第十五章整式全章教案

1、第15章整式15.1 整式的加减(1)教学目标了解单项式、多项式、整式的概念，弄清它们之间的联系与区别掌握整式、单项式及其系数与次数、多项式的次数、项的概念，明确它们之间的区别与联系，并会把一个多项式按某个字母的升幂或降幂排列教学重点与难点重点：单项式概念及其系数与次数、多项式概念及其次数、项之间的区别与联系难点：识别单项式系数与次数、多项式次数、项教学设计创设情境引入课题为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长m m，宽b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的

2、面积?不同的表示方法之间有什么关系?学生小组讨论，全班交流回答上面的问题要用到本章将要学习的新知识注：原长方形及其变化后的长方形，让学生从图形直观感受变化，并尝试用不同的方法表示扩大后的绿地面积但这里重点在于激发学生的学习兴趣，鼓励他们找到不同的答案(包括书本外的答案)对于不同表示方法之间的关系留待以后讨论探求新知1试一试填空：(1)若正方形的边长为x，那么正方形的周长为_(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为_(3)小民从每月的零花钱中贮存一些钱准备捐给希望工程，若他每年能捐x元，三年半下来小民共捐款_元(4)一辆汽车的速度是v kmh，行驶t h所走过的路程是_

3、km(5)若n表示一个数，则它的相反数是_(6)若正方体的棱长为a，它的表面积为_，体积为_(7)直径为m的圆面积是_注：在这里补充(7)的目的是为了接下去学习单项式的系数时让学生注意是常数2想一想问题1：观察你所列出的这些式子有什么共同特点?(可以将式子中省略的乘号补上，启发学生观察)指导学生一起分析这些式子，指出这些式子的共同点注：学生独立思考，互相交流思考的结果在学生交流的基础上，教师概括：所列的式子是4x，它们都是数或字母的积，这样的式子叫做单项式特别地，单独的一个数或字母也是单项式你能再举一些单项式的例子吗?试试看单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式

4、的次数你能说出上述单项式的系数和次数吗?注意：(1)圆周率是常数；(2)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写(3)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数如3x写成x“注意”应该结合具体例子先讲解，再小结巩固新知例1 判断下列各式是否是单项式如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数自主学习1做一做填空：(教科书第163页思考题)在学习单项式时，我们研究了单项式的概念、单项式的系数和次数，类似地，对于上面写出的这些式子你能提出什么问题?问题2：观察你所列出的这些式子有什么共同特点?它们与单项式有什么关系?注：对于单项式、多项式同样都要研究它的次数等，所以在这里让学生自

5、主提出要研究的问题，在生生交流、师生交流过程中，尝试得到结论2讲一讲师生共同概括：列出的式子3.14r2，x2+2x+18，都是由单项式的和组成的几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项注：让学生读一读这些多项式，注意每一项是什么，还要使学生注意单项式前的符号，有正号，也有负号先读一读，再说说看：上述多项式的项分别是什么?注意：多项式的每一项都包括它前面的符号问题：单项式的次数是怎么确定的?观察多项式x2+2x+18中各项的次数分别是多少?其中次数最高项的次数是多少?规定，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数试回答：多项式是几次多项

6、式?注意：多项式的次数不是所有项的次数之和注：这里注意让学生讲一讲单项式与多项式次数之间的联系与区别巩固新知例2指出下列多项式的项和次数：(1)a3-3a2b+3ab2-b2；(2)4n4-3n2+2练习：教科书第164页单项式和多项式统称整式说一说：你能说出单项式、多项式、整式三者间的关系吗?试一试运用加法交换律，任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到_种不同的排列方式在众多的排列方式中，你认为哪几种比较整齐?学生独立思考后交流注：学生体验单项式、多项式的联系与区别，单项式、多项式、多项式的项都有次数，要弄清它们之问的联系与区别概括：任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到

