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- 关 键 词：
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应用
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教学
课件
- 资源描述：
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应用微积分教材教学课件,应用,微积分,教材,教学,课件
- 内容简介：
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主讲教师： 平面方程的几种类型平面方程的几种类型 1 两平面的位置关系两平面的位置关系 2 *点到平面的距离点到平面的距离 3 xyzo0MM如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做一平面，这向量就叫做 该平面的该平面的法向量法向量 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量 n法向量的特征法向量的特征 定义定义 已知已知 法向量法向量 ,CBAn = =,),(0000平面平面zyxM1.1.平面的点法式方程平面的点法式方程 ,0000zzyyxxMM=0)()()(000=+=+zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 ),(zyxMnMM 000=nMMxyzo0MMn例例 求过三点求过三点)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1(B和和)3 , 2 , 0(C的平的平面方程面方程. . 6, 4, 3=AB1, 3, 2=AC取取 ACABn=,1, 9,14=所求平面方程为所求平面方程为 , 0)4()1(9)2(14=+=+zyx化简得化简得 . 015914=+=+zyx例例7.137.13 解解 例例 求过点求过点)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7=+=+zyx和和051223=+=+zyx的平面方程的平面方程. . ,1, 1, 11=n12, 2, 32=n取法向量取法向量 21nnn=,5,15,10= =, 0)1(5)1(15)1(10=+=+zyx化简得化简得 . 0632=+=+zyx所求平面方程为所求平面方程为 例例7.147.14 解解 由平面的点法式方程由平面的点法式方程 0)()()(000=+=+zzCyyBxxA0)(000=+=+CzByAxCzByAxD= =0=+=+DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程 法向量法向量 .,CBAn = =2.2.平面的一般方程平面的一般方程 平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况： , 0)1(= =D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点； , 0)2(= =A平面通过平面通过 轴；轴； x平面平行于平面平行于 轴；轴； x, 0)3(= =B平面通过平面通过 y y 轴轴 平面平行于平面平行于 y y 轴轴 平面通过平面通过 z z 轴轴 平面平行于平面平行于 z z 轴轴 轴轴xCBAn=,=00DD=00DD=00DD（4 4）C=0C=0， 00 , 0 , 1, 0CB, 0)5(= BA, 0)6(= CA, 0)7(= CB平面平行于平面平行于 xoy 坐标面坐标面 平面平行于平面平行于 xoz 坐标面坐标面 平面平行于平面平行于 yoz 坐标面坐标面 , 0)8(=DBA平面为平面为 xoy 平面平面 平面为平面为 xoz 平面平面 平面为平面为 yoz 平面平面 , 0)10(=DCB, 0)9(=DCA例例 设平面过原点及点设平面过原点及点)2, 3, 6( ， 且与平， 且与平824=+=+zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. . 设平面为设平面为 , 0=+=+DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知 , 0= =D由平面过点由平面过点)2, 3, 6( 知知 0236=+=+CBA,2 , 1, 4 n024=+=+CBA,32CBA=. 0322=+=+zyx所求平面方程为所求平面方程为 例例7.157.15 解解 推导：设平面与推导：设平面与zyx,三轴分别交于三轴分别交于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其中（其中0 a，0 b，0 c） ，） ， 设平面为设平面为 , 0=+=+DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 =+=+=+=+=+=+, 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA= =,bDB= =.cDC= =3.3.平面的截距式方程平面的截距式方程 1=+=+czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程 例例 求平行于平面求平行于平面0566=+=+zyx而与三个坐标而与三个坐标 面所围成的四面体体积为面所围成的四面体体积为 1 1 的平面方程的平面方程. . 设平面为设平面为 , 1=+=+czbyaxxyzo, 1= =V, 12131=abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得 ,611161cba=（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件） 例例7.167.16 解解 ,61161cba=化简得化简得 令令 tcba=61161,61ta =,1tb = =,61tc = =ttt61161611=代入体积式代入体积式 ,61= t. 666=+=+zyx所求平面方程为所求平面方程为 1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. . （取锐角）（取锐角） ,1111CBAn = =,2222CBAn = =222222212121212121|cosCBACBACCBBAA+=+=按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有 定义定义4 21)1(; 0212121=+=+CCBBAA21)2(/ .212121CCBBAA=两平面位置关系两平面位置关系 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系： 013, 012)1(=+=+=+=+zyzyx01224, 012)2(=+=+=+=+zyxzyx02224, 012)3(=+=+=+=+zyxzyx（1）斜交）斜交;（2）平行；（）平行；（3）重合。）重合。 例例7.177.17 解解 设设),(0000zyxP是平面是平面ByAx + +0=+=+DCz外一点外一点 ),(1111zyxP,10101001zzyyxxPP=NPd0= =NPd0= =00nPP = 1PNn0P 0n+=+=2222222220,CBACCBABCBAAn222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA+=+=222111000)(CBACzByAxCzByAx+=+=NPd0= =00nPP =.|222000CBADCzByAxd+=+=点到平面距离公式点到平面距离公式 D= =1.平面平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 0=+DCzByAx)0(222+CBA1=+czbyax)0(abc0212121=+CCBBAA212121CCBBAA=2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 2121cosnnnn =021= nn, 0:22222=+DzCyBxA),(2222CBAn =, 0:11111=+DzCyBxA),(1111CBAn =3.点到平面的距离 )3 , 1 , 2(P082=+zyx1. 1. 一平面通过点一平面通过点 且平行于平面且平行于平面 求此平面的方程求此平面的方程 ) 3 , 5, 2( Pxoz2. 2. 一平面通过点一平面通过点 且平行于且平行于 平面，求此平面，求此 平面的方程平面的方程 ) 1, 1 , 1 (A)2 , 2, 2(B)2 , 1, 1 ( C3 3求过三点求过三点 ， ， 的平面的方程的平面的方程 )2 , 0 , 1 (),1 , 1 , 1 (BA02=+zyx4 4一平面过点一平面过点 且垂直于平面且垂直于平面 求此平面的方程求此平面的方程 0432= yx12 =+ zy023=+zyx5 5指出下列各平面在坐标系中的位置：指出下列各
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