第五讲矩阵的分块、矩阵的初等变换.

1、第五讲 矩阵的分块、矩阵的初等变换教学目的：1. 介绍矩阵分块时的代数运算；重点是初等变换的过程和应用2. 讲解矩阵的初等变换及其应用; 教学内容：第二章矩阵2.3分块矩阵；2.4初等变换与初等矩阵; 教材相关部分：2.3分块矩阵把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。、矩阵的分块：定义2.9 用一些纵、各个小矩阵称为分块矩阵,横虚线将矩阵A的子块。A分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为A22A11A21其中A11也可以按行分块:或按列分块:anA21A22a21

2、am1a11a12a1na21 a22a2nAA2am1am2amna12a22am2a1na2namnB B2Bn、分块矩阵的运算：对分块矩阵进行运算时,可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理,但应保证运算的可行。1.分块矩阵的加法、数乘、转置：定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:A11A12A1rB11B12B1rA21A22A2r ,B21B22B2r ，A 21JB 21As1As2AsrBs1Bs2Bsr为 s t 个子块(Bkj ) s t ，且A的列与B的行分块法一致，则规定A与B的乘法为A11A12A1sB11B12B1tC11C12C1tA21A22

3、A2sB21B22B2tC21C22C2tAr1Ar2ArsBs1Bs2BstCr1Cr 2Crts其中 CijAik Bkj ，i 1,2,r;j1,2, t。i1(2.29)其中每一 Aij 与 Bij 的规格都对应相同，则规定加法为：AA11A21B 21B11B21A12 B12A22 B22A1rA2rB1rB2r ；(2.26)As1Bs1As2Bs2AsrBsrA11A12A1r设 为数，则规定数乘为：AA21A22A2r ；(2.27)As1As2AsrA1T1A2T1AsT1此外，规定转置为：ATA1T2A2T2AsT2。(2.28)A1TrA2TrAsTr2.分块矩阵的乘法

4、：定义2.11 设A是mn 矩阵，B是np 矩阵。若将A分为r s个子块（Aj ）r s，将B 分三、分块对角阵：若n阶方阵A的一个分块形式只在主对角线上有非零子块，即diag ( A1 , A2 ,As) ，其s中Ai是ri阶小方阵（阶数可不同），i 1,2, ,s，rin ,而其余的非主对角子块都为零矩阵,i1则称为A的分块对角矩阵。例如：若记则 A13 21 4,A2定理2.3(1)3200000140000000510000026100004150000000410000006分块对角阵有以下性质:，则A3AsA2Ai ；若代B为同阶分块对角阵且分块法相同:A11 A22I|Arr 0

5、由此可知分块三角矩阵AAsAA1、AsB1B,BsA1B1A1 B1则A B, AB;(2.30)AsBsAsBskAat(3)kA,at;(2.31)kAsaTA1(4)若每一A0，则有A 10八1(2.32)(2)证：（1）证明见本章附录。类似于（1）的证明，可以引出 推论：分块上三角阵AnAI2A1rAA22A2rArr其中主对角子块 Aii均为方阵（未必同阶），则有 A可逆的充要条件是0, i 1, ,r。分块下三角阵亦然。（2）、（3）由分块矩阵的加法和乘法、转置和数乘的定义直接可得。1（4）由A0知A存在，由AiAi1AiAiEiAsAsAsAsiEsAiAi便得AsAsi1ai1

6、a250101例2.11 设A =001a300010i0i,B =00ib3000i解：令Aiaii bi i b2，求 AB。bj,i, Ji,2,3，贝U A= A0A2 , B= b1A30B2B3是，ABj10aibj1 ，所以AB=Ai Bi0Ai B2A2 B3A3B30iBj0i2 a1b,a2b3A1 B2A2 B3 =021a1b12a1a2b2b30102=001a3b3。0001，其中B,D皆为可逆方阵（不必同阶），求证A可逆，并求A例2.12 设A设A1X Y其中X、T分别与B、D是同阶方阵。由STBCXYBX CS BY CTEiOODSTDSDTOE2得矩阵方程组

