高一数学教案：函数的表示法教案

1、高一数学教案：函数的表示法教案【】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律, 培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：函数的表示法教案希望能为您的提供到帮助。本文题目：高一数学教案：函数的表示法教案一、内容与解析( 一 )内容：映射( 二 ) 解析：映射是两个集合与 中，元素之间存在的某种对应关系 . 说其是一种特殊的对应，就是因为它只允许存在一对一与多对一这两种对应，而不允许存在一对多的对应.映射中只允许一对一与多对一这两种对应的特点，从到的映射 : 实际是要求集合中的任一元素都必须对应于集合 中唯一的元素 . 但对集合中的元素并无任

2、何要求，即允许集合 中的元素在集合 中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应.映射中对应法则是有方向的，一般来说从集合到集合的映射与从集合到集合 的映射是不同的 .(4) 我们可以把对应关系看成一面镜子，集合中的元素在这面镜子中存在一个像， 一个相对应的元素，原像则是集合中的元素 . 这样像和原像的概念就比较容易理解. 并且映射中集合 的每一个元素在集合中都有它的像，通过对应关系即第 1页通过镜子总存在像，而且像是唯一的， 不会照出许多的像来，这是映射区别于一般对应的本质特征.二、目标及其解析：( 一 )教学目标(1) 了解映射的概念及表示方法 ; 结合简

3、单的对应图示，了解一一映射的概念 .(2) 解析：重点把握映射与函数的区别。三、问题诊断分析函数与映射的区别与联系(1) 函数包括三要素 : 定义域、值域、两者之间的对应关系;映射包括三要素:集合 a, 集合 b, 以及 a,b 之间的对应关系(2) 函数定义中的两个集合为非空数集 ; 映射中两个集合中的元素为任意元素 , 如人、物、命题等都可以 .(3) 在函数中 , 对定义域中的每一个 , 在值域中都有唯一确定的函数值和它对应 ; 在映射中 , 对集合 a 中的任意元素 , 在集合 b 中都有唯一确定的像 和它对应 .(4) 在函数中 , 对值域中的每一个确定的函数值 , 在定义域中都有确

4、定的自变量的值和它对应 ; 在映射中 , 对于集合 b 中的任一元素 , 在集合 a 中不一定有原像 .(5) 函数实际上就是非空数集 a 到非空数集 b 的一个映射第 2页(6) 通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系.四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用 powerpoint 2019 。因为使用 powerpoint 2019 ，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。五、教学过程1. 教学映射概念： 先看几个例子，两个集合 a、 b 的元素之间的一些对应关系，并用图示意, ，对应法则：开

5、平方 ;， ，对应法则：平方;, , 对应法则：求正弦 ; 定义映射：一般地，设 a、b 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 a 中的任意一个元素x，在集合 b 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 为从集合 a 到集合 b 的一个映射 (mapping). 记作关键 : a 中任意， b 中唯一 ; 对应法则 f. 分析上面的例子是否映射?举例日常生活中的映射实例? 讨论：映射的一些对应情况?( 一对一 ; 多对一 )一对多是映射吗 ?举例一一映射的实例( 一对一 )第 3页2. 教学例题： 出示例1.探究从集合a 到集合 b 一些对应法则， 哪些是映

6、射，哪些是一一映射?a=p | p是数轴上的点 ， b=r; a= 三角形 ， b=圆 ;a= p | p是平面直角体系中的点 ， ; a=高一某班学生 ，b= ?( 师生探究从 a 到 b 对应关系 辨别是否映射 ?一一映射 ? 小结： a 中任意， b 中唯一 ) 讨论：如果是从b 到 a 呢 ? 练习：判断下列两个对应是否是集合a 到集合 b 的映射 ?a=1 ， 2， 3， 4 ，b=3 ， 4， 5， 6，7， 8， 9 ，对应法则;，对应法则;设 ;六、类型题探究题型一映射的判断例 1下列集合 到集合 的对应中，判断哪些是到 的映射 ?判断哪些是 到 的一一映射 ?(1)，对应法则

7、 .(2)， ， ， ， .(3)， ，对应法则除以 2 得的余数 .(4)， ， 对应法则【思维导图】第 4页【解答关键】根据给出的f 分析这个对应是否为一对一与多对一若是则为映射，否则不是， 再观察是不是一对一的对应，若是则为一一映射.【规范解答】(1) 是映射，不是一一映射，因为集合中有些元素 ( 正整数 ) 没有原像 .(2) 是映射，是一一映射 . 不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数.(3) 是映射，因为集合 中不同元素对应集合 中相同的元素 .(4) 是映射，不是一一映射，因为集合中的元素 ( 如 -4 ， 4)都对应集合中的元素 (2).【易错辨析】

