旋涡星系旋转曲线的严格计算与暗物质问题

1、旋涡星系旋转曲线的严格计算与暗物质问题徐 宽 （清华大学核能与新能源研究院）梅晓春 （福州原创物理研究所）俞 平 （Cognitech Computer Inc, C A, U. S. A ）内容摘要 本文严格按照牛顿引力理论，采用计算机数值计算方法，计算边界有限的物质薄盘均匀分布引力场，证明均匀薄圆盘半径内旋转曲线是向上弯曲的，并在圆盘的边界上达到极大。在此基础上计算了半径有限的，盘面质量线性衰减加上指数衰减，中心区域质量高度集中的漩涡星系模型引力场。给出的漩涡星系发光盘面内的旋转曲线是基本平坦的，由此证明漩涡星系发光盘内旋转曲线的平坦性是牛顿引力理论的本来特征。我们不需要假设漩涡星系发光盘

2、面内存在额外的暗物质。另外对于漩涡星系发光盘外的旋转曲线，我们目前是通过测量发光盘面延伸方向上射电波段21 厘米中性氢发射谱线的多普勒频移，来确定旋转曲线的。也就是说一个观察事实是，我们目前所观测到的氢气云也是位于漩涡星系的旋转盘面上的，在远离星系发光盘面方向几十远的地方，并没有观测到绕星系中心高速旋转的氢气云，因此我们有理由认为漩涡星系发光盘外暗物质也是盘状分布的。在此基础上按本文的方法计算，就可以很好解释漩涡星系发光盘外足够远处旋转曲线的平坦性。没有必要假设漩涡星系中存在比重子物质多6倍以上的非重子暗物质，虽然不能排除漩涡星系内存在少量非重子暗物质的可能性。这种方法具有普遍的意义，可以用来

3、比较精确地计算各种漩涡星系的质量分布和旋转曲线。最后讨论一般性地讨论了宇宙学中的暗物质问题。24.1 前 言众所周知，虽然牛顿引力理论已经建立近四百年，由于数学上的困难，我们对物质薄圆盘状分布的引力场的特性仍然没有很好的了解。目前天体力学中有时采用质量球对称分布代替盘状分布，来近似地估计漩涡星系的旋转曲线。按牛顿引力理论，当质量分布具有球对称性，且物体在球外绕旋转时，为了保持系统稳定，物体的运动速度与物体到球心的距离之间满足以下关系： 或 （24.1）对于质量普通星系，假设物质均匀分布在半径的球内，按（24.1）式计算得到图24.3中所示的旋转曲线。在球半径以内曲线上升，在球半径以外曲线下降。

4、然而对漩涡星系中星体光谱多普勒频移的大量观察结果发现，在相当大的范围内星体运动速度与其离星系中心的距离无关，大致呈现常数的关系。图24.1是某些漩涡星系距离速度的旋转曲线，显示星系盘内和盘外旋转曲线大体上是平坦的，显然（24.1）式无法解释漩涡星系的旋转曲线。 为了解释漩涡星系中星体的运动速度与距离关系，物理学家提出两种方法来解决此问题。其中之一是提出对牛顿引力理论的修正，认为在宇宙尺度上牛顿引力理论应当做修改，就所谓的MOND理论。其二是提出漩涡星系中存在大量暗物质的假设。暗物质包括两种，一种是重子暗物质，如星际稀薄气体、不发光的行星和已经死亡冷却了的恒星等等。另一种是非重子暗物质，除了不参

5、与电磁相互作用和不发光外，它们的具体特性不详。根据宇宙学理论的估计，宇宙中非重子暗物质大约是正常重子物质的6倍以上。重子暗物质的存在是一个基本事实，根据天文观察，星系中不发光重子暗物质的量是发光重子物质的倍。而非重子暗物质至今仅是一种假设，天体物理学家努力了30多年，至今一直没有找到非重子暗物质。宇宙中是否存在如此多的非重子暗物质已经成为现代天体物理学和宇宙学的最大谜团之一。图24.1 某些漩涡星系的距离速度旋转曲线 图24. 2 一般漩涡星系的侧面图漩涡星系的星体分布具有扁平的盘状结构。图24.2是一般漩涡星系的测面图，其中A是星系核，其中集中了星系大约1/5 1/10的质量。B是发光盘，漩