7、BXCSEiBY CT O,DSO ,DT E2。由此解出：TD 1,S1 1D O O, X B , YB1CT1B CD证：由（1 ）的推论知 A B D0，故A可逆。所以A可逆，且有类似可证i B 1 B 1CD 1A1。0 D 11 1B OB 1OC DD 1CB 1 D 1 .2.4 初等变换与初等矩阵(2.33)(2.34)、初等变换的基本过程：定义2.12下面三种行变换称为矩阵的初等行变换:（1）对调两行（对调i、j两行记为仃rj），称为对调变换;（2）用数k 0乘某一行中所有元素 （第i行乘k记为kri），称为倍乘变换;（3）把某一行所有元素的 k倍加到另一行的对应元素上（第

8、j行的k倍加到第i行上记为ri krj），称为倍加变换。将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的 初等列变换 的定义（将记号r换成c ）。矩阵的 初等行变换和矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。1初等变换都存在着逆变换，如变换ri的逆变换就是其本身；变换 kri的逆变换为一 ri ；k变换ri krj的逆变换为ri （ k）rj ；称” ”为等价关系，若满足下面三条性质：1. 反身性：A A;2. 对称性：若有 AB，则必有B A ;3. 传递性：若有A B、B C，则必有A C。容易验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质。定义2.13 如果矩阵A经有限次初等变换变成 B，则称矩

9、阵 A与B等价。记为 A B。 初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性（这在用矩阵解线性方程组中很重要）。化简矩阵A 的主要过程是：首先通过初等行变换把A化成行阶梯形矩阵（每行首个非零元素的下方全是零），然后继续用初等行变换把 A化成行最简形矩阵（每一非零行的首个非零元素为1,且这些1所在列的其他元素都为零）。此后如果再用列初等变换，还可将A进一步化成 等价标准形。111031221242例2.13设A33145，用初等变换将其化简。3111182解：先用初等行变换将其化为行阶梯形，形式上相当于做由上而下的行消元:2 2儿r3 3日111031322111031r4100122 04220

10、01220A00244 000000000215300039311103134001220B000003930000若对c再进一步作初等列变换，则可得100000001000C000100000000100000010000E3O 31 4 6，0010000000000013 6就是A的等价标准形，是所有与A等价的矩阵中形式最简单的矩阵。就是A的一个行阶梯形矩阵。对B继续作初等行变换，形式上相当于做自下而上的行回消:1111031333 001220B00013100000011103111007122300104212001042C，000131000131000000000000c即为A

11、的一个行最简形矩阵，是A经初等行变换所能化到的最简形式。由定义知，A c。由等价关系的传递性可知，若A B，则A、B必定有相同的标准形I m n，反之亦然。因线性方程组与其增广矩阵是一一对应的，所以对增广矩阵的“消元”实质上就是对线性方程组的“消元”；在上例中，若把 A看成是一个增广矩阵，则其对应的线性方程组如下：X1X2X33x512x12x2X32x44x52（2.35）3x12x2X34x45x53X1X2X3X48X52矩阵C对应的线性方程组:x 1 x27 x51X34 x52（2.36）x 43 x 51由于只经行变换得到 AC，知方程组（2.36）与（2.35）等价（同解）；而（

12、2.36）实际上就是消 元所得到的最简方程组，求解就容易得多了。特别地，若A为可逆方阵，则 A 0,由Cramer法则知，以A为系数矩阵的线性方程组有唯一解，此时最简方程组的系数矩阵恰为单位阵E，因此AE。可见A可逆时，同阶单位阵E既是A的行最简形，同时也是 A的等价标准形。、初等矩阵定义2.14单位矩阵E经一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。三种初等变换对应三种初等阵：行（列）对调而得到的初等矩阵。记1、对调变换得 对调初等矩阵：由单位矩阵E的第i 作E(ij)101(i)100110(j)12、倍乘变换得倍乘初等矩阵由单位矩阵第i行（列）乘k而得到的倍乘初等矩阵。记作E (i(k)(i