7、6种不同的排列方式在众多的排列方式中，像x2+x+1与1+x+x2这样的排列方式比较整齐你认为是什么特点致使这两种排列比较整齐呢?学生独立思考，小组交流师生共同分析得出结论：这两种排列有一个共同的特点，那就是x的指数是逐渐变小(或变大)的其实，这样的写法除了整齐外对今后的计算也会带来便利把多项式x+x2+1按x的指数从大到小的顺序排列，即x2+x+1，叫做这个多项式按字母x的降幂排列；把多项式x+x2+1按x的指数从小到大的顺序排列，即1+x+x2，叫做这个多项式按字母x的升幂排列做一做：把多项式分别5-4x2+5x按x的升幂和降幂排列小结挑战自我1请写出一个单项式，使它的系数为-4,次数为5

8、；2请写出一个多项式，使它的项数是3，次数为3注：通过开放性问题的练习，进一步强化对单项式的系数、次数以及多项式的项数、次数的认识，提高学生的综合思维能力课外巩固1必做题：(1)教科书第164页练习1、2；(2)教科书第167页习题15.1第1题2备选题：(1)判断下列各式是不是整式?如果是整式，那么它是单项式还是多项式?(2)判断下列说法是否正确正确的在括号内打“”，不正确的打“”：单项式a既没有系数，也没有次数 ( )单项式5lO5x的系数是5 ( )-2005是单项式 ( )单项式的系数是，次数是3 ( )(3)指出下列多项式的次数与项，并把它按字母a的升幂排列：3a2+5-3a+a3；

9、2a3b-4b3+5a2设计思想在小学和七年级，已经学习了用字母代替数，列代数式表示现实世界中简单的数量关系，根据数量关系列方程和解方程，有了这些基本知识，学生已经对整式具有了一定的感性认识本节课学习单项式与多项式及其相关的概念，是数学概念的学习在教学设计中采用从实际问题中引入新课，让学生自己动手做一做，比较同一个问题的不同的表示方法，激起学生探索的兴趣因为初一的学生观察、分析、归纳的能力还比较弱，在教学中从实例出发，展现数学知识的形成过程，组织学生小组讨论，在学生交流的基础上归纳出单项式与多项式的概念，在这个过程中逐步提高学生的抽象概括能力单项式我们研究它的系数与次数，多项式也要研究它的次数

10、，学生较容易把多项式的次数算成所有字母的指数和，在教学中组织学生讨论两者的联系与区别在小结后让学生解决两个开放性问题，进一步强化了学生对单项式及多项式相关概念的区别与联系，达到了让学生在理解的基础上掌握单项式及多项式相关概念的目的背景资料算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系算术是代数的基础，代数由算术演进而来从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破一、代数学产生的历史必然性代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发

11、展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以想像在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和

12、整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，再列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行特别是对于那些含有几个未知数的实际问题，要想通过建立已知数的算式来求解，有时甚至是不可能的算术自身运算的局

13、限性，不仅限制了数学的应用，而且也影响和束缚了数学自身的继续发展随着数学自身和社会实践的深入发展，算术解题法的局限性日益暴露出来，于是一种新的解题法代数解题法的产生也就成为历史的必然代数解题法的基本思想是，首先依据问题的条件组成包含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值初等代数的中心内容是解方程，因而通常把初等代数理解为解方程的科学初等代数与算术的根本区别，在于前者允许把未知数作为运算的对象，后者则把未知数排斥在运算之外如果说在算术中也论及某个未知数的话，那么，这个未知数也只能起运算结果符号等价物的作用，只能单独地处在等式的左边，静等等式右边的算

14、式完成对具体数字的演算也就是说，在算术中，未知数没有参加运算的权利而在代数中，方程作为由已知数和未知数构成的条件等式，本身就意味着其中所包含的已知数和未知数有着同等的运算地位，即未知数也变成了运算的对象，和已知数一样，它们可以参与各种运算，并可以依照某种法则从乘式的一边移到另一边解方程的过程，实质上就是通过对已知数和未知数的重新组合，把未知数转化为已知数的过程，即把未知数置于等式的一边，已知数置于等式的另一边从这种意义上看，算术运算不过是代数运算的特殊情况，代数运算是算术运算的发展和推广由于代数运算具有较大的普遍性和灵活性，因而代数的产生极大地扩展了数学的应用范围，许多算术无能为力的问题，在代

