高考数学考前必看系列材料之五

1、2014 年 高考数学考前必看系列材料之五一、基本知识（必做题部分）（七）不等式 （必修 5 第三章）1、基本不等式（c）（1）22当且仅当时取“ ”号a,b rab2ab (ab)=（2）均值定理： a,brabab (当且仅当 ab 时取“ =”号 ) “一正二定三相222( a b ) 2 ; ab( a b) 2 等”；均值不等式的一些变形，如ab已知 x, y 都是正数，则有：222若积 xy 是定值 p ，则当 xy 时和 xy 有最小值2p ；若和 xy 是定值 s ，则当 xy 时积 xy有最大值 1 s2 .4四个平均数：a2b2a bab2(根据目标不等式左右的运算结构选用

2、)2211ab你能用几何图形解释几个平均数之间的关系吗？如： x, y 0 且 xycx1y3，求 xy 的最大值2、一元二次不等式（）一元二次不等式 ax2bxc 0(或0) ( a0,b24ac 0) ，如果 a 与 ax2bxc 同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 ax 2bx c 异号，则其解集在两根之间 . 简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1 x x2(x x1)( x x2 ) 0( x1x2 ) ；x x1, 或 x x2( x x1 )( x x2 ) 0( x1x2 ) .3、线性规划（ a）二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线axbyc0 （

3、 b 不为 0）及点 p( x0 , y0 ) ，则若 b0， ax0by0c0 ，则点 p 在直线的上方，此时不等式axbyc0 表示直线 ax byc0的上方的区域；若 b0， ax0by0c0 ，则点 p 在直线的下方，此时不等式axbyc0 表示直线 ax byc0的下方的区域； （注：若 b 为负，则可先将其变为正）线性规划：求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题；可行解：指满足线性约束条件的解（x,y ）；可行域：指由所有可行解组成的集合；注: 准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题；解线性规划时应先确定可行域；注意不等式中( ) 与(

4、) 对可行域的影响；还要注意目标函数z ax by 中 b0 和 b0 在求解时的区别 .整点问题（方格法）不等式中其他常见结论：1、不等式的性质 ：d ，则 acbd （若（ 1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若 ab,ca b, c d ，则 a cbd ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除 ：若 ab0, cd0 ，则acbd （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若 a b 0 ，则 anbn 或 n an b （4）倒数法则 ：若 a、b 0， ab ，则 11 （若出现负数先化为正数再用倒数法则）a

5、b2、不等式大小比较的常用方法：（ 1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（ 2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（ 3）分析法；（4 ）平方法；（ 5）分子（或分母）有理化； （ 6）利用函数的单调性； （ 7）寻找中间量或放缩法；（ 8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法3、利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到： “ 一正二定三相等，和定积最大，积定和最小 ”这 17 字方针4、其他常用不等式 ：（1） a、 b、 cr， a2b2c2abbcca （当且仅当 a b c 时，取等号） （2）若 a b0, m0 ，则 bbm （糖水的浓度问题） a

6、 a m（ 3） a3 b3 c3 3abc(a 0, b 0, c 0) 5、绝对值不等式 ：当 a 0含有绝对值的不等式时，有x ax22a xa .ax ax2a2x a 或 xa .性质：（ 1） a、b 同号或有 0（ 2） a、b 异号或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab | | ab | | a | b | a |b | | ab |.绝对值不等式的解法：（ 1）分段讨论（零点分区间）法： （最后结果应取各段的并集 ）（ 2）利用绝对值的定义；（ 3）数形结合6、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因

7、式、配方、通分等手段变形判断符号或与1 的大小，然后作出结论) 常用的放缩技巧有：1111111 ；nn1 n( n1)n 2n(n1)n 1n111 (11) ；k 2k 212k1k11111111k k 1 (k 1)k k2；(k 1)k k 1 k2(n 1n)2122( nn 1) nn1nnn17、指数不等式与对数不等式：(1) 当 a1 时 , a f ( x)ag ( x)f ( x)g (x) ；f ( x)0log af ( x) loga g (x)g( x)0.f ( x)g( x)(2) 当 0a1 时 , a f ( x)ag (x)f (x)g( x) ；f (

8、 x)0log af ( x)log a g( x)g( x)0f ( x)g(x)8、 的一元高次不等式的解法：数 根法：（ 1）分解成若干个一次因式的 ，并使每一个因式中最高次 的系数 正；（ 2）将每一个一次因式的根 在数 上，从最大根的右上方依次通 每一点画曲 ；并注意奇穿 偶 回 ；（ 3）根据曲 f (x) 的符号 化 律，写出不等式的解集9、分式不等式的解法：分式不等式的一般解 思路是先移 使右 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次 的系数 正，最后用数 根法求解解分式不等式 ，一般不能去分母，但分母恒 正或恒 可去分母10、含参不等式的解法：求解的通法是“定

9、域 前提，函数增减性 基 ，分 是关 ”注意解完之后要写上：“ 上，原不等式的解集是”注意：按参数 ，最后 按参数取 分 明其解集；但若按未知数 ，最后 求并集.提醒：（ 1）解不等式是求不等式的解集，最后 必用集合的形式表示；（ 2）不等式解集的端点 往往是不等式 方程的根或不等式有意 范 的端点 11、不等式的恒成立, 能成立 ：不等式恒成立 的常 理方式？（常 用函数方程思想和“分离 量法” 化 最 ， 也可抓住所 不等式的 构特征，利用数形 合法） （）恒成立 若不等式 fxa 在区 d 上恒成立 , 等价于在区 d 上 fx mina 若不等式 fxb 在区 d 上恒成立 , 等价于

10、在区 d 上 fx maxb 例：（ 1） 数 x, y 足 x2( y1)21，当 x y c0 ， c 的取 范 是 _（ 2）不等式 x4x3a 一切 数 x 恒成立，求 数 a 的取 范 _（ 3）若不等式 2x1m( x21) 足 m 2 的所有 m 都成立， x 的取 范 _（ 4）若不等式 (1) n a2(1) n1 于任意正整数 n 恒成立， 数a 的取 范 是n_（ 5 ）若不等式 x22mx2m10 对 0 x 1 的所有 数 x 都成立，求 m 的取 范 （）能成立 若在区 d 上存在 数 x使不等式 fxa 成立 , 等价于在区 d 上 fx maxa ；若在区 d

11、上存在 数 x使不等式 fxb 成立 , 等价于在区 d 上的 f x minb .例： 已知不等式x4x3a 在 数集 r 上的解集不是空集，求 数a 的取 范 _二、思想方法（五）配方法配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是：2b24 ac b 2ax +bx+c=a ( x)( a 0) .高考中常见的基本配方形式有：2 a4 a（ 1） a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a b) 2+ 2 ab（ 2） a2+ b2+ ab = (a1 b ) 2(3 b) 2 22（ 3） a2+ b2+c2= (a b + c)2- 2 ab 2 a c 2 bc（ 4）a2+ b2+ c2 - a b bc a c = 1 ( a- b)2 + (b c)2 + (a c)2 2（ 5） x211)22 2 ( xxx配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论三、易题重现1、如果关于 x 的不等式 ax2+ bx