13、 )；3、倍加变换得倍加初等矩阵由单位矩阵E的第行的k倍加到第i行而得到（也就是由单位矩阵E的第i列的k倍加到第j列而得到）的初等矩阵。记作1k(i)E( j(k), i)1( j)1(i)( j )可直接验证：用一个初等矩阵乘矩阵 A的结果等于对矩阵 A做了一次初等变换，具体说就是：E(i,j)A导致A的第i , j行对调(即rirj) ； AE(i, j)导致A的第i , j列对调(即 CiCj)；E(i(k)A导致A的第i行乘k (即k rj (k 0) ； AE(i(k)导致A的第i列乘 k (即k Ci) (k 0)；E( j(k),i)A导致A的第j行的k倍加到第i行(即r krj

14、 ； AE( j(k),i)导致A的第i列的k 倍加到第j列(即Cj kci)。于是立即有：定理2.4 设A是一个m n矩阵，对A进行一次初等行变换，相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；对 A进行一次初等列变换，相当于在A的右边乘一个相应的n阶初等矩阵。1由E(i,j)E(i,j) E, E(i(k)E(i(-) E, E(j(k),i)E(j( k),i) E ,k知：初等矩阵皆可逆，且它们的逆阵仍为同类初等阵：E(i,j) 1E(i,j), E(i(k) 1E(i(1),E(j(k),i) 1 E(j( k),i)。定理2.5可逆矩阵A可表示为若干个初等矩阵的乘积证：因AE ,则EA

15、，则存在初等矩阵R,P2,Pl，使 PPrEPr 1 P A，即得A RP2P。推论1mn矩阵AB的充分必要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B。(此推论证明留给读者)推论2对可逆矩阵A和同阶单位矩阵 E作同样的初等行变换，则将A变成单位矩阵的同时，单位矩阵E也就变成了 A 1。证：由定理2.5知，若A 0,则A RP2 P (其中P为初等矩阵，i 1,2, ,l )由此推得F 1F 1F1 1A E ,以及 F| 1F| 1 p T (F1F 1F) 1 A 1。所以对A和E施行相同的初等变换 F 1P| 1 F 1，贝y A变成了 E, E变成了 A 1 推论2使我们有

16、了一个求逆阵的更为简便的方法,用分块矩阵表示便是:例2.14设A1(A|E) (F 1Fl 11A|Fl1Pl1E)(EIA1)。1，求32解：记（A|E）253331）r32521故得13212521利用初等变换求逆矩阵的思路还可以用于解方程组；设线性方程组的矩阵形式为若A可逆，则线性方程组的解为 X1A ，由推论2:F 1F1 F11(A|E)P) (EIA1)，将E换作得到:F 1Fi1 FtAI(Fi 1F 1R Ar 1F1 F1 1B) (EIA1 ),即将A变成E时,就变成A 1，此即方程组的解。2x2 3x32x2 X34x? 3X3X1例2.15求解方程组2x13x112 3

17、X11解：记A22 17XX2 ,034 3X31则方程组可写为AX0123 1构造增广矩阵A(A| )221 0 ,343 1r22r11231r12 1 021r3比r3r2对A施行初等行变换：A02520 25202620 010ri 2r3r2 5r31001 ,10011（叽02020101，则X1o0010001001321当然也可先求得A 132352（用伴随阵或用初等变换），再得X A11o1110用初等行变换求A的逆矩阵（或求解线性方程组）时，不必验证A是否可逆，如果作变换时左边子块出现了全零行，则表明A不可逆,此时需要另行讨论了,此口需要另行讨论了。2x13x2X30例2.16 解齐次方程组X12x23x30o