数学(理)二轮复习专题训练：立体几何

1、清大附中三维设计2014 年高考数学（理）二轮复习专题精品训练：立体几何本试卷分第卷 ( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分满分150 分考试时间 120 分钟第卷 ( 选择题共 60 分 )一、选择题 ( 本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1如图， 平面四边形ABCD 中， ABAD CD1， BD2, BD CD ，将其沿对角线 BD折成四面体 A BCD ，使平面 A BD平面 BCD ，若四面体 A BCD 顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ()A3B 3C2D 232【答案】 A2已知三棱锥 S AB

2、C的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )A 36B 6C 3D 9【答案】 C3一条长为 2 的线段， 它的三个视图分别是长为3, a, b 的三条线段， 则 ab 的最大值为 ()A 5B 6C 5D 3【答案】 C24三个不重合的平面可把空间分成n 部分 , 则 n 的所有可能取值为( )A 4B 4 或 6C 4 或 6 或 8D 4 或 6 或 7 或 8【答案】 D5如果内接于球的一个长方体的长、宽、高分别为2、 1、 1，则该球的体积为 ( )A 3B 2C5D6【答案】 D6如图一个封闭的立方体，它6 个表面各标出1、 2、 3、 4、

3、5、 6 这 6 个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l 、 2、 3对面的数字是 ()A 4、 5、 6B 6、 4、 5C 5、 4、 6D 5、 6、 4【答案】 C7一个几何体的三视图如图所示，它们都是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于 ( )AB2C 2D322【答案】 D8已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是 ( )【答案】 B9一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是( )A BCD 【答案】 D10如图，点 P、 Q、 R、 S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线

4、PQ与 RS是异面直线的一个图是 ( )【答案】 C11在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是()A 2 RB 7 RC 8 RD 7 R【答案】 B33612，为不同的平面，m， n， l 为不同的直线，则m的一个充分条件是( )A n, n, mBm,C, mD,l , m l【答案】 A第卷 ( 非选择题共 90 分 )二、填空题 (本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，把正确答案填在题中横线上)13若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为【答案】

5、 3414在正三棱锥 S ABC 中， SA 1, ASB30 ，过 A 作三棱锥的截面AMN , 则截面三角形AMN 的 周长的最小值为.【答案】215如图，在正三棱锥A BCD中， E、F 分别是 AB、 BC的中点， EF DE，且 BC 1，则正三棱锥A BCD的体积是.2【答案】 2416设球 O的半径为 R， A、 B、 C 为球面上三点， A 与 B、 A 与 C 的球面距离都为，B 与 C 的2R球面距离为 2，则球 O在二面角 B-OA-C 内的那一部分的体积是3R【答案】 439R( 本大题共 6 个小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)三、解答题17如

6、图 , 直角梯形 ABCD中 , ABCBAD 90o ,AB=BC 且 ABC的面积等于 ADC面积的1 梯形 ABCD所在平面外有一点P, 满足 PA平面 ABCD,PA AB 2(1 ）求证 : 平面 PCD平面PAC ；(2 ）侧棱 PA上是否存在点E, 使得 BE / 平面 PCD? 若存在 , 指出点 E 的位置并证明 ; 若不存在 , 请说明理由(3 ）求二面角 A PD C 的余弦值【答案】设 AB BC PA 1,1 S ADC , AD 2BC 2ABCBAD 900 , AB BC, S ABC2以点 A为原点，以 AB,AD,AP所在直线为 x轴 ,y 轴,z 轴建立空

7、间直角坐标系，则（A 0，0，0), B(1,0,0), C (1,1,0), D (0, 2,0), P(0,0,1) ，(1 ）设平面 PCD的一个法向量为 n( x, y, z),则有：n PC0( x, y, z) (1,1, 1)0xy，z 0n PD0( x, y, z) (0,2,1)02 yz0令 y1,则 z=2,x=-1, 即有 n(1,1,2)同理，可求得平面PAC的一个法向量m( 1,1,0)n m(1,1,2) ( 1,1,0)110 ，平面 PCD平面 PAC(2 ） 假设存在满足条件的点E ，使 BE / /平面 PCD,则可设点 E(0,0, z) ，由（ 1）