15、数中却能轻而易举地得到解决不仅如此，代数学的产生对整个数学的进程产生巨大而深远的影响，许多重大发现都与代数的思想方法有关例如，对二次方程的求解，导致虚数的发现；对五次以上方程的求解，导致群论的诞生；把代数应用于几何问题，导致解析几何的创立等等正因为如此，我们把代数的产生作为数学思想方法发生第一次重大转折的标志二、代数学体系结构的形成“代数”一词，原意是指“解方程的科学”因此，最初的代数学也就是初等代数初等代数，作为一门独立的数学分支学科，其形成经历了一个漫长的历史过程，我们很难以某一个具体的年代作为它问世的标志从历史上看，它大体上经过了三个不同的阶段：文词代数，即用文字语言来表述运算对象和过程

16、；简字代数，即用简化了的文词来表示运算内容和步骤；符号代数，即普遍使用抽象的字母符号从文词代数演进到符号代数的过程，也就是初等代数由不成熟到较为成熟的发育过程在这个过程中，17世纪法国数学家笛卡尔做出了突出贡献他是第一个提倡用x、y、z代表未知数的人，他提出和使用的许多符号，同现代的写法基本一致随着数学的发展和社会实践的深化，代数学的研究对象不断得到扩大，其思想方法不断得到创新，代数学也就由低级形态演进到高级形态，由初等代数发展到高等代数高等代数与初等代数在思想方法上有很大的差别初等代数属于计算性的，并且只限于研究实数和复数等特定的数系，而高等代数是概念性、公理化的，它的对象是一般的抽象代数系

17、统因此，高等代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性，这就使高等代数的应用范围更加广泛向抽象性和普遍性方向发展，是现代代数学的一个重要特征15.1 整式的加减(2)教学目标在具体情境中认识同类项，理解同类项的概念，会判断同类项使学生在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并能熟练地合并同类项掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号、添括号学生能在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算经历观察、类比、思考、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识与合作精神教学重点与难点:重点：合并同类项难点：合并同类项教学设计创设情境，提出问题问题1：课前让学生看看家里

18、的碗橱、衣柜，观察里面东西的摆放，上课后请学生交流说一说：请学生把自己看到的现象与同学交流(碗归碗，勺归勺；大碗小碗分开放；大小盘子也是的；大衣柜里面的衣服摆放也是这样等等)从学生生活中的实例出。发，创设情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来想一想：教师此时引导学生想一想东西这样摆放的好处(一种类型的东西放置在一起，既整齐，节约空间，如大碗叠放在一起比一个个散放要省地方，找起来又方便)注：学生从中自然而然的体会到生活中的分类思想，和“合并同类项”(把具有某种相同的特征的归为一类)的好处着重指出分类时是把具有相同特征的归为一类问题2：在第二章中曾经解决过的一个问题，某校

19、前年、去年、今年购买的计算机台数分别是x，2x，4x，那么这个学校这三年购买的计算机台数是7x，即x+2x+4x=7x教师要求学生仔细观察，从中能够得到什么结论?学生观察后进行交流大胆猜测，归纳提升1探索同类项概念问题3：一个多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5，并问学生：(1)这个多项式中含有哪些项?(2)各项的系数又是多少?(3)哪些项可以合并成一项?为什么?合并同类项以及整式的加减是建立在单项式、多项式相关概念的基础上的，所以在开始学习新知识前有必要对前面所学知识简单进行回顾学生独立思考，小组交流后全班讨论在教师的启发下，学生经过小组讨论发现：除了-3与5，还有3x2y与

20、5x2y，-4xy2与2xy2可以分别合并学生自己给同类项命名：把这些可以合并的项叫做同类项教师追问：它们具有什么共同特征?通过讨论，学生总结：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项2建立同类项概念游戏：一个学生任意说出一个单项式，另一个同学说出它的同类项注：学生接受同类项的定义并不难，做到判断无误却非易事需要通过练习，反复强调同类项的两条判断标准，使学生通过甄别、比较、逐步达到判断准确、合并熟练的程度游戏目的是让全体学生能够真正参与到课堂教学中来，让学生在较为轻松的情境中学会同类项概念，识别同类项深入探究1想一想(1)从学生的回答中任意挑选几个同类项，组成多项式如，问：x+

