123121230NNA（3）末行首列12212NNNNAAD1122333100N（4）末行末列12212NNNNAAD2131123301A例3计算3121230NNXAADXXAAA解1212100NNNXDAAX将第一行乘加到其余各行上去,得121010NNAAXX将第2列,第列分别乘,全都加到第一列,得NX121000NKNNAAXX11NNNKKXAA加边法是将原行列式中添加适当的行列,构成一个新的行列式,并以此行列式为过渡来达到计算原行列式的目的4降阶法阶行列式等于它的任意一行列各元素与其对应的代数余子式乘积的和即N或1,2IJDAAN1,2NIJDAAN行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法这是一种计算行列式的常用方法例4计算30142D解1309291204注意对于一般的阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重因此必须先利用行列式的性质将N行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶5递推法递推法是根据行列式的结构利用阶行列式的性质,把给定的行列式用与有相同形式的NND阶行列式表示出来,然后将阶行列式再用与有相同形式的阶行列式表示出来,这样一1ND1D1N2直做下去直到被有相同形式的表示出来,这样可被易计算的表示出来,故可达到计算的目N2ND的例5证明其中001001ND1,ND分析此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外其余的元素都为零,这种行列式称“三条线”行列式,从行列式的左上方往右下方看即知与具有相同的结构因此可考虑用递推N1法证明证明把行列式按第一行展开，得ND12NNND于是有递推关系式12NNN或类似有1223NNNNDD3221由于12因而221NNND若时0ND若时1NN利用计算递推,得12121NNNNND21N1NN所以1ND若时,从21NN得到1NND故1ND当当6析因法基本方法如果行列式中有一些元素是变量的多项式,那么将行列式当作一个多项式然XDFX后对行列式施行某些变换,求出互素的一次因式,使得与这些因式的乘积只相差一个常FXFGX数因子,根据多项式相等的定义,比较与的某一项的系数,求出值,便可求得CGXCC例6计算行列式221359XD分析这是一个关于的4次多项式,在复数范围内此多项式可分解成4个一次因式的乘积解令FX221359XD则是关于的4次多项式,由行列式的性质当时因此有四个一次因F1,2X0FXFX式1,2XXGXXX于是F12A比较中的系数,得D4X3ADFX312XX注意找一次因式时因该先观察,若行列式是关于的次多项式就相应的找个一次因式（重因NN式按重因式个数计算）而不要意味的看行列式的阶数相应的找个一次因式7利用方阵特征值在线形变换的研究中,矩阵的特征多项式非常重要,由矩阵的特征多项式，再根据根与系数的关系式可知矩阵全体特征值的积为相应行列式的值因此,我们可以用这个办法来计算行列式例8计算如下行列式的值123123NNNAAMAA解NBB312123NNAA因为行列式的特征值为,行列式的特征值为BB,B123123NNAAA1,0NIA所以的特征值为NM1,NIBAB由行列式的特征值与行列式的关系式知1NNIM8对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法例9计算阶行列式N001001ND解按第1行展开,得12NNND即由此递推,即得1NN因为中于对称,又有NDD时,从上式两边消去,得当1N1N时,当1121NNNNNDD与例题5作比较可看出对于同一个行列式的计算有多种方法因此我们在选择方法时因该遵守简单原则,这样不但可以减少计算量,而且还可以保证答案的正确性9数学归纳法数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性基本方法1先计算时行列式的值1,23N2观察的值猜想出的值,DND3用数学归纳法证明例10计算行列式0011NABAB解因为21AD322B所以，猜想1NABD1证明当时,式显然成立1N设时,式显然成立,则时KNK100KKABADB100KABAB12KKABD1KAB1KAB当时式也成立,从而得证N即1NABD注意一般而言,对于给定的一个行列式,要猜想一个之比较困难,所以一般情况下是先给定其值,然后再证明11范德蒙行列式范德蒙行列式123211123NNIJJNNNXXDX因此可将给定行列式化为范德蒙行的形式然后直接计算例11计算阶行列式1N1ND1313226NNN解用加边法将行列式化为范德蒙行列式131132102236NNNNNDN13213223NNN12212213NNN221232122133NNNN121NIJNK12利用拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四种特殊情形01NNMMABC20NMNMACB31NNAB41NNMAB故可将已知行列式选取适当地行列,化成上述四种特殊情形计算例12计算阶行列式NAABD解ND00AAB1200AABN0102NB21NABN阶行列式的计算,证明方法较多,不同的题目用到不同的计算方法,同样的题目有时也可以用到不N同方法,至于选择哪一种要视具体题目而定但是更重要的是同一道题不仅仅局限于某一种计算方法,而是要用多种方法综合起来才能完成致谢感谢晏兴学老师对我论文的精心指导参考文献1王萼芳,石生明高等代数M第三版北京高等教