8、知 平面 PCD的一个法向量为 n (1,1,2),则依题意有：BE n 0,即( 1,0, z) (1,1,2)0 ，112z0得 z=,存在满足条件的点 E( PA的中点） .(3 ） 由（ 1）知(1,1,2),又显然 AB为平面 APD的一个法向量，平面PCD的一个法向量为 n设二面角 A-PD-C 的平面角为，则cos |cos n, AB | (1,1,2) (1,0,0)6121222 1618如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ， PB、PD 与平面 ABCD 所成角的正切值依次是1和 1 ， AP 2 ， E、F 依次是 PB、PC

9、的中点 .( ）求证： PB2平面 AEFD ；( ）求直线 EC 与平面 PAD 所成角的正弦值 .【答案】（ 1） PB、PD 与平面ABCD 所成角的正切值依次是 1和 1, AP 2 AB 2, AD42PA平面 ABCD , 底面 ABCD 是矩形AD平面 PAB ADPB E 是 PB 的中点 AEPB PB 平面 AEFD(2 ）解法一： PA平面 ABCD ， CD PA，又 CDAD , CD 平面 PAD，取 PA 中点 G ， CD 中点 H，联结、GH、GD，EG则 EG / / AB / / CD 且1，EGHC 是平行四边形，EG2AB =1 HGD 即为直线 EC

10、 与平面 PAD 所成的角 .在 RtGAD 中， GH18 ，sinHGDHD12 ，GH186直线 EC 与平面 PAD 所成角的正弦值为2 .6解法二：分别以AB、AD、AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，依题意，AD 4，AB 2 ，则各点坐标分别是A(0，0，0) ， B(2，0， 0) ， C(2，4，0) ， D(0，4，0) ，P(0，0，2) ， E(1，0， 1)， F(1，2， 1) ， EC(1，4， 1) ,又 AB平面 PAD ，平面 PAD 的法向量为 nAB(2,0,0) ，设直线 EC 与平面 PAD 所成的角为，则sinEC n22,|

11、EC | | n |182 62 .直线 EC 与平面 PAD 所成角的正弦值为619已知正方体ABCD A1B1C1D1， O是底 ABCD对角线的交点。D1C1B1A1DCAOB求证：（ 1)A1CB1D1(2)C1O面 AB1 D1 ；【答案】（ 1） 由 ABCD A1B1C1 D1 是正方体，所以A1C1B1 D 11又 A1 A平面 A 1B1C1 D1 , 所以 A 1A B1D12又 AA 1A 1 C1A 13由 1 2 3 有 B1D1平面 A 1ACC 1 , 而A 1 C平面 A 1ACA 1 , 所以 A 1 C B1D1(2 ） . 连接 A 1 C1交B1 D 1

12、于O1 ,连接 AO 1 ,由 ABCD A1 B1 C1D1是正方体，所以1 AC.AC/A 1C1 ,且 O1C 1AO2即四边形 OCC1O1是平行四边形。所以 AO 1 /OC1 .又 AO1平面 AB 1D1 , CC1 /平面 AB 1D1 .AB，点 E、 M分别为 A B、 CC 的中点，过点A ，20如图，在正四棱柱ABCD A B C D 中， AA=111111111B， M三点的平面A1BMN交 C1D1于点 N.2( ）求证： EM平面A1 B1C1D1；( ）求二面角B A1N B1 的正切值 .【答案】解法一：( ）证明：取A1B1 的中点F，连 EF， C1F

13、E 为 A1B 中点 EF11 BB2M又 M为 CC中点 EF C11四边形 EFC1M为平行四边形 EM FC1而 EM 平面 A1B1C1 D1 . FC 1 平面 A1B1C1 D1 . EM平面 A1B1 C1D1平面 A BMN( ）由（） EM平面 A B C D EM11111平面 A1 BMN平面 A1 B1C1D1=A1N A1 N/ EM/ FC 1 N 为 C1D1 中点过 B1 作 B1H A1N于 H，连 BH，根据三垂线定理 BH A1 N BHB1 即为二面角 B A1N B1 的平面角设 AA=a，则 AB=2a， A B C D 为正方形11111 A1H=

