本科 高等数学1

1、 一、参考书目高等数学（上）（第一分册）（柳重堪主编，中央广播电视大学出版社出版。二、内容要求一元函数微分学、一元函数积分学两个部分，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用等方面的知识。试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题要求写出文字说明、演算步骤。三种题型分数的百分比大约为：单项选择题与填空题 40%，解答题 60%。水平测试试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在试卷中的比例为：4:4:2。水平测试采用闭卷笔试形式，卷面

2、满分为 150 分，考试时间为 90 分钟。（一） 函数?f ( )的含义；了解函数的两要 1. 理解函数的概念；掌握函数 y ?f (x) 中符号素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。2. 了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性若对任意 x ，有 f (?x) ?f (x) ，则 f (x) 称为偶函数，偶函数的图形关于 y 轴对称。 若对任意 x ，有 f (?x) ? ? f (x) ，则 f (x) 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。3. 熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。基

3、本初等函数是指以下几种类型： 常数函数： y ? c 幂函数： y ? x ? (?为实数) 指数函数： y ? a x (a ? 0 , a ? 1) 对数函数： y ? log a x (a ? 0 , a ? 1) 三角函数： sin x , cos x , tan x , cot x 反三角函数： arcsin x , arccos x , arctan x 4. 了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。如函数 y ? earctan2 (1? x) ,可以分解 y ? eu ，u ? v 2 ， v ? arctan w ， w ? 1 ? x 。分解后的函

4、数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。5. 会列简单的应用问题的函数关系式。（二） 极限与连续1. 了解极限的概念，会求左右极限lim f (x) 存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等 极限 x?x02. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质（1） 若函数 f (x)有lim f (x) ? 0, 则称f (x)是当x ? x 0 时的无穷小量x?x0（2） 有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小3. 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法(1) 极限的四则运算法则 设lim f (x) ? A lim g(x) ? B ，则 lim

5、f (x) ? g(x) ? lim f (x) ? lim g(x) ? A ? B lim f (x).g(x) ? lim f (x).lim g(x) ? A.B f (x) lim f (x) ?A , 其中B ? 0 lim ? ?g(x) lim g(x) B 。(2) 两个重要极限sin x lim ? 1 x?0x第一重要极限： 1 1 xlim(1 ?) ? e, 其他变形形式lim(1 ? x) x ? ex?0 第二重要极限： x?x 4. 了解函数连续性的定义，会判断函数的连续性 (1) 函数连续性的定义x?x0lim f ( x) ? f ( x0 ) (2) 初等

6、函数在其定义域内连续（三） 导数与微分1. 理解导数与微分概念（微分用dy ? y ?dx 定义），了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系 （1） f (x) 在点 x ? x0 处可导是指极限?x?0 lim f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x 存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成 lim ?x?x0f (x) ? f (x0 ) x ? x0f ?(x0 ) 的几何意义是曲线 y ?f (x) 上点（ 2 ） f (x) 在点 x ? x0 处的导数 (x0 , f (x0 ) 处的切线斜率。曲线 y ?f (x) 在点(x0 , f

7、 (x0 ) 处的切线方程为y ? f ?(x0 )(x ? x0 ) ? f (x0 ) 函数 y ?f (x) 在 x0 点可导，则在 x0 点连续。反之函数 y ?f (x) 在 x0 点连续，在 x0 点不一定可导。2. 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则(u ? v)? ? u? ? v?(u ? v)? ? vu? ? uv?d(u ? v) ? vdu ? udv u vu? ? uv? ( ) ?(v ? 0) v v2u d() ?vdu ? udv (v ? 0) v 2 v d(u ? v) ? du ? dv 3. 熟练掌握复合函数的求导法则dy

8、 dy du ? ? dx du dx 4. 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法d 2 y y ? ?2dx（四） 导数的应用 1. 2.?0、“ ?”型不定式极限； 掌握洛比塔法则，能用它求“ ”?0掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系； 3.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。（五） 不定积分1. 理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分） 的关系；（1） 若 F ?(x) ?f (x) ，则 F (x) 是 f (x) 的一个原函数； f

