第七章空间解析几何与向量代数.

1、第七章空间解析几何与向量代数7.1空间直角坐标系空间点的直角坐标1. 右手系2. 坐标轴，坐标面，卦限3. 空间点的直角坐标横坐标，纵坐标和竖坐标空间两点的距离设m 1x1,y1，乙,M 2 X2, y2, Z2为空间两点2 2X1y2y1Z22Z1特殊地，点M x, y,z与坐标原点O 0,0,0的距离2yz27 .2向量及其加减法向量与数的乘法向量的概念1 .定义2 .向径：OM叫点M对于点O的向径3 .自由向量4 .零向量 单位向量零向量的方向可以看作是任意的 向量的加减法(1)交换律:abba(2 )结合律:(a b)c a (b c)a的负向量:记 a大小相等，方向相反向量与数的乖法

2、1 .定义2 .运算规律(1 )结合律:aaa(2 )分配律:aaa定理1 设向量a0，那么，向量b a存在唯一的实数，使b注：(1 ). b可以为零向量，此时 0(2 )规定零向量与任何向量都平行3 .与a同方向的单位向量：a7 . 3向量的坐标向量在轴上的投影1 轴u上有向线段 AB的值.记AE2点A在轴U上的投影* 3 .向量在轴U上的投影，记prj u AB AB* 4 .（性质1 ）投影T h向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：prj uABABcos5.（性质2 ）prjprj a prj b6 .（性质3 ）prjprj a二.向量的坐标m1m2 m1pM

3、iQM1R1 .P1P2Q1Q2R1R2X2人y2%j Z2 乙 k上式称为向量基本单位向量的分解式2 .向量a的坐标a ax, ay,azax，ay, az为a在x,y,z轴上的投影上式叫向量a的坐标表示式3OM x, y,z4 .向量的坐标运算5 .定比分点（有向线AB的定比分点）AM / MB =X1X2X 1y %y21乙Z2z1向量的模与方向余弦的坐标表示式1 .方向角的定义 0,0 ,0axM1M 2 cos a cosayM1M 2 cos a cosazM1M 2 cos a cos2 .，方向余弦* 3 .向量 a 的模：a . ax2 ay2 az2cosaxcoscos2

4、ay2azay2 2 2ax ay azaz/222ax ayazaz1ax, a y, azaacos , cos,cos向量的数量积7 .4 数量积，向量积1 .定义 a b a b cos2 .由定义可得2(1) a a a(2) a b 0 a b3 .运算规律(1)交换律a b b a分配律 a bc a c baa b c c prj a bcc prj a prj bcca c b c(3) a bc a b4. a b的坐标表示（数量积的坐标表示式）设 aax, ay, az , bbx,by,bz 则 a b axbx ayby azbz5 .两向量夹角的余弦axbxcosa

5、ybyazbz222222.ax ay az v bx bybz例1试用向量证明三角形的余弦定理(a b) (a b)a a b b 2a b例 2 . p395.两向量的向量积于的角1 .定 义 ：a b a a sin方 向 垂 直a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定 小于等于2. 由定义可得：1 a a 0(2) a b 0a/ b3. 运算规律：(1)a b b a(2) a b c a c b c(3) a baba b4.向量积的坐标表示式i j ka bax ay azbxbybz例 4,5( P399) 7.7平面及其方程.平面的点法式方程M 0M n0A x

6、 x0B yy。C zz00.平面的一般方程Ax By Cz D 0(1)D0.平面过原点2 A 0.n垂直x轴,平行于x轴的平面3 A B 0平行于xoy面的平面例3 .求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程A=D=0 By+Cz=0 3B+C=0 C 3By 3z 0例4.截距式方程设P a,0,0 ,Q 0,b,0,R0,0,c a 0,b0,c0X I 1 a b c三两平面的夹角cosAi A2Bi B2 C1C2A1A2B1B2 C1C2A1A2x Xo yyozZomnp(1)(1 )式称为直线的对称式方程或点向式方程方向余弦注：(1) m=o时,(1)式应理解为X Xoyy

7、。z ZonPom ,n ,p叫方向数，S的方向余弦叫直线的C1C2例6,例7 P421 , P422. 0 d PrjnP1PoP1 Po. nA Xo X1B yg y1 C Z0 Z1Ja2 B2 C2|Axo Byo Czo D、A b2 c2 7.8空间直线及其方程空间直线的一般方程Ax By C1z D10Ax B2y C2z D2o.对称式方程与参数方程1.S m,n, p 方向向量,Po Xo,yo,ZoX Xo(2 )m=n=o时,(1)式应理解为:yyoxx0mt2参数方程yyntzZopt例1.用对称式及参数方程表示直线x y z 102x y 3z 4 0解：先找出直线

8、上一点 P(1,0,-2)1, j,k方向向量S 厲n21 ,1 ,14, 1, 32, 1,3x 1 y 0 z 2413x 1 4tytz2 3t两直线的夹角m1m2 nm p1 p2cos2.mb2n1P12.m?2 n?22P2L1L2m1m2mn2P1 P20L1 / Lm1m2n2P1P2P427例 2四直线与平面的夹角 0-2垂直时 一2sinAm Bn CpA2 B2 C2 ,m2 n2 p2L/L:Am Bn Cp 0 : 旦 Cm n p例3 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程S2, 3,1五杂题例 4 6 P429A1xB1yC1zD1 0平面束简介 :A2xB2yC2 zD2 0A1x B1yC1zD1A