控制工程基础（第三版）：第八章根轨迹

1、,2010年,控制理论基础(第八章 ）,根轨迹法,8.1 根轨迹与根轨迹方程,8.2 绘制根轨迹的基本法则,8.4 系统闭环零极点的分布与性能,8.3 典型开环零极点及其闭环根轨迹图,8.1 根轨迹与根轨迹方程,8.1.1 根轨迹,8.1.2 根轨迹方程及相角、幅值条件,反馈控制系统的动态性能，主要由系统的极点分布所决定，但求解高阶系统特征方程很困难，这就限制了时域分析法在二阶以上的控制系统中的应用。,8.1.1 根轨迹,1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数求闭环特征根的新方法，并且建立了一套法则，这就是在工程上获得较广泛

2、应用的根轨迹法。,8.1.2 根轨迹方程及相角、幅值条件,1十G(s)H(s)=0 或写作 G（s）H（s）=-1,相角条件 幅值条件,相角条件、幅值条件又可表示为：,8.2绘制根轨迹的基本法则,1. 根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n, 则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处。,当nm时，当 时，,2. 根轨迹的分支数,这是因为n阶特征方程对应n个特征根，当开环增益K由零变到无穷大时，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。,根轨迹s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相同。,3. 根轨迹的对称性,因为开

3、环极点，零点或闭环极点都是实数或者为成对的共轭复数，它们在s平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。,4. 实轴上的根轨迹,由于成对的共轭复根在实轴上产生的相角之和总是等于360，不会影响实轴上根轨迹的位置，故上述结论由相角条件很容易得出。,实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数。,5. 根轨迹的渐近线,如果开环零点数m小于开环极点数n，则当 时，趋向无穷远处的根轨迹共有(n-m)条，这(n-m）条根轨迹趋向于无穷远处的方位可由渐近线决定。 设系统开环传递函数为,有(n-m)条渐近线。当s很大时，上式可近似为,（nm）,由上两式中项 系数相等，得渐近线与实轴交点的坐标为,即

4、其分子是极点之和减去零点之和。渐近线与实轴正方向的夹角为,式中k依次取0，1， 2，,一直到获得（n-m）个倾角为止。,6. 根轨迹的起始角与终止角,起始角为 终止角（或入射角）为,几条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。,7. 分离点的坐标,方法1 因分离点（或会合点）是特征方程的重根，因此可用求重根的方法确定它们的位置。 设系统开环传递函数为,系统闭环特征方程为,分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程,由上两式可得,即,根据该式，即可确定分离点（或会合点）的参数。例2 某系统开环传递函数为,解之，得相应的增益为,方法2设系统开环传递函数为

5、,由系统闭环特征方程，得,求极值,即可确定分离点（或会合点）的参数。仍以例2为例,解之，得,相应的增益为,方法3 分离点（或会合点）的坐标可由方程 解出，其中为开环极点，为开环零点。 例3 已知系统开环传递函数为,试求系统闭环根轨迹的分离点坐标。,解： 得,解此方程得 d1=-2.12，d2=0.12 d1在根轨迹上，是所求的分离点。d2不在根轨迹上，则舍弃。 根轨迹如图所示。,8. 实轴上分离点的分离角恒为90,根轨迹离开分离点时，轨迹切线的倾角称分离角。由相角条件可推出，当根轨迹从实轴二重极点上分离时，其右边为偶数个零极点，因此该二重极点相角之和为士(2n+1)180，即实轴上分离点的分离

6、角恒为士90。,同理，实轴上会合点的会合角也恒为士90。,根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根 ，系统处于临界稳定状态。,9.根轨迹与虚轴的交点,方法1 将s= 代入特征方程中得 或,令 则可解出值及对应的临界开环增益 及K来。,例 已知系统开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。,解: 系统闭环特征方程为 令s= ，代入上式得,即,联立得,方法2 根轨迹与虚轴交点坐标也可通过劳斯判据求出。仍以上例为例，其劳斯表为,解,得 即为所求。,8.3 典型开环零极点及其闭环根轨迹图,加入校正，即改变了根轨迹的分布。分母加入一阶环节，将使根轨迹推向s右半平面，使系统稳定的K值范围减小。下图所示为二阶系统，分母加入一阶环节，变成三阶系统的情况。,8.4 零点、极点的分布与性能关系,分子加入一阶环节，将使根轨迹推向s左半平面，使系统趋于稳定。下图所示为三阶系统，分子加入一阶环节，系统变成稳定的情况。,加入局部硬反馈（即比例反馈），如下图所示系统，通常使系统稳定裕量增加，提高系统相对稳定性，而放大倍数有所降低。,加入局部软反馈（即近似微分反馈），如下图，通常也使系统稳定裕量增加，提高系统相对稳定性，过渡过程完成后，反馈不