21、2x+3x=?你是怎样得出结论的?(2)你知道2x2-4x2=? -3xy2+5xy2=?说说你们的方法，并互相交流让学生先独立完成，再组织交流从学生自己的回答中选择一些式子组成多项式，通过观察思考自己总结出合并同类项的法则，增强学生参与的兴趣2挑战自我(1)x+2x+2x2-4x2-4xy2+5xy2=?(2)x-4x2+5xy2+2x-3xy3+2x2=?(3)求多项式x-4x2+5xy3与2x-3xy3+2x2的和；(4)求多项式x-4x2+5xy3+2x与3xy3-2x2的差在探索过程中，提醒学生注意合并同类项运用乘法的三个运算律时，要注意符号问题，即要移动任意一项必须连同项的符号一起

22、移动在解决挑战自我的(3)、(4)时，列式后第一步是去括号，注意括号内符号的变化第二步是合并同类项3得出结论：(1)把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项 (2)几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，再合并同类项注：合并同类项时，为避免发生漏项的错误，在解决问题时重视解题的步骤，先标出同类项，然后再根据法则，合并各组同类项，这样做，有利于巩固概念，准确掌握合并同类项的规律使学生在计算中思维条理化，提高运算能力，减少计算上的错误熟练后，可以减少中间过程，直接写出结果巩固新知例1教科书第165页例1(实际应用

23、问题)例2教科书第166页例2补充：求2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy-2y+1的值，其中x=，y=-1例2及其补充题鼓励学生先独立完成，再交流不同的方法，以使学生体会合并同类项的作用学生独立思考后交流各自解决方法学生自己得出结论：解决这类问题先化简再求值更加简单比一比规定时间内完成教科书第166页练习，看谁做得既快又对注：通过比一比使学生能够熟练地进行整式的加减运算，让学生对本小节知识的理解得到巩固小结课外练习1必做题：教科书第167页习题15.1第3、4、5、6、7、8题2备选题：(1)请写出2ab2c3的一个同类项你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?(2)合并同类项一3x

24、2y3k与4x2y6的结果是多少?(3)若2amb2m+3n与a2n-3b8的和仍是一个单项式，则m与 n的值分别是_(4)课本第168页习题15.1第9、10题设计思想学生对新知识的学习不应该只是通过教师单纯地讲解与学生机械地模仿，而是应该通过学生参与数学活动，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而使学生更好地理解知识，掌握必要的技能，坚定学好数学的愿望与信心本节课的教学设计是以人教版教材和课程标准为依据，从学生生活中的实例出发，让学生自己去观察家里的橱柜摆设，创设问题情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来，让学生对生活中的“同类项”和“合并同类项”有了直观的认识在

25、学习过程中，让学生自己经历探索与交流的活动，自主地得到同类项的概念；利用分配律观察并归纳出合并同类项的法则，这样他们所学到的知识是真正属于自己的，而不是别人强加给他们的在教学活动中，教师鼓励学生自主探索与合作交流学生通过这样的数学活动，不仅主动地获取知识，而且在活动过程中产生了积极的学习情感15.2 整式的乘法(1)教学目标感受生活中幂的运算的存在与价值经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算逐步形成独立思考、主动探索的习惯通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力教学重点与难点

26、重点：幂的三个运算性质难点：幂的三个运算性质教学设计创设情境导入新课问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算?你能用学过的知识解决吗?从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012103怎样计算1012103?根据乘方的意义可以知道：探究新知1探一探根据乘方的意义填空：从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从

27、具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则学生独立思考后回答，教师板演2猜一猜问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗?学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加3说一说aman(m，n是正整数)?学生说出理由，教师板演共同得出结论：aman=am+n(m，n都是正整数)即同底数幂相乘，底数不变，指数相加注意性质中的m、n的取值范围注：要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的4想一想amanap=?