9、 (x) 的全体原函数是F (x) ? c 。（2） ?k1 f1 (x) ? k2 f 2 (x)dx ? k1 ? f1 (x)dx ? k2 ? f 2 (x)dx （3）d f (x)dx ? f (x) ? dx （4） df (x)dx ?f (x)dx ? （5）? f ?(x)dx ? ? d f (x) ?f (x) ? c 2. 熟练掌握积分基本公式和直接积分法； 3. 熟练掌握第一换元积分法和分部积分法； （1） ? f g(x)g ?(x)dx ? ? f g(x)dg(x) ? Fg(x) ? c （2） ? udv ? uv ? ? vdu （六） 定积分及其应用1

10、了解定积分的性质b a ?a b f ( x)dx ? ?f ( x)dx b c b c ?若G(x) ?a f (x)dx ? ?f (x)dx ? ?f (x)dx a 2. 会求变上限定积分的导数?(x) a f (t)dt ，则 G?(x) ?f (?(x)?(x) 3. 熟练掌握牛顿莱布尼兹公式，掌握定积分的换元积分法和分部积分法（1）（2）?b b ? F f (x)dx ? F (x) | (b) ? F (a) ab ab udv ? uv |? baa?vdu a4. 了解无穷积分收敛性概念，会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分?dx 当 p ? 1时收敛，当 p ? 1时

11、发散；?x p 1dx ?0 x p 当 p ? 1时收敛，当 p ? 1时发散。a6 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）（1）由曲线 y ? f (x) 和 y ? g(x) 及直线 x ? a , x ? b 围成的面积 S ，有S ? ?a f (x) ? g(x) dxab（2）当 f ( x) 为奇函数时有 当 f ( x) 为偶函数时有?a a f ( x)dx ? 0a 0 （3） a f ( x)dx ? 2?0 f ( x)dx ? 2?a f ( x)dx三、 综合练习答案 （一）单选题?2(a ? 0, a ? 1) ，则该函数是（ 1. 设函数 f

12、 (x) ? log a (x ?x ? 1) ，）A奇函数 C非奇非偶函数2下列函数中，（ ）是偶函数AB偶函数D既是奇函数又是偶函数f ( x) ? a x ? a ?x B f ( x) ? x3 ? 1 D f (x) ? x2 sin(1? x) )1 C f ( x) ? x3 sin x 3. 当 x ? 0 时，下列变量中，无穷小量是 ( sin x A. xB.ln(1 ? x ) 2C.e x1sin D.x ） 1 e 2 x4. 设 f (x) ? e ，则limA.2e f (1 ? ?x) ? f (1)=（?x?0 ?x 1 B. e C. e 4 ）D.5 ?

13、xf ? ( x ) d x =（A. xf ?(x) ? f (x) ? C 1 C x 2 f ?(x) ? C 26下列无穷限积分收敛的是（ ）B. xf ?(x) ? C D (x ? 1) f ?(x) ? C A ?1dx 1 x ? xB ?e dx0 ?C ? 1 1 dx x3D cos x （二）填空题21 1 ? 1 ? x 1. 若函数 f (x) ? ，则 f ( ) ?x x sin 3x 2. 极限lim ? x?0 tan 5x 1 k x2 k = 3. 设lim(1 ?) ? e ，则x?x4. 曲线 y ? x3 ?1 在点（1，0）处的切线是 5.若函数

14、 f (x) ? ln(1 ? x) ，则 f ? (0) ?6. 7.1 ?已知函数 f (x) ? a sin x ? sin 3x 的驻点是 x ? ，则a ?3 3 函数 f (x) ? x ? ln(1? x) 的单调减少区间是 8.经过点(2, 10 )，且在每一点的切线斜率都等于 3x的曲线方程是 9. d? f (x)dx ?. （三）计算题 1. 求函数的极限 （1） lim( x?0 sin 2x x ? 1 ? 1 2 (2) lim x?1 3 ? x ? 1 ? x x 2 ? 1 cos x ? 1 ? e?x ? 2 ? cos x) (3) (lime x co