8、判断一个对应是不是映射或一一映射，应观察对应的特点 ; 说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例 . 对于一一映射是一种特殊的映射，它的判断主要考虑：若a 中的不同元素在b 中有不同的像 ; b 中任何一个元素在a 中都有原像，则这个映射就是一一映射 .【活学活用】 1. 下列集合到集合的对应是映射的是 ( )a. ： 中的数平方 ;b. ： 中的数求平方根;c. ： 中的数取倒数 ;d. ： 中的数取绝对值;1.a. 解析：b 中错误在集合 a 中的元素 1 在集合 b 中有两个元素 -1 ，1 与之对应，因此不是映射 .c ，d 中错误都在于集第 5页合中有 0 这个元素在集合b

9、中没有相对应的元素.题型二映射对应法则的应用例 2 已知 a=1 ， 2 ，3， ，b=4 ，7, , , 其中 n+. 若 x a,y b, 有对应关系 ： 是从集合 a 到集合 b 的一个映射，且 =4, =7, 试求 的值 .【解答关键】先通过已知条件求得，再通过分析映射的两个集合中元素之间的关系，得出m、 n 之间的方程，解得相应的参数值 .【规范解答】由 =4, =7, 列方程组： 故对应法则为： . 由此判断 a 中元素 3 的像是 或 . 若 =10 ，因 n+不可能成立 , 所以 =10, 解得 =2 或 n= -5( 舍去 ).又当集合a 中的元素的像是时 , 即 =16,解

10、得 =5.当集合 a 中的元素的像是时 ,即 =10,解得 =3. 由元素唯一性知 , =3舍去 .故 =3,q=1, =5, =3或 =3,q=1, =5, =2.【归纳总结】通过该题，加深对映射的理解，加深对映射中对应法则的理解和应用 . 解好此题的关键是分清原象和象各是谁，对应法则是什么，对应法则是如何把象与原象联系在一起的 . 映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射.【活学活用】 2. 设 f : ab是 a 到 b 的一个映射，其中 a=b=(x ，y)|x ， yr， f :(x， y)(x-y， x+y) ，求 a 中元素 (-1 ，2) 的象和 b 中元素 (-1 ， 2)

11、 的原象 .第 6页2. 这是一个映射的问题，由已知(x ，y) 的象为 (x-y ， x+y) ，确定了对应法则.先求 a 中元素 (-1 ， 2)由题意得x-y=-1-2=-3的象 . 令 x=-1 ， y=2，x+y=-1+2=1 ，所以 (-1 ，2) 的象为 (-3 ，1);再求 b 中元素 (-1 ， 2) 的原象 . 令 解得所以 (-1 ， 2) 的原象是 ( ， ).题型三利用映射研究函数问题例 3 设 a=x02 ，b=y12 ，图中表示 a 到 b 的函数是 ( )【解答关键】本题已知两个集合为数集，再根据图像观察是否为映射，便可得出是否为函数.【规范解答】 首先 c 图

12、中， a 中同一个元素x( 除 x=2) 与 b 中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数; 其次， a、 b两图中， a 所对应的象的集合均为 y 02 ，而 y 02b=y12 ，故它们均不能构成的函数 . 从而答案选d.【易混辨析】本题根据映射观点下的函数定义直接求解. 考察函数图像与映射之间的关系，此类问题回到定义中去，牢牢掌握映射的概念，就很容易解决，而关于映射知识点的考察，一般也是对其概念进行考察. 函数首先必须是映射，是当集合 a 与 b 均为非空数集时的映射. 因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：集合a 与 b 是否为非空数集; f ： ab能否为一个映射. 另外，函数

13、f ：ab中，象的集第 7页合 m叫函数的值域，且mb.【活学活用】 3. 图中表示的是从集合到集合的对应，其中能构成映射的是( )3.a解析：到 的一个对应能否构成到 的映射的关键是：集合 中的任一元素都必须满足对应于集合 中唯一的元素 . 因此，图象中必须满足对于 的每一个值， 必须有且只有唯一的值与之对应 . 不难得知应选 a.( 二 ) 小结七、目标检测一、选择题1. 设 是集合 a 到 b 的映射，下列说法正确的是 ( )a、a 中每一个元素在b 中必有像 b 、 b 中每一个元素在a 中必有原像c、b 中每一个元素在a 中的原像是唯一的d 、 b 是 a 中所在元素的像的集合1.a