28、5做一做例1教科书第170页的例1(1)(4)(5)-a3a5；(6)(x+1)2(x+1)3同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算例1(5)中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1(6)，把底数进一步扩充到式的范围6自主学习根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(am)n=amn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘7做

29、一做例2教科书第171页的例2(1)(4)(5) -(x3)4x28想一想让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空尝试分析运算过程中用到哪些运算律?运算结果有什么规律?学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)n=anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘那么，(abc)n=?注：和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方9做一做例3教科书第172页的例3(1)(4);补充：(5) -3(x+y)23例4 计算：x(x2)3-

30、2x4x2比一比这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第170页、17l页、172页的练习深入探究例5计算：(1)(-8)2004(-0.125)2005(2)(-2)2n+1+2(-2)2n(n为正整数)在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式把底数进一步扩充到式的范围议一议下面的计算对不对?如果不对，应当怎样改正(1)a3a3=a6；(2)b4b4=2b4；(3)x5+x5=x10;(4)y7y=y8；(5)(a3)5=a8；(6)a3a5=a15;(7)(a2)3a4=a9；

31、(8)(xy3)2=xy6；(9)(-2x)3=-2x3注：补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力小结组织学生讨论和辨析三个运算性质课外巩固1必做题：教科书第177页习题15.2第1、2题2备选题：(1)计算：(2)计算：am-1an+2+am+2an-1+aman+1(3)已知：am=7，bm=4，则(ab)2m=_(4)已知：3x+2y-3=0，则27x9y=_设计思想本节课需要掌握三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”，这三个运算性质是整式乘法运算的基石，又是在幂的意义的基础上发展的教

32、师以“计算与问题观察与猜想归纳与概括”为教学主线引导学生探索运算性质，淡化推理论证，强调留给学生探索与交流的空间，重视性质的探索过程和数学感受通过设置问题情境和操作情境，运用乘方的意义进行有理数的幂的乘法，让学生在主动的探索中获得同底数幂的乘法运算性质，再通过学生的动手实践，运用乘方的意义、同底数幂的乘法运算性质和乘法运算律自主获得幂的乘方、积的乘方运算性质，突破难点，从而构建新的知识体系对于容易混淆的概念，诸如“a3+a3与a3a3，a2a3与(a2)3”之类的问题，通过组织学生讨论和辨析，加强对幂的运算的掌握，同时也培养了一定的思维批判性在课堂教学中，通过口答、动手做一做等，组织学生进行比

33、赛，培养学生一定的计算能力在具体实施中，采用小组学习的方式，培养学生的合作意识；引导全班同学一起探索、交流与讨论，在激发了学生的学习热情的同时，获得知识的提升15.2整式的乘法(2)教学目标:探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力教学重点与难点重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用教学设计复习引新1知识回顾：回忆幂的运算性质：aman=am+n(m，n都是正整数)即同底数幂相乘，底数不变，指数相加(am

34、)n=amn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘(ab)n=anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘2练一练口答：幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习创设情境引入新课问题光的速度约为3105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系地球与太阳的距离约为(3105)(5102)千米问题是(3105)(5102)等于多少呢?学生提出运用乘法

35、交换律和结合律可以解决：(3105)(5102)=(35)(105102)=15107(为什么?)在此处再问学生更加规范的书写是什么?应该是地球与太阳的距离约为1.5lO8千米请学生回顾，我们是如何解决问题的探究新知1问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5bc2，你会算吗?学生独立思考，小组交流注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成ac5和bc2，再利用乘法交换律和结合律ac5bc2=(ac5)(bc2)=(ab)(c5c2)=abc5+2

36、=abc7注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题2试一试：类似地，请你试着计算：(1)2c55c2；(2)(-5a2b3)(-4b2c)ac5和bc2，2c5和5c2，(-5a2b3)和(-4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式3算一算例1教科书第1

37、73页例4在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号例2 小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力4辩一辩教科书第174页练习2注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力深入探究1师生共同研究教科书第174页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识注：这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结

38、合分配律学生不难得到结论2试一试计算：2a2(3a2-5b)(根据乘法分配律，不难算出结果吧!)注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论3想一想从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘?学生发言，互相补充后得出结论：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加4做一做教科书第174页例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号)注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意小结课外巩固1必做题：教科书第177