15、s x ? 1 ? x x （4） lim 3) (5) x?0 2 ? x 1 ?1 lim( ) x x?0 2x?0 e x2. 求函数的导数或微分（1）已知 y ? 2 x ?，求 y?(x) (2) 设 y ?sin x ， 求 ? y ( ) 1 ? x 1 ? cos x 3cos x ?（3）设 y ? sin 2 (3x ? 5) ，求dy （4）设 y ? x ? e x sin x ，求dy （5）设 y ? ln(x ?x 2 ? 1) ，求 y?( 3) 3. 求函数的不定积分e dx（1） ? 1? ex 1cos （3） ? 2 x dx x x3 （5） ? d

16、x 4 ? x2 xln3xdx （2） ?x （4） ?2 ? x3 ? x sin x x dx 4. 求函数的定积分1 3 x22 （1） ?-1 (x ? xe ? x )dx(2 ? ln x)2（2） ?1 dxxe （3） ?0 x cos?xdx （5） ?e 11(4) ? x sin xdx 0?x ln xdx 参考答案（一） 单项选择题 1A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C （二）填空题1. x ? x 2 ? 132. 5 6. 2 13. 2 7（-1，0）4. 3x ? 3 3 2y ? x ? 4 825. -1 9. f (x)dx （三）计

17、算题 1求函数的极限（1） 解： sin 2x sin 2x ? cos x) ? lim ? lim cos x) lim( x?0 x?0 x ?1 ?1 x?0 x ?1 ?1 sin 2x( x ?1 ?1) sin 2x ?1 ? lim ( x ?1 ?1) ?1 x?0 ( x ?1 ?1)( x ?1 ?1) x?0 ( x ?1)2 ?12 ) sin 2x x ?1 ?1) ?1 ? 2 lim sin 2x ( x ?1 ?1) ?1 ? lim (x?0 x?0 x 2x ? 2 ? 2 ?1 ? 5 ? lim （2） 解： lim x ?1 3 ? x ? 1 ?

18、x ? lim ( 3 ? x ? 1 ? x )( 3 ? x ? 1 ? x )x ?1 x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x )( 3 ? x)2 ? ( 1 ? x)2 (3 ? x) ? (1 ? x) ? lim ? lim x?1 (x ?1)(x ?1)( 3 ? x ? 1? x ) x?1 (x ?1)(x ?1)( 3 ? x ? 1? x ) 2(1? x) ( x ?1) ? lim ? ?2 lim x?1 (x ?1)(x ?1)( 3 ? x ? 1? x ) x?1 (x ?1)(x ?1)( 3 ? x ? 1? x

19、 ) ? ?2 lim x?1 ?2 2 ? ? ? 4 (x ?1)( 3 ? x ? 1? x ) 4 2 1（3） 解：连续利用罗比塔法则两次lim cos x ?1 ? lim ?sin x ? lim ?cos x ? ? 1 x?0 ex -e? x x?0 ex +e? x x?0 ex ? e? x ? 2 2（4） 解：连续利用罗比塔法则两次ex cos x ?1? x ex cos x ? ex sin x ?1 ? lim lim 2 x?0 x?0 x2 x xxxxe cos x ? e sin x ? (e sin x ? e cos x) ? lim x?0 2x

20、 ?2ex sin x ? lim ?0 x?0 2 (5) 解：利用第二重要极限公式 ?x?x 1 x ?x 2 (? 1 ) ? 1 2 ? x ?) =lim(1 ?) ? x 2 = lim( lim(1 ?) ?lim(1 e 2 x = ) x?0 x?0 2 2 x?0 2 x?0 2 1 ?1 2. 求函数的导数或微分（1） 解：y? (x)= (2 x ?cos x ? (1 ? x) sin x ? (?1) cos x )? = 2 x ln 2 ? 1 ? x (1 ? x)2 = 2 x ln 2 ?cos x ? (1 ? x) sin x (1 ? x)2(2)

