高数导数的应用习题及答案

1、x 在 a,b 上连续，且 fa、是非题:a,b，使 f0 .错误不满足罗尔定理的条件。2 .若函数f x在X。的某邻域内处处可微，且f X。0，则函数f x必在Xo处取得极值.错误驻点不一定是极值点，如：y x3 , x0是其驻点，但不是极值点。1函数f b，则至少存在一点3 .若函数f x在X。处取得极值，则曲线 yf x在点Xo , f Xo处必有平行于x轴的切线.错误t曲线y x3在x0点有平行于x轴的切线,但x 0不是极值点。4 .函数yx si nx 在,内无极值.正确/ y 1 cosx 0,函数y xsin x 在,内单调增，无极值。0，则曲线y f x在a,b5 .若函数f

2、x在a,b内具有二阶导数，且f x 0, f x内单调减少且是向上凹.正确x a in x bx2 x （ a,b为常数）在洛2处有极值，则a、填空:x2x，令1 x20 ,得 x 0。又 x 0, f xx 0, f x 0 ,函数x in x21在x 0取得极小值。(21),b (-).36/ fXa2bx 1，当 X11, X22 时，Xa2b10, a 4b 10，解之得a2,b232 .函数fXin2x 1的极值点是(x 0).1设f x 2x21 ,x 4x，令又 x 0, f x 0 ； x 0, f x0 , 函数f x x3 x的拐点是0,04 .曲线f XIn x的凸区间是

3、（0,）.，使f X无意义的点为x 0。X0 时，f x曲线f XIn x的凸区间是0,。),b1 ).ax5 .若 lim x 0 sin 2xaxaxe b e b -limlimx 0 sin2xx 0 2x1limx 0 xaxe b 1ax即 lim ex 01,b又当x 0时,三、选择填空:1下列函数中，在区间 1,1上满足罗尔定理条件的是a.Inxc.h x 1 x21xsi nx 0X0x 0X e在端点的值不相等；g x In x在区间1,1上不连续；.1对 k xxsin； x0x0在x 0不可导；02h x 1 x在区间1,1上满足罗尔定理的条件。c是正确的。2.罗尔定理

4、的条件是其结论的（a.）a.充分条件3 x23 .函数f X1Xb.必要条件c.充要条件0 x 1在区间0,2上(a.)1 xa.满足拉格朗日定理条件b.不满足拉格朗日定理条件3x21, lim f xX 1函数f x在x 1连续，函数f x在0,2上连续。12x3 x22x 1函数f x在x 1可导，函数f x在0,2上可导。函数f x在0,2上满足拉格朗日定理条件，因而a是正确的。4 设f X在X。有二阶导数,x0,f X。a.a.不能确定有无极值b .有极大值5.设函数f x在0,a具有二阶导数，且xf xc.有极小值x 在 0,a0,则内是(a.)a.单调增加的b .单调减少的xf x

5、2x在0, a内是单调增加的，因而 a.是正确的。x6 .函数f x的连续但不可导的点（d.a.定不是极值点b .一定是极值点c.定不是拐点d.定不是驻点四、计算题：x sinx limx 0 x tanxlimx 0x sin xx tanxlim02.2cos xxim01 ex21 cos lim x 0 x 1 e1 - XmoH X1- X叫n X1 cosx2sec xlimx 0x2tan2limx 0x2.2sinmoH X1 2X-emoH XXX4.xmx|n sinxlim xln sin xx 0In sin x lim0cotx lim 0 1-2xlim:0x2ta

6、nxlimx 02x- 0x5.xsin x lim x 0 .1x2x2J x2原式1xm01 xlim0x2lim 、1 x2x 06.limSx x sinxx sin x limxsin xximolimx00limx 08.xmx sin xln 1 x 1 xIn 1x2In 1x2In 1 x2xIn 1 x2xlimx 0In 1 x2xlimxlim x0 2xsin xlim rx 0x2ln limx 0ln limx 0x22x9.阿。1nx ln1 X所以y3x0,得3x23(x 1)3(x 1)x 1为不可导点3x 13x(x 1)1 3x33x2 31 x解lim

7、ln x In1xlim xln xlim lnxlimx 0x 0 0x 0 0x 0 01x 0 01xx210.求函数y3 x3 12x 的极值.解定义域为R对函数两边取自然对数得(不妨设0 x1)12In yIn x訓(1x)33列表x(,0)01%)131(1,)f (x)+不存在+0一不存在+f(x)/拐点/极大值极小值/3，极小值为y(1)1所以极大值为y(-)311 若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数，求有最大面积的直角三角形.1解 设两直角边分别为 x、y，则面积S xy ( x 0, y 0 ) 2 2设常数为c 由c x x2 y2，得x - 二2c2 2所以 S C y (0 y c) 4c4 4cc3y2cc0，得y ，所以x44c3c磴，令S驻点唯一，故当两直角边分别为 一 时直角三角形的面积最大.、312求乘积为常数 a 0,且其和为最小的两个正数.a解 设其中一正数为x、则另一正数为；设这两个正数之和为S .xS x - ( x 0)xS 1 ，令 S 0，得 x 、ax驻点唯一，故当两个正数均为,a时其和为最小