39、页习题15.2第3、4、6题2备选题：(1)若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m-n的值为_(2)计算：(a3b)2(a2b)3(3)计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)(4)计算：设计思想单项式的乘法用到了有理数的乘法、幂的运算性质，而后续的多项式与单项式的乘法，都要转化为单项式乘法因此，单项式乘法将起到承前启后的作用，在整式乘法中占有独特地位所以在教学中先对所学知识进行回顾，再从实际问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索；在教学过程中引导学生参照引例解决方法，教师先不给出单项式与单项武相乘的运算法则，而是让学生先独立思考，再相互交流，然后由学生自己

40、小结出如何进行单项式的乘法，在探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则，从而构建新的知识体系在此基础上要求学生用语言叙述这个性质，这有利于提高学生数学语言的表述能力因为整式是在数的运算的基础上发展起来的，所以在学习单项式与多项式的乘法时，让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，将新知识转化为已经学过的知识无论是单项式乘以单项式“转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法，还是多项式乘以多项式“转化”为单项式的乘法，学生都从中体会到学习新知识的方法，即学习一种新的

41、知识、方法；通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行15.2整式的乘法(3)教学目标探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力教学重点与难点重点：多项式与多项式相乘难点：多项式与多项式相乘教学设计复习引新1前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法2练一练：教科书第175页练习1、2我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街

42、心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积?用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣学生独立思考后交换各自的解法：方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米2方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同

43、一块绿地的面积，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn注：借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a+b)(m+n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bn，因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn让学生对这个结论有直观感受探究新知引导学生观察等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法进一步引导学生，如果我们把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同

44、学们试着做一做注：把(m+n)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解实际上，这是一个很重要的思想和方法学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行在此，如果学生真正理解了把(m+n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了1做一做(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn2讲一讲让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加3试一试例1 教科书第176页例6教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，

45、提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号例2先化简，再求值：(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-64练一练教科书第177页练习1深入探索1试一试例3计算：(x+2)(x-3)注：让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣2想一想问：结果中的x2，-6是怎样得到的?学生口答继续完成教科书第177页练习2问：从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗?(1)学生交流各自的发现(2)结合教科书第

46、177页练习第3题图，直观认识规律，并完成此题3练一练(1)计算(口答)：(x+2)(x+3)；(x-1)(x+2)；(x+2)(x-2)；(x-5)(x-6)；(x+5)(x+5)；(x-5)(x-5)；(2)口答：教科书第178页习题15.2第12题4用一用例4一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?小结课外巩固1必做题：教科书第178页第6、7、8、9、10、11题2备选题：(1)计算：(x+2y-1)2(2)已知x2-2x=2，将下式化简，再求值(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)(3)小明找来一张

47、挂历画包数学课本已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?设计思想本章在第一节课提出“怎样用不同的方法表示扩大后的绿地面积，用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?”的问题，当时提出这个问题的目的是为了激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣，在学习了整式的加减与单项式与单项式、多项式与单项式的乘法后，与之呼应，又提出了当时悬而未决的问题“用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?”教学中充分利用直观的，几何图形，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，让学生从图形中可以看到(a+b)(m

48、+n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bnam+an，因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，先对多项式乘以多项式的方法有直观感受，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一然后在性质推导中把(m+n)看成一个单项式，渗透很重要的思想和方法：整体思想在教学过程中，学生发现多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了从而让学生进一步体会“转化”的思想方法：学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方

49、法，从而使学习能够进行15.3 乘法公式15.3.1平方差公式教学目标经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法教学重点与难点重点：平方差公式的推导及应用难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式教学准备卡片及多媒体课件教学设计引入同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规

50、律吗?(1)(x+1)(x-1)=(2)(m+2)(m-2)=(3)(2x+1)(2x-1)=引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证

51、明举例再举几个这样的运算例子注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报验证我们再来计算(a+b)(a-b)=公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例归纳猜想验证用数学符号表示注：这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础概括平方差公式及其形式特征教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因应用教科书第180页例1运用平方差公

52、式计算：(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)填表：(a+b)(a-b)aba2b2最后结果(3x+2)(3x-2)2(3x)2-22(b+2a)(2a-b)(-x+2y)(-x-2y)对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算注：(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字

53、母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解教科书第180页例2计算：(1)10298(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的注：(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据

54、数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行巩固教科书第18l页练习1、2练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感解释你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示注：(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式小结谈一谈：你这一节课有什么收获?注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强作业1必做