6、涡星系的发光物质主要集中与此。C是星系核外围球状分布的晕状物质，包括星系团和气体，密度大大低于发光盘，半径比发光盘半径稍小。D是发光盘的平面延伸区域，在此部分发现大量的氢气云，半径已延伸到几十，边界在何处仍未知。天文学家正是通过测量该区域氢气云射电波段21 厘米中性氢发射谱线的多普勒频移，来确定漩涡星系的旋转曲线的。显然这些氢气云也位于漩涡星系的旋转盘面上，绕星系中心转动。由于该区域远离星系中心，但旋转曲线仍然是平坦的，按现有理论无法解释这种平坦性，我们就不得不假设在整个E区域存在大量的暗物质。E是一个包含D的大球体，其半径目前也是未知的。为简单起见，我们先将漩涡星系看成一个薄圆盘。但薄圆盘引

7、力场的直接计算很困难，难以得到解析的函数形式。现有天体力学一般先设法求出盘引力势的表达式，然后再通过微分计算求引力。令代表薄圆盘面上某点的坐标，代表空间任意观察点的坐标，一个半径无穷大的薄圆盘在空间任意点上产生的引力势为： （24.2）计算上式时涉及到椭圆函数的积分，由于数学上的困难，目前只得到少数几种质量分布的引力势。比如在时假设薄盘质量面密度的分布形式为： （24.3）其中是常数面密度，是一个具有长度量纲的常数。通过椭圆积分的计算，得到旋转曲线公式： （24.4）按上式旋转速度是一个常数。问题在于实际漩涡星系的质量密度分布不满足（24.3）式。同时由于时，（24.3）式是不合适的。按（24

8、.3）式，薄圆盘的总质量为： （24.5）这也是不合适的。如果假设薄盘质量面密度分布具有指数衰减的形式，即令： （24.6）在时，按椭圆函数计算方法可得： （24.7）式中，常数。和为第一类修正的贝赛尔函数，和为第二类修正的贝赛尔函数。在半径为的范围内薄圆盘的质量为： （24.8）当时薄圆盘的总质量为有限值。图24.3中曲线表示薄圆盘质量密度按（24.8）式分布时，利用（24.7）式得到的旋转曲线。曲线表示如果质量球对称分布，且在半径为的球内质量也是（24.8）式所示的时的旋转曲线，其中。若取，图24.2就表示范围内的旋转曲线，若取，就表示范围内的旋转曲线。可见当薄圆盘的半径为无限时，其旋转曲

9、线与质量球对称分布的旋转曲线的形状大体相似。因此目前理论上都用（24.1）式来估计一般漩涡星系的旋转曲线，不再考虑星系的几何形状对旋转曲线的可能影响。注意到（24.2）式中圆盘的半径是无穷大的，对于半径有限的圆盘，至今没有严格解。另外以上的计算过程都取和，也就是说将薄圆盘的厚度近似地视为零，观察点也选在盘面上。 图24.3 是物质密度指数衰减半径无限盘状分布旋转曲线 是物质球对称分布且球内质量与一样时的旋转曲线 是物质集中在球心时的开普勒旋转曲线然而我们应当看到，（24.2）式所代表的是半径无限大的薄圆盘的引力势，但实际漩涡星系的半径不可能是无穷大的。用半径无穷大的薄圆盘来代替半径有限的薄圆盘

