2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)简单线性规划理北师大版

1、第四节简单线性规划【考纲下载】1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括边界直线，把边界直线画成虚线不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线，把边界直线画成实线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足AxByC0，则位于另一个半

2、平面内的点，其坐标满足AxByC0.(3)可在直线AxByC0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的符号就可以判断AxByC0(或AxByC0)所表示的区域(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条

3、件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线AxByC0的两侧的充要条件是什么？提示：(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.2线性目标函数的最优解是唯一的吗？提示：不一定，可能有多个3线性目标函数取得最值的点是否一定在可行域的顶点或边界上？提示：是一定在可行域的顶点或边界上1(教材习题改编)不等式x2y60所表示的平面区域内，则m的取值范围是()Am1 Bm1 Cm1解析：选D点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，2m350，即m1.4(2013安徽高考)若非负变量x，y满足约束条件则xy的最大值为_解析：由线性约束条件画出可行域如图

4、所示令zxy，则直线yxz经过C(4,0)时截距最大zmax404，xy的最大值为4.答案：45在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为_解析：不等式组所围成的区域如图所示其面积为2，|AC|4，C的坐标为(1,4)，代入axy10，得a3.答案：3考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1 C D自主解答不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，当M与C重合时，直线OM斜率最小由得C(3，1)，所以直线OM斜率的最小值为kO

5、C.答案C【互动探究】在本例条件下，若P(0，3)，求|PM|的最小值解：|PM|的最小值为点P到直线x2y10的距离d.【方法规律】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，求k的值解：由图可知，线性规划区域为ABC边界及内部ykx

6、恰过A，ykx将区域平均分成面积相等的两部分，直线ykx一定过线段BC的中点D，易求C(0,4)，B(1,1)，线段BC的中点D的坐标为.因此k，k.高频考点考点二 线性目标函数的最值问题1线性目标函数的最值问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题2高考对线性目标函数最值问题的考查有以下两个命题角度：(1)求线性目标函数的最值；(2)已知线性目标函数的最值求参数例2(1)(2013天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为() A7 B4 C1 D2(2)(2013浙江高考)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.自

7、主解答(1)由x，y满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC，作出直线y2x，经过平移得目标函数zy2x在点B(5,3)处取得最小值，即zmin3107.(2)画出可行域如图所示其中A(2,3)，B(2,0)，C(4,4)当k0时，显然不符合题意；当k0时，最大值在点C处取得，此时124k4，即k2；当k0(舍)或k20(舍)故k2.答案(1)A(2)2线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定

8、目标函数的最值(2)由目标函数的最值求参数求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数1(2013新课标全国卷)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2解析：选B由约束条件画出可行域(如图所示的ABC)由得A(1，2a)，当直线2xyz0过点A时，z2xy取得最小值，所以1212a，解得a.2已知变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是

9、_解析：如图所示，画出约束条件表示的平面区域(四边形ABCD)，作出目标函数zxy的基本直线l0：xy0，通过平移可知zxy在点C处取最大值，而点C的坐标为(1,4)，故zmax5.答案：5考点三线性规划的实际应用 例3(2013湖北高考)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元自主解答设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则画出可行域(图中阴影区域中的

10、整数点)，则目标函数z1 600x2 400y在点N(5,12)处取得最小值36 800元答案C【方法规律】求解线性规划应用题的注意点(1)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(2)对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原

11、料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元 C2 800元 D3 100元解析：选C根据题意，整理表格如下：A原料(千克)B原料(千克)利润(元)甲产品(桶)12300乙产品(桶)21400限制1212设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有z300x400y.作出可行域如图中阴影部分内的整点将z300x400y变形为yx，得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线由图可知，当直线yx经过点A时，最大，即z最大解方程组得A点坐标为(4,4)，所以zmax300440042 800元

12、故每天生产甲产品4桶，乙产品4桶时，公司共可获得的最大利润为2 800元课堂归纳通法领悟1种方法确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，即在直线AxByC0的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当C0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点1个步骤利用线性规划求最值的步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)

13、在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值2个注意点求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：(1)若b0，则截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值(2)若b0，则截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值 前沿热点(十)与线性规划有关的交汇问题1线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题2解决此类问题的思维精髓是“数形结合”，作图要精确，图上操作

14、要规范典例(2013北京高考)已知点A(1，1)，B(3，0)，C(2,1)若平面区域D由所有满足 (12,01)的点P组成，则D的面积为_解题指导利用向量的坐标运算公式表示出点P坐标满足的关系式，利用数形结合的思想求解解析 (2,1)，(1,2)设P(x，y)，由，得故有又1,2，0,1，故有即则平面区域D如图中阴影部分所示由图可知平面区域D为平行四边形，可求出M(4,2)，N(6，3)，故|MN|.又x2y0与x2y30之间的距离为d，故平面区域D的面积为S3.答案3名师点评解决本题的关键有以下几点：(1)根据已知条件，正确利用x，y表示和.(2)根据和的取值范围确定关于x，y的二元一次不

15、等式组(3)准确画出不等式组表示的平面区域给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示作出zxy的基本直线l0：xy0.经平移可知目标函数zxy在点A(0,1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值而集合T表示zxy取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线答案：6全盘巩固1(2013新课标全国卷)设x，y满足约束条件则z2x3y的最小值是()A7

16、 B6 C5 D3解析：选B由约束条件得可行域(如图所示)，当直线2x3yz0过点A(3,4)时，zmin23346.2若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A. B(0,1C. D(0,1解析：选D如图所示，直线xy0从原点向右移动，移动到(1,0)时，再往右移，不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了；又从点A向右移动时，不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分的三角形所以0a1或a.3若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A1 B1 C. D2解析：选B约束条件表示的可行域如图阴影部分所示当直线xm从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m

17、取最大值解方程组得A点坐标为(1,2)，所以m的最大值为1.4设实数x、y满足则u的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A在坐标平面上点(x，y)所表示的区域如图所示，根据几何意义，u的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然kOA最小，kOB最大由得点A(3,1)，由得点B(1,2)，故u2.5(2013北京高考)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02.求得m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C问题等价于直线x2y2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x2y2经过第一、三、四象限，则点(

18、m，m)只能在第四象限，可得m0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x2y2与阴影部分有公共点，则点(m，m)在直线x2y20的下方，由于坐标原点使得x2y20，即m.6设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数yax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A(1,3 B2,3C(1,2 D3，)解析：选A平面区域D如图所示要使指数函数yax的图象上存在区域D上的点，所以1a3.7已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为_解析：根据题意知(92a)(1212a)0，即(a7)(a24)0，解得7a1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，求m的取值范围解：变换目标函数为yx，由于m1，所以10，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据