14、 解析：是对映射概念的判断，对于答案b，d 集合 b 中的元素在集合a 中不一定有原像，因此也不是集合a 中所在元素的像的集合 . 答案 c 自然也错 .2. 下列各对应关系中 , 是从 a 到 b 的映射的有 ( )a、 (2)(3) b、 (1)(4) c、(2)(4) d、 (1)(3)2. d解析：(1)(3) 这两个图所表示的对应都符合映射的定义，对于 (2) 中的元素 都对应着两个元素， (4) 中的元素 没有元第 8页素与之对应 .3. 点 在映射 下的对应元素为 ，则点 在 作用下的对应元素为 ( )a. b. c. d.3.c 解析： ， .4. 已知映射 f ： ab，其中

15、集合 a=-3 ， -2 ， -1 ， 1， 2，3，4 ，集合 b 中的元素都是a 中元素在映射f 下的像，且对任意 aa，在 b 中和它们对应的元素是 |a| ，则集合 b 中元素的个数是 ( )a. 4 b.5 c.6 d.74. a 解析：依题意，由 ab的对应法则为 f ：a|a|. 于是，将集合 a 中的 7 个不同元素分别取绝对值后依次得3，2，1，1，2， 3，4. 由集合元素的互异性可知，b=1 ，2， 3， 4 ，它有4 个元素，答案选a.二、填空题5. 已知集合 a=x04 ，b=y02 ，下列从 a 到 b 的对应 f ：f ： xy= f ：xy= f ：xy= f

16、： xy=(1) 其中不是映射的是 ; (2) 其中是一一映射的是 .5.(1) ， (2) 解析： . 中当 x=4 时在集合 b 中找不到对应的像 . 中集合 b 中的像 x=2 找不到对应的原像 .6. 已知集合a=z,b=x|x=2n+1,n z,c=r,且从 a 到 b 的映射第 9页是 x2x-1, 从 b 到 c 的映射是 x , 则从 a 到 c 的映射是 _.6.x解析： a 到 c 的映射为 x .7. 若映射 f ：ab的像的集合是 y，原像的集合是 x，则 x 与 a的关系是 _ _ ， y 和 b 的关系是 _ _.7. a=x y b解析：是对映射概念的判断，显然x

17、 与 a 的关系是相等，因为b 中每一个元素在a 中不一定有原像，所以y 和 b 的关系是y b.三、解答题8. 已知 ， ，且从 到 的映射满足 ，试确定这样的映射 的个数 .8. 因为从 到 的映射满足 ，所以当 时，有 或 或当 时，有综上，从到 的映射中满足的映射的个数是4 个 .9. 已知映射 f ： ab中， a=b=(x ，y) xr， yr ， f ：(x ， y) (x+2y+2 ， 4x+y).(1) 求 a 中元素 (5 ， 5) 的像 ;(2) 求 b 中元素 (5 ， 5) 的原像 ;(3) 是否存在这样的元素 (a ， b) ，使它的像仍是自己 ?若有，求出这个元素

18、 .9.(1) 由题意有 a 中元素 (5 ， 5) 的像为(2)b 中元素 (5 ， 5) 的原像满足x+2y+2=5， 4x+y=5，解得 .第 10 页所以 b 中元素 (5 ，5) 的原像为 (1 ， 1);(3) 假设存在这样的元素 (a ， b) ，使它的像仍是自己它满足方程组x = x+2y+2 ， y = 4x+y.解得，此元素为 (0 ，-1).高考能力演练10. 设 a=(x ，y) xr， yr . 如果由 a 到 a 的一一映射，使像集合中的元素(y-1 ，x+2)和原像集合中的元素(x ，y) 对应，那么像 (3 ， -4)的原像是 ( )a.(-5 ，5) b.(4

19、，-6) c.(2， -2) d.(-6 ， 4)10.d 解析：由像与原像的概念可知， 本题中的对应法则是f ：(x ，y)(y-1 ， x+2) ，问题即：当点 (y-1 ， x+2) 是 (3 ，-4)时，对应的 x， y 的值分别是多少 ?于是由，即像 (-3 ， 4) 的原像是 (-6， 4) ，选 d.11. 已知集合 ， ，其中 ， . 若 ， ，映射 : 使 中元素 和中元素 对应 . 求 和 的值 .11. 中元素 对应 中元素 ，中元素的象是 ， 的象是 ， 的象是 . ，或 .又 ， ，解之，得. 的象是， ，解之，得.12. 现代社会对破译密文的难度要求越来越高，有一种密码把英文的明文 ( 真实文 ) 按两个字母一组分组 (