10、，是否会对旋转曲线的形状产生影响呢？这个问题至今在物理学中没有讨论，也就是说在牛顿引力理论中，我们对半径有限的质量薄圆盘分布引力场的性质仍然缺乏认识。事实上如下文所见，半径有限薄圆盘的引力场与半径无限薄圆盘的引力场有很大的差别。在半径有限的薄圆盘内，旋转曲线是平坦或向上弯曲的。也就是说正是半径有限圆盘的边界效应导致盘内旋转曲线的平坦性，其结果会对漩涡星系的质量分布的估计产生重要影响。以下我们首先讨论半径有限的质量薄盘状均匀分布的引力场，然后讨论银河系的旋转曲线和暗物质，以及一般漩涡星系的旋转曲线和暗物质。最后讨论一般性地讨论宇宙学中的暗物质问题。24.2 半径有限密度均匀薄圆盘的引力场和旋转曲

11、线漩涡星系发光盘除了具有的一定的厚度外还具有旋臂，结构实际上是很复杂的。为了简化讨论，我们不考虑星系的旋臂结构，同时认为盘的厚度与其半径相比很小可以不予考虑，仅讨论物质薄盘状分布的引力场。在了解薄圆盘引力场后，再进一步考虑具有一定厚度和旋臂结构的，实际漩涡星系的引力场。与传统的先计算引力势，再计算旋转曲线的做法不一样，本文中我们采用计算机数值计算方法，直接计算物质薄圆盘分布的引力场。设薄圆盘的半径为，厚度不计，质量面密度为常数。如图24.4所示，圆盘内任意点面积元的质量对盘内点上单位质量的引力为： （24.9）从对称性考虑，沿轴方向的引力分量相互抵消，沿轴方向的引力分量为： （24.10） 图

12、24.4 薄圆盘质量均匀分布引力场的计算整个薄圆盘质量对点单位质量的引力就为： （24.11）当时，我们有。容易证明此时有，因此在圆盘外区间，上式中被积函数是正常的。但在的盘内点上，被积函数是无穷大，这种数学上的困难也许是我们至今一直未能很好了解半径有限薄圆盘引力场性质的原因。以下来证明对于的盘内点，无穷大实际上不存在，无穷大仅在的边界点上出现。然后再证明边界上的无穷大可以通过假设园盘质量面密度随半径而减小，在圆盘边缘质量密度为零来消除。（24.11）式是不可积的，令是一个小量，可以将（24.11）式写为三个部分，有： （24.12）上式右边第一，二两项的被积函数没有奇点，积分有限。第三项被积

13、函数存在奇点，因此仅需讨论第三项，令： （24.13）在上式第一项中令，在第二项中令，就可以将上式写为： （24.14）由于是一个小量，在上式的积分区间中也是一个小量，有台劳级数展开： （23.15） （24.16）考虑到以上两式右边第三项和以后的项都比第二项小得多可以略去，可以将（24.14）式近似地写为: （24.17）当且时，。因此在的点上，（24.12）式是有限的。另外在点上（24.11）式是可积的。在（24.11）式中令并考虑以下积分： （24.18）利用公式（可以通过微分计算直接验证）： （24.19）得： （24.20）当时（24.20）式就是（24.11）式，积分结果为无穷大。

14、这情况就如在牛顿引力公式中令导致的无穷大一样，是一种边界效应。然而在实际上薄圆盘边缘的引力不可能是无穷大的，我们应当设法消除这种总无穷大。下文中我们证明只要假设薄圆盘质量面密度随半径而减小，在圆盘边缘质量密度为零，就可以消除边界点上的无穷大。对于漩涡星系，质量密度为零的边界总是存在。设某个漩涡星系含1000亿个太阳质量（包括发光与不发光重子物质），星系半径为4.9万光年（半径）。先将该星系看成质量均匀分布的圆盘，盘的厚度为2000光年（），可得圆盘质量体密度。若将漩涡星系看成无限薄圆盘，则盘面密度。利用计算机对（24.11）式进行数值计算，再考虑到关系，得到图24.5中的所示速度距离关系，即星