21、解：y? ?(sin x)?(1 ? cos x) ?sin x(1 ? cos x)? cos x(1 ? cos x) ?sin x(?sin x) ? 2 (1? cos x)(1? cos x)2?cos x ?1 1 ? ，(1? cos x)2 1? cos x ? 1 1 1 2 ?y ( ) ?| ? ? ? 1 ?3?x ? 3 1 ? cos x 3 1 ? cos ?1 ? 3 2 （3） 解：y? ? sin 2 (3x ? 5)? ? 2 sin(3x ? 5) ?sin? (3x ? 5)? 2 sin(3 x ? 5) ? cos(3 x ? 5) ? (3 x

22、? 5)? 6 sin(3x ? 5) ? cos(3x ? 5) ? 3 sin(6 x ? 10) dy ? y?dx ? 3 sin(6 x ? 10)dx （4） 解： ?y? ? ( x ? e x sin x )? ?1 ? e x sin x ? e x cos x = x2 x ? e sin x 1?( x ? e x sin x)?2 x ? e x sin x 1 ? e x (cos x ? sin x ) d xd y ?y ?d x ?x2 x ? e sin x ) （5） 解：?1 ? x (2 x ?x? 1 2 y? ? ln(x ?x ?1)? ?x 2

23、?1)? 2 1 2 x 1 1 x ?x ? 1 ? 1? ? ， ? 2 2 2 2 2 x ? x? 1 2 x? 1 x ? x ? 1 x ? 1 x ? 1 y?( 3) ? 1 ( 3)2 ? 1?1 2 3. 求函数的不定积分（1） 解：利用不定积分的第一换元法?e ? 1 ? e ? ?xdx ?x1 ? 1 ? e ? x ?e dx x ?1 1 ? e ?(e +1) dx x x 1 d (e x +1) ? ln(e x +1)+C x1 ? e （2） 解：利用不定积分的第一换元法?lnx3dx ? ? ln x ? dx ? ? ln x(lnx)?dx ? ?

24、 ln xd(lnx) ?x x 3 3 3 1 ln 4 x 4 ? C （3） 解：利用不定积分的第一换元法 1 cos ?1 1 x dx ? ?cos 1 ? ?1 dx ? ? x 2 ?x x 2 ?cos x ( x ) dx 1 1 1 ? ? cos d( ) ? ? sin ? C ?x x x （4） 解：先整理被积函数后，再用积分基本公式和第一换元法x3 2 ? x3 ? x sin x 1 x sin x dx ? 2dx ?dx ?dx ? ? x ? x ? x x 1 x sin x dx ? 2 ln x ?x 2 ? sin x ? 1 dx ? 2? dx

25、 ? ?x dx ? ?1 ?x x x x ?1 23 ?1 2 ?1 ?1? 2 ln x ?2x 3 2 3 ? 2 ln x ?2x 2 ? 2?sin x ? 1 dx ? 2 ln x ? 2 x2x ? 2?sin 32 3x ? ( x ) ?dx 3 3 ? 2?sin x ? d ( x ) ? 2 ln x ?2x 2 3? 2 cos 3 x ? C （5） 解：利用不定积分的第一换元法?x ? 4 ? x? 1 3dx ?21? ? ?x2 2 ? ? dx( x2 xdx ) dx ? 4 ? x2 2 ? 4 ? x22 ? 4 ? x2 x2 x 1 x2 xd(? 2 4 ? x2 x22 ) ? 1?2 ?1 4 ? x2 ? 4 4 ? x2 21 4 ? x2 1 ?4 2 2 d(x ) ? ? d(x ) ? ? d(x ) 2 4 ? x2 2 4 ? x2 2 = 1 2 ?d(x ) ? 2 2 ?4 ? x 2 )d(4+x ) = x 2 2? 2 ln( 4 ? x 2 ) ? C 4.求函数的定积分（1） 解：利用到：奇函数在以原点为心的对称区间上的积分是零?1 1 2 x3 1 1 ? 0 ? 0 ?|?1 ? ? (? ) ? 3 3 3 3（2） 解：利用牛顿莱布尼兹公式-