第25讲与圆有关的计算

1、第二十五讲 与圆有关的计算【基础知识回顾】一、 正多边形和圆： 1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形 2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的 一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫 可用用表示，= ，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r表示3、每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成 个全等的 三角形【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】二、 弧长与扇形面积计算： O的半径为R，

2、弧长为L，圆心角为n0，扇形的面积为S扇，则有如下公式： L= S扇= = 【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：已知规则图形面积的和与差 割补法 等积变形法 平移法 旋转法等】三、圆柱和圆锥： 1、如图：设圆柱的高为h,底面半径为R则有：S圆柱侧= S圆柱全= V圆柱= 2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有： S圆锥侧= 、 S圆锥全= V圆锥= 【名师提醒：1、圆柱的高有 条，圆锥的高有 条2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系

3、3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的 ， 扇形的弧长是圆锥的 4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n，若l=2r，则n= l=3r,则n= l=4r则n= 】【典型例题解析】 考点一：正多边形和圆例1 （绵阳）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A6mmB12mmC6mmD4mm对应训练1（天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A：3B：2C1：2D：2考点二：圆周长与弧长例2（黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过

4、的路线长为 .对应训练2（遵义）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（）AcmB（2+）cmCcmD3cm考点三：扇形面积与阴影部分面积例3 （重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为 10-（结果保留）对应训练3（乐山）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 2-4考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4 （遂宁）用半径为3cm，圆心角是120的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A2cmB1.

5、5cmCcmD1cm对应训练4（攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A60B90C120D180考点五：圆的综合题例5（攀枝花）如图，PA为O的切线，A为切点，直线PO交O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交O与点B，延长BO与O交与点C，连接AC，BF（1）求证：PB与O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tanF=，求cosACB的值对应训练5（茂名）如图，在O中，弦AB与弦CD相交于点G，OACD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，ACBF（1）若FGB=FBG，求证：BF是O的切

6、线；（2）若tanF=，CD=a，请用a表示O的半径；（3）求证：GF2-GB2=DFGF【聚焦山东中考】1（滨州）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A6，3B3 ，3C6，3D6，31B2（东营）如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）AaB2aCaD3a3（泰安）如图，AB，CD是O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若O的半径为2，则阴影部分的面积为（）A8B4C4+4D4-44（济南）如图，扇形AOB的半径为1，AOB=90，以A

7、B为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）AB- C D + 5（莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A2B C D 6（菏泽）在半径为5的圆中，30的圆心角所对的弧长为 （结果保留）7（聊城）已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 25cm8（青岛）如图，AB是O的直径，弦AC=2，ABC=30，则图中阴影部分的面积是 9（枣庄）如图，AB是O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，ADEF于点D，DAC=BAC（1）求证：EF是O的切线；（2）求证：AC

8、2=ADAB；（3）若O的半径为2，ACD=30，求图中阴影部分的面积10（莱芜）如图，O的半径为1，直线CD经过圆心O，交O于C、D两点，直径ABCD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN（1）当点M在O内部，如图一，试判断PN与O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在O外部，如图三，AMO=15，求图中阴影部分的面积【备考真题过关】一、选择题1（淮安）若扇形的半径为6，圆心角为120，则此扇形的弧长是（）A3B4C5D62（天门）如果一个

9、扇形的弧长是，半径是6，那么此扇形的圆心角为（）A40B45C60D803（义乌）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（）A12cmB10cmC8cmD6cm4（乌鲁木齐）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）AB2C3D45（南通）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6cm，则扇形的半径为（）A3cmB5cmC6cmD8cm6（黄石）已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（）A90cm2B209cm2C155cm2D65cm26A7（舟山）如图，

10、某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90，则“蘑菇罐头”字样的长度为（）AcmBcmCcmD7cm8（南宁）如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（）A150cm2B300cm2C600cm2D150cm29（台州）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A3B4-C4D6-210（贵港）

11、如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为，且sin=，则该圆锥的侧面积是（）A24B24C16D1211（襄阳）如图，以AD为直径的半圆O经过RtABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E、B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（）ABCD13（许昌一模）已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于D，AC于E，连接AD、BE交于点M，过点D作DFAC于F，DHAB于H，交BE于G，下列结论：BD=CD；DF是O的切线；DAC=BDH；DG=BM成立的个数（）A1个B2个C3个D4个二、填空题14（徐州）已知扇形的圆心角为120，弧长为

12、10cm，则扇形的半径为 15cm15（茂名）如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角O=120，半径OA=3，则弧AB的长度为 2（结果保留）16（重庆）如图，一个圆心角为90的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留） -217（2013孝感）用半径为10cm，圆心角为216的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 8cm18（宿迁）已知圆锥的底面周长是10，其侧面展开后所得扇形的圆心角为90，则该圆锥的母线长是 2019（玉林）如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是 40m20（徐州）如图，在正八

13、边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为 40cm221（南京）OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若OAB的一个内角为70，则该正多边形的边数为 922（盘锦）如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具，那么这个教具的用纸面积是 300cm2（不考虑接缝等因素，计算结果用表示）23（泸州）如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 m24（内江）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的

14、边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为 4cm25（凉山州）如图，RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，两等圆A，B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 26（福州）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点已知每个正六边形的边长为1，ABC的顶点都在格点上，则ABC的面积是 27（衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（AOB）为120，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为 28（宿迁）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆

15、上的一点将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）29（长春）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k的值为 30（遵义）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 （结果保留根号）31（乐亭县一模）如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，C的圆心坐标为（2，O），半径为2，若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值和最大值分别是 32（玉林）如图，ABC是O内接正三角形