15、系旋转曲线。结果表明薄圆盘的引力和旋转速度都随的增大而增大，旋转速度在盘边缘处达到极大（无穷大）。在盘外处，旋转速度。若将该星系的质量看成球状对称分布，密度也为，计算可得球的半径为。按（24.1）式计算引力和旋转曲线得到图24.5中的曲线。在球边缘处引力和旋转速度到达最大，。随后旋转速度减小，在的位置上，旋转速度，在处，旋转速度。可知在相同质量和相同体密度的条件下，曲线与有很大的差别。曲线的峰值点比曲线的峰值点明显右移，在盘外区域质量盘状分布的旋转速度也比球状分布的旋转速度为大，这两个结果对实际漩涡星系旋转曲线的形状，以及对漩涡星系的暗物质问题将产生重要的影响。图24.5 是质量球对称均匀分布

16、的旋转曲线 是半径有限质量均匀分布薄圆盘的旋转曲线是半径有限密度线性递减薄圆盘的旋转曲线。 从曲线看出，当物质球状分布时，球体内旋转曲线是向上弯曲的，且在球边界上达到最大（有限）。从曲线也可以看出，物质是盘状分布时，在盘内的旋转曲线也是向上弯曲的，同样在盘边界上道道最大（无限）。因此二者有共同处，只不过对于同样的质量和密度，在盘状分布的情况下半径要大得多。至此我们已经可以得出结论，漩涡星系旋转曲线的平坦性实际上是牛顿引力理论的本来性质，只不过我们目前没有认识到这一点罢了。以下我们进行具体讨论。24.3 银河系的旋转曲线和暗物质一般漩涡星系的质量密度不可能是均匀分布的，为了使上述漩涡星系发光盘边

17、界物质密度为零，首先假定盘面质量密度按以下方式做线性递减： （24.21）其中以为单位，是薄圆盘心到盘中某点的距离，在盘边缘点上面密度为零。设漩涡星系质量仍为，通过计算可得，面密度与距离的关系可见图24.6曲线所示。由此（24.11）式变为： （24.22）上式的函数积分也是困难的，通过计算机数值计算，得到图24.5中的曲线。该曲线先缓慢地向上弯曲，在处达到极大，然后向下弯曲，无穷大的峰值消失。曲线的形状与球对称分布的形状也大不相同。可见漩涡星系盘半径的有限性会对星系旋转曲线的形状产生重要影响，使旋转曲线变得较为平坦。实际漩涡星系的质量密度比线性衰减复杂，以下我们以银河系为例进行讨论。图24.

18、6 漩涡星系的质量面密度分布曲线如图24.2所示，一般的漩涡星系中间都有一个隆起的星系核，核内质量密度比盘内密度高很多。已知银河系中心星系核隆起部分的半径约为，银盘的半径约为。考虑到此位置上星系盘的光度实际上仍不为零，此区域外还有少量的发光恒星，可以认为在银河系星发光系盘的半径延伸到的位置。由于星系中心区域的物质密度较大，假设在半径的核心部分包含的球状均匀分布物质，在半径的范围内包含的球壳状均匀分布物质，半径的范围内包含的球壳状均匀分布物质。然后半径毎增加质量增加，在半径为的球体内共包含的物质。漩涡星系核的外围一般有一个球状分布的发光晕状区，如图24.2 的C区域所示，其中包含发光恒星和不发光

19、气体等重子物质。但由于密度很低，我们以后都将这些物质包括到星系核中，不再单独考虑这些物质对漩涡曲线的影响。假设银盘物质密度分布除了线性衰减为还加上指数衰减，即令： （24.23）其中包含了发光物质和不发光的重子暗物质，但不包括非重子暗物质。将上式扣除发光物质密度，得到的就是不发光的重子暗物质密度分布。由于我们的目的是证明漩涡星系不需要非重子暗物质，因此没有必要在（24.23）中分离发光物质和不发光的重子暗物质。按照上式，发光盘面的质量为： （24.24）取，代入上式得。加上核心部分的质量后，星系发光区域的总质量。将核心部分球状分布的质量体密度折算成面密度后，总的面密度与距离的关系见图24.6曲

