山东大学《高等数学》期末复习参考题(五)

1、山东大学数学分析III期末复习参考题题号一二三四总 分得分一、填空题（共 5小题， 20分）1、设 L 为圆周 x 2y 22 y0 ，则( y 4 x x 5 ) d s_ 。Lxy212、曲面 34zxyz0在点 (2,31,) 处的切平面方程是 _ 。23、若 f (x, y)ye x cos( yx 2 ) ，则 f x ( x, x 2 ) =_ 。4、设 uxyy，则2u=_ 。xx2y的定义域为_ 。5、函数 z arctanx1二、选择题（共 10小题， 40分）1、函数 f (x, y)sin( xy)x0 不连续的点集为 (x)yx0(A) y 轴上的所有点(B) 空集(C

2、) x0 且 y=0 的点集(D) x 0 且 y=0 的点集2、设 uy2u2 u)arctan，则x2y2=(x(A)4xy(B)4xy(C) 0(D)2xyy 2 ) 2( x 2y2 ) 2(x 2y2 ) 2( x2、设 f(xy)y3,arcsinx（ A ）1 ；（ B） 144，则 f x (2,1)()；（ C）1 ；（ D） 1 。224、设 C 是从 A(1， 1)到 B(2， 3)的一个直线段，则()5、设 ux( y x 0), ，则uarccos()yy(A)y;(B)x;2xyyx2 yx(C)x;(D)y2yyyxx2x6 、设f(x,y) 是连续函数，交换二次

3、积分的积分次序后的结果为()7、设其中D是由 x=0,y=0,x+y=1 所围成的区域，则I 1， I2， I3 的大小顺序是()(A) I1 I2 I3 ;(B) I 3 I 2 I1 ;(C) I1 I3 I 2;(D) I 3 I 1 I2.8、曲线x2y 2R2y2z2在点R2（ A ） xyzR2（ C） xyzR2RRR,处的法平面方程为 ()2223R（ B） xyz23R（ D） xyz29、设 zxye xy ，则 zx ( x, x)()(A)2x(x2 )ex2(B)2x(1x2 )ex21(C)x(1x 2 )ex2(D)x(1x2 ) ex210、设，则 I 满足 (

4、)三、计算题（共2 小题， 20 分）1、将函数 f ( x, y)2x 33xy 2y3xy2 y24x 6y1在点 (31,) 处展开为三阶泰勒公式。、求函数 z x 42x 2 y2y 24y3 的极值。2四、证明题（共 2小题， 20分）xy100 sin t d t ，证明在闭域z101D: x, y1、设函数 zt上，。xy221012 、 证 明 由 方 程 F( y , z)0所 确 定 的 隐 函 数 zz(x, y)满 足 关 系 式xxxzyzz0 ,其中 F 具有连续的一阶偏导数。xy数学分析III期末试卷05 答案与评分标准一、填空题（共5 小题，20分）1、 02、

5、 (3ln 3) x(62 ln 3) y(124 ln 3)z182 ln 33、x 2 ex2y4、x35、 1x0 或 x1二、选择题（共10 小题， 40 分）BCACBCCCDA.三、计算题（共2 小题， 20 分）1、解： f (3,1)52f x (3,1)6x23 y2y43,1)54(f y (3,1)6xy3 y2x4 y622(3 ,1)f xx (3,1)12x( 3 ,1)36f xy (3,1)6 y1 (3,1)7f yy (3,1)6 x6y4(3,1)28f xxx12f xxy 0f xyy6f yyy6（ 5 分）四阶及四阶以上的偏导数均为零(7 分 )f

6、 ( x, y)5254( x 3) 22( y1)136( x3) 214(x 3)( y1)28( y1) 22112( x3) 318( x3)( y1) 26( y1) 3(10 分)62、解：由zx4x34xy0，得驻点(0,1),2,2 ,2,2(5 分 )zy2x24 y40zxxzxy 12x 24y4xDzyy4x4zyxD(0,1)160D(2,2)320,zxx (2,2)160D(2 ,2)320,zxx (2,2)160(8 分 )点 (0,1) 非极值点。函数 z 在点2,2处取极小值z(2,2)1。在点2 ,2处取极小值z2 ,21 。(10 分)四、证明题（共2

7、小题， 20分）zx(xy) 100 sin( xy)( xy)100 sin( xy)01、由(xy) 100 sin( xy)( xy)100 sin( xy)，得 D 内zy0驻点（ 0， 0），且 z(0,0) 0(2 分)在边界 x上，z1/ 2 y t100 sin t dty2/ 2y22100100z1y2y2cos y0z10t 100 sin t d tz10t 100sin t d t22在边界 x上， z2/ 2y t100 sin t d ty2/ 2y22100100z2y2ycos y02z20t 100 sin t d tz2t 100 sin t d t220讨论边界 y2与 y，结果相似。(8 分)2由此可知，在D 上zt 100 sin t dtt100 d t1010。( 10 分)0101d yFx(3 分 )2、证