高中数学《复数的四则运算》素材3新人教B版必修2-2

1、数系的扩充与复数的引入复习指导教材重点 ：复数的相等， 复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；体会数学思想方法类比法教材难点：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法复习过程指导在复习本章时， 我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1) 复数与实数、有理数的联系； （2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系； （ 3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力其数学思

2、想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：多项 式类比复数类比向量运算运算运算转化有理数转化实数类比数轴上运算运算向量运一数学思想方法总结算1 数学思想方法之一：类比法（ 1）复数的运算复数代数形式的加法、减法运算法则(abi )( cdi )( ac)(bd )i复数代数形式的乘法运算运算法则：(abi )(cdi )(acbd )(adbc)i显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项） ，以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便（ 2）复数的几何意义我们知道， 实数与数轴上的点一一对应的； 有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有：复数集c a

3、bi | a, br 与坐标系中的点集(a ,b) |ar, b r 一一对应于是：复数集 z abi复平面内的点 z ( a, b)复数集 z abi平面向量 oz用心爱心专心例 1（ 2005 高考浙江4）在复平面内，复数i(1 32对应的点1i )i位于( )(a)第一象限(b)第二象限(c)第三象限(d)第四象限i (1 3 i212 3i3解答：复数) 1 i1i2因为复数3123)i2(23( 123)i 对应着直角坐标平面内的点( 3 , 12 3) ，2222故在第二象限，答案为 b此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解例 2非零复数 z1, z2

4、 分别对应复平面内向量oa, ob ，若 | z1z2 | =| z1 z2 |则向量 oa 与 ob 的关系必有（）a oa = ob b oaob c oaob d oaob， 共线解答：由向量的加法及减法可知：yoc oaobcab oboab由复数加法以及减法的几何意义可知：a| z1z2 | 对应 oc 的模ox图| z1z2 | 对应 ab 的模又因为 | z1z2 | = | z1z2 | ，且非零复数z1, z2 分别对应复平面内向量oa,ob所以四边形oacb是正方形因此 oaob ，故答案选b注： 此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义（ 3）复数的化简虚数除法运算的分母

5、“实数化” ，类似的有实数运算的分母“有理化” 例（ 2005 高考 天津卷理 (2)）若复数 a3i （ a r，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为12i（ a） -2(b)4(c) -6(d)6用心爱心专心解答：由 a3i (a3i)(12i) a6(3 2a)i12i(12i )(12i )1222 a632a i55因为复数 a3i 是纯虚数12i所以 a60 且3 2a055解得 a6故答案选 c注 ： 这 里 在 复 数 的 化 简 中 主 要 用 了 一 对 共 轭 复 数 的 积 是 实 数(1 2i)(1 2i ) ，一般地（a bi ）（ a bi） a2b2这也

6、是一个复数与实数转化的过程，即a 632a i 是纯虚数可得：a 63 2a550 且0 ，552数学思想方法之二转化法我们知道在运算上， 高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算； 实数的运算要转化为有理数的运算；类似地， 有关虚数的运算要转化为实数的运算实数 a(b 0)基础知识：复数 abi虚数 abi (b0)纯虚数 bi ( a0)非纯虚数a（0)bi a例（ 2005高考北京卷（9）若 z1 a2i ,z234i ，且 z1为纯虚数，则z2实数 a 的值为解答： z1 a2i(a2i )(34i ) 3a86 4a iz234i32422525因为 z1为纯虚数z

7、2所以 3a80 且64a0 解得 a825253r ，若 abi例（ 2005 高考，吉林、黑龙江、 广西（）设 a 、b 、c 、 dcdi为实数，则，（a） bcad0（b） bcad0（c） bcad0 （d） bcad0用心爱心专心解答：由abiacbdbcadicdic2d2c2d2因 abi 数，cdi所以其虚部 bcad0 ，即 bc ad 0c2d2故答案 c 里先把分母“ 数化”，即分子以及分母同乘以分母的“ 数化”因式 似于以前所学的 数化 的把分母“有理化”再把它 化 数的运算二解 律 有关虚数 位i 的运算及拓展虚 数 i 的 乘 方 及 其 规 律 ： i 1i，

8、i 2 ， i 3i ， i 41 ，i 5i,i 61,i 7i ,i 81 i 4n 1i, i 4 n 21,i 4n 3i ,i 4n1（ n n）拓展（ 1）任何相 四个数的和 ；（2）指数成等差的四个数的和 ；例如： i 2n 3i 2n1i 2 n 1i 2 n 3（3） 多个数相加的 律例 6求 i 10i11i12 i 2006的 解答：共有2006 10 997 项由于 1997 44991由于 4 个的和等于0因此原式 i10 12有关复数的几个常用化 式(1 i )22i ,(1 i )22i ，1i ，1ii, 1iii1i1i例 7（ 2005 高考重 2） 1i

9、2005（）()1ia ib ic 22005d 22005解答：(1i )2005i 2005(i 4 )501 ii1i故答案 a3有关复数的 合运算例（ 2005高考上海 18）、（本 分12 分）在复数范 内解方程| z |2(z z)i3i （ i 虚数 位）2i解法一 zabi ( a, b r) ， z abi用心爱心专心由于 | z |2( zz)ia2b22ai3i (3 i )(2i ) 1 i2i2212所以 a2b22ai 1i根据复数的相等得a2b212a1解得 a1 , b322因此， z132即为所求2解题评注：（ 1）设复数的代数形式（ zabi ( a,br) ）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（ 2）复数的相等（abi cdia c, b d( a ,b , c