20、线。银河系旋转盘面上位于点处的物体受到的引力可以写为： （24.25）式中是半径为的球体内的质量球对称分布产生的引力。通过数值计算得到图24.7的曲线。目前对银河系的旋转曲线进行过许多测量，图24.7的是银河系的实际观测曲线之一。是将所有质量球对称均匀分布在半径的星系中心时的开普勒曲线。可见在半径小于的发光盘内曲线与是基本一致的。在区间略高于，在区间低于。因此在半径小于的星系盘内，我们既不需要假设存在额外的暗物质，也不需要修正牛顿力学，就能较好地解释旋转曲线的平坦性。图24.7 是实际观察到的银河系旋转曲线之一，是模拟银河系的理论旋转曲线是将质量球对称均匀分布在半径的星系中心时的多普勒旋转曲线

21、然而对于银河系发光盘外的区域远到的地方，目前也发现存在大量物质，这种现象对漩涡星系具有普遍性。通过对射电波段21 厘米中性氢发射谱线的多普勒频移测量，发现在远离星系中心的地方，旋转曲线也是大致平坦的。图24.8的是观察到的银河系的旋转曲线之一。为了解释远离星系中心时旋转曲线的平坦性，目前我们不得不假设漩涡星系所在的空间中存在球状分布的暗物质。这种暗物质的数量可能非常大，以至于不可能是正常的重子物质，可能是非重子暗物质。按现有宇宙学理论，取当前宇宙物质的平均密度，暗能量密度则为，非重子暗物质的平均密度为，重子物质的平均密度为。根据星系质光比的测量，不发光重子暗物质密度是发光重子物质密度的倍。认为

22、星系中不发光重子暗物质是发光重子物质的倍是可以接受的。由此可以近似地认为宇宙中发光重子物质的密度，不发光重子暗物质密度，也就是说非重子暗物质的数量大约是发光重子物质的60倍以上。然而我们应当看到一个事实，那就是在漩涡星系中，已经观察到的氢气云也是分布在漩涡星系发光盘面的延伸方向上，绕星系中心高速旋转的。正是基于这种事实，我们才能够通过测量断定，离漩涡星系中心足够远的地方旋转曲线是平坦的。这里就产生一个问题，那就是在与星系发光盘面垂直的方向上，尤其在离星系中心远的与盘面垂直的方向上，如图24.2位于E位置的区域，是否也存在这种绕星系中心高速旋转的氢气云呢？目前似乎没有文献报道发现存在这种气体云的

23、迹象。因此就不能排除一种可能性，即漩涡星系发光盘外晕状暗物质也是盘状分布的。而在与星系发光盘面垂直且远离星系中心的空间中，晕状物质的密度与发光盘面延伸方向上氢气云的密度相比很小，讨论旋转曲线时可以不考虑它们的存在。这在目前可以看成是一个观察事实。图24.8 是实际观察到的银河系旋转曲线之一 是银河系发光盘加星系核物质的理论旋转曲线是星系盘质量按（24. 29）式分布时的旋转曲线是加上星系核质量后，银河系的理论旋转曲线事实上天文观察发现，漩涡星系中心区域的恒星都是比较年老的，远离星系中心的盘面上的恒星一般都是比年轻的。这个现象已经告诉我们，漩涡星系发光盘面延伸方向上的氢气云有可能继续发育出新的恒

24、星。也就是说漩涡星系的发光盘有继续扩大的趋势，漩涡星系是一种发光盘外恒星正在发育成长的星系。如果这种推测是对的，按本文对薄圆盘引力场的严格计算方法，只要认为在星系发光盘平行延伸方向上存在密度足够大的氢气云，就能解释漩涡星系发光盘外旋转曲线的平坦性，不必假设一个很大空间中存在球状分布的暗物质。以下我们进行具体计算假设发漩涡星系光盘外的物质也是盘状分布的，星系盘物质的总面密度可以一般地写为： （24.29）上式右边第一个括号内第一项是指数衰减项，第二项是指数增加的补偿项。取和，使第二项比第一项小。第二个括号内是非线性（线性）衰减项，在星系盘的边界上满足，以保证边界上质量密度为零。对于银河系我们取，