14、 5a又 A1B1H NA1D1 B1H= 2a2a 4a5a5在 Rt BB1H 中， tan BHB1=BB1a5B1 H4a4即二面角B A1N B1 的正切值为554解法二 :( ）建立如图所示空间直角坐标系，设则 A1（ 2a， 0， a）， B（ 2a, 2a , 0 C1（ 0， 2a， a） E 为 A1B 的中点， M为 CC1 的中点 E（ 2a , a ,a ）， M（ 0， 2a, aAB=2a,AA1=a(a0) ，） , C （ 0， 2a ， 0），）22 EM/ A 1B1C1D1( ）设平面A1BM的法向量为n =（ x, y , z）又 A1 B =（ 0，

15、 2a , a ）a由n A1B, nBM ( 2a,0,)22ay az0zaaxn ( , a)az,442z2ax02y2而平面 A1 B1C1D1 的法向量为. 设二面角为，则n1(0,0,1)又：二面角为锐二面角| nn1 |4cos| cos21| n | n1 |从而5tan4，得BM4 ，2121如图， ，为空间四点在 ABC 中，等边三角ABCDAB2，ACBC2形 ADB 以 AB 为轴运动( ）当平面 ADB 平面 ABC 时，求CD ；( ）当 ADB 转动时，是否总有 ABCD ？证明你的结论【答案】（）取AB 的中点 E ，连结 DE， CE ，因为 ADB 是等边

16、三角形，所以DEAB 当平面 ADB平面 ABC 时，因为平面 ADB平面 ABCAB ，所以 DE平面ABC ，可知 DECE由已知可得 DE3， EC1，在 Rt DEC 中， CDDE 2EC22( ）当 ADB 以 AB 为轴转动时，总有ABCD 证明如下：当 D 在平面 ABC 内时，因为 AC = BC， ADBD ，所以 C， D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即AB CD 当 D 不在平面 ABC 内时，由（）知ABDE 又因 ACBC ，所以 ABCE 又 DE， CE 为相交直线，所以AB平面 CDE ，由 CD平面 CDE ，得 ABCD 综上所述，总有AB CD 22

17、如图，已知直三棱柱ABC A1B1C1 的侧棱长为2，底面 ABC是等腰直角三角形，且ACB=90， AC=2， D 是 A A 1 的中点( ）求异面直线AB 和 C1D 所成的角（用反三角函数表示）；( ）若 E 为 AB上一点，试确定点E 在 AB上的位置，使得A1E( ）在（）的条件下，求点D 到平面 B1C1E 的距离【答案】（）法一：取CC1 的中点 F，连接 AF， BF，则 AF C1DC1D； BAF为异面直线AB与 C D 所成的角或其补角1 ABC为等腰直角三角形，AC=2， AB=2 2 又 CC1=2， AF=BF= 5 cos BAF=，21055 BAF=，arc

18、cos 105即异面直线 AB与 C D所成的角为110arccos5法二：以C 为坐标原点，CB， CA， CC1 分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 A（ 0， 2， 0）， B（ 2， 0， 0），C1（ 0， 0， 2）， D（ 0， 2，1）， AB =（ 2， 2， 0）， C1D =（ 0， 2， 1）由于异面直线 AB与 C1 D所成的角为向量 AB 与 C1D 的夹角或其补角设 AB 与 C1D 的夹角为，则 cos =4=10 ，2255 =arccos10 ，5即异面直线AB与 C1 D所成的角为10arccos5( ）法一：过1111，垂足为 M，则 MC作 C M A B为 A1 B1 的中点，且 C1M平面 AA1B1B连接 DM. DM即为 C1D 在平面 AA1 B1B 上的射影要使得 A1 E C1D，由三垂线定理知，只要 A1E DM AA1=2， AB=2 2 ，由计算知，E 为 AB的中点法二：过E 作 EN AC，垂足为N，则 EN平面AA1C1C. 连接 A1N. A1N 即为 A1E 在平面 AA1C1C 上的射影要使得 A1 E C1D，由三垂线定理知，只要 A1N C1D四边形AA1C1C 为正方形， N 为 AC的中点， E 点为