25、。物质密度分布曲线如图24.6的曲线所示，曲线的前部与曲线基本重合。通过计算机数值计算得到图24.8的曲线，该曲线是大体平坦的。与上节的讨论类似，加上在半径的星系核内球对称分布的质量，就得到图24.8的曲线。星系盘面的质量按下式计算： （24.30）按（24.24）式的计算，银河系发光盘的质量为，加上星系核质量，星系的总质量。其中星系发光盘外暗物质质量，发光盘内质量，发光盘外质量是发光盘内质量的3.53倍。在发光盘外存在的这种数量的物质可以认为是重子暗物质，也就是说在漩涡星系中，我们不需要银河系中存在大量非重子暗物质的假设，虽然不能排除存在少量非重子暗物质的可能性。24.4 一般漩涡星系旋转曲

26、线和暗物质目前已经观察某些大型漩涡星系的半径可达以上，如图24.9曲线 所示的JGC2885星系。设某漩涡星系盘的实际半径，发光盘外晕状暗物质也是盘状分布。盘面质量密度也用（24.29）式表示，取，。物质密度分布曲线如图24.6的曲线所示，按（24.29）式进行数值计算，旋转曲线如图24.9中的所示。再设星系核半径的范围内另含有物质，半径的球壳范围内含有物质，半径的球壳范围内含有物质，的球壳范围内含有物质，的球壳范围内含有物质，的球壳范围内含有物质，的球壳范围内含有物质。也就是说在星系核的空间中总共包含了球对称分布的物质。叠加到曲线上，我们就得到星系的理论旋转曲线，该曲线与基本一致。我们来计算

27、曲线代表的漩涡星系的质量。由于，可以令，将（24.30）式写为： (24.31)加上星系核中心区域的质量，曲线代表的星系的总质量。图24.9 是JGC2885星系的旋转曲线，是按（24.29）式计算的旋转曲线是以为基础加上星系核球对称分布质量后的理论旋转曲线另外从银河系的旋转曲线可知，在半径的发光盘范围内曲线呈波浪起伏状，在发光盘外曲线是基本平坦的。产生这种形状的原因在于实际的漩涡星系有旋臂结构，导致质量分布沿半径方向有起伏。在发光盘外没有悬臂结构，质量分布比较均匀。从图24.9曲线的形状可以判断，JGC2885星系的发光盘半径为大约。在（24.31）式中令，就可以得到该星系发光盘物质的质量。

28、加上星系核的质量，发光盘内物质的质量。可知发光盘外盘状分布暗物质的质量，与发光盘内物质的质量大体一致。这种数量的暗物质也可以认为是重子暗物质。可见即使对于半径达到的漩涡星系，如果漩涡发光盘外暗物质也是盘状分布，严格按牛顿引力理论计算，发光盘外暗物质仍然可以是重子暗物质。对于大型的漩涡星系，我们仍然不需要非重子暗物质的假设。对于具有厚度和旋臂结构的漩涡星系，引力场和旋转曲线将更为复杂，但这个结果是适用的。24.5 非重子暗物质问题的讨论严格按牛顿引力理论，物质盘状分布，且圆盘的半径有限时，盘内的旋转曲线可以是平坦或向上弯曲的。因此漩涡星系旋转的平坦性是牛顿引力理论的直接结果。讨论漩涡星系旋转曲线时，用球状分布来代替盘状分布就会产生很大的误差。因此我们应当严格按牛顿引力理论计算星系质量薄盘分布的引力场，其结果是在漩涡星系发光物质盘内不需要额外的暗物质，就能得到平坦的旋转曲线。天文学上通过测量该区域氢气云射电波段21 厘米中性氢发射谱线的多普