(完整版)解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式

1、解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数2f (x) ax bx c(a 0, x R),有1) f (x)0对xR恒成立a 0; 2 ) f(x) 0 对 x0R恒成立例1.已知函数ylgx2(a 1)x a2的定义域为R,求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式x2 (a 1)x a20对x R恒成立，即有221(a 1) 4a 0 解得 a1 或a 。31所以实数a的取值范围为(，1)(-,)。3若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。2mx 2，当x 1,

2、)时，f (x) m恒成立，求实数 m的取值范围。解：设 F (x) x22mx 2则当x 1,)时，F(x)0恒成立4(m1)(m2)F(1)0时,如图,1) 02m2解得F(x)、最值法(分类讨论)将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有:f (x) a 恒成立 a f (x)min 2) f (x) a 恒成立 a f (x) max3 已知 f(x) x2 ax 3 a ,若x 2,2, f(x) 2恒成立，求 a的取值范围解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题，只要对于任意x 2,2, f(x)mn2若2,2, f(x) 2 恒成立 x-22

3、,2, f (x)min 22f(x)min f( 2)7 3a 232 - 2或2f(x)min f(自2 a a 4空22，即a的取值范围为5, 2 2、2.f(x)mn f(2)7 a 2点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值的方法，只要利用f (x) m恒成立点分布策略求解练习、若x2,2时，不等式解：设f x2x ax 3 a,(1)当2即：a 4时2(2)当2a c-2 即：42则问题转化为当2 x，f x minf (x)mn m ； f(x) m 恒成立f(X)max m 本题也可以用零ax 3 a恒成立，求a的取值范围。2,2 时，

4、f的最小值非负。7 3a7一又a34所以a不存在;a 4 时，f xmin(3)aa24a 4时，x mina综上所得:函数f (x)x2 2x1,),若对任意x 1,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围。解：若对任意x1,f(x) 0恒成立，即对x1,f (x)2x 2x a0恒成立,考虑到不等式的分母x 1,)，只需x2 2x a 0在 x1,)时恒成立而得而抛物线g(x) x22x a 在 x 1,)的最小值gmin(x)g (1)3 a 0 得 a注：本题还可将f (x)变形为f (x) xa 小2，讨论其单调性从而求出f (x)最小值。x三、确定主元(变换主元)在给出的含有两个变量的

5、不等式中，学生习惯把变量x看成是主元(未知数)，而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求 取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例5、若不等式2x 1x21对满足m 2的所有m都成立，求x的取值范围。解：设f m m x22x 1，对满足m 2的m , f m0恒成立,21 .722x1 2x 102解得:2 x 1 2x 10例6.对任意a 1,1，不等式x2 (a 4)x4 2a 0恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于 x的一元二次不等式，但若把 a看成主元，则问题可转化为一次不解：令f(a)(x2) a2 x4x

6、4，则原问题转化为f(a)0恒成立(a1,1)当x 2时，可得f (a)0 ,不合题意。当x 2时，应有f(1)0解之得x 1或x3。故x的取值范围为(，1)(3,)f( 1)0一般地，一次函数f(x)kxb(k 0)在,上恒有f(x)0的充要条件为f()等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上恒成立的问题。f( ) 0三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函 数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般 地有：1) f(x) g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max2) f(x)

7、 g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max实际上，上题就可利用此法解决。2 2略解：x 2xa0在x1,)时恒成立，只要a x 2x在x 1,)时恒成立。而易求得二次函数h(x) x2 2x在1,)上的最大值为3，所以a 3。例7.已知函数f(x)ax 4xx2 ,x (0,4时f (x)0恒成立，求实数a的取值范围。x2勺 4x x2解：将问题转化为a对x (0,4恒成立。令g(x)，则a g(x)min由 g(x)4x x2xxx-1可知g(x)在(0,4上为减函数，故g(x)min g(4)0x a 0即a的取值范围为(，0)。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解

8、决。四、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,n f a ,g a ，则fa m且g a n ,不等式的解即为实数 a的取值范围。1例5、当x -,33时,logax1恒成立，求实数a的取值范围。解：Q1 lOga X(1)1时,则问题转化为 -,331 ,a a(2)1时,1，则问题转化为丄,3a3综上所得：0五、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。且正确作出两个函数的图象,然后通2 1 _ _例6、若不等式3x logaX 0在X

9、 0-内恒成立，求实数 a的取值范围。，32解：由题意知：3x log a x在x01在同一坐标系内，分别作出函数y1观察两函数图象，当x 0,323x和时，若y log a x的图象显然在函数2y 3x图象的下方，所以不成立;当0 a 1时，由图可知，ylOg a x的图象必须过点1 1-,-或在这个点的上方,3 3则,1lOga311a1 a72 7综上得：11 a7上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析,选择适当方法准确而快速地解题。指数不等式的解法是利用指数函数的性质化为同解的代数不等式a 1时0 a1时f (x)g(x)aaf (x)g(x

10、)；af(x)ag(x)f (x)g (x)；f (x)g(x)aaf (x)g(x)；af(x)ag(x)f (x)g (x)；0.2x? 2x 10.22例1：解不等式:0.2x2:2x 1 “十0.04 解(1)原不等式2x2x 12(x1)(x3)01x 3所以原不等式的解集为x | 1 x32例 2: ax 2xax4,(a0且 a 1)(1 )当 a1时(2)当0a1时x 22 xaxa4x 2 a2 xx a4解：x 22 xx42x2 xx42x3 x402x3 x40(x4)(x1 )0(x4)(x1 )0x1或x4;1x4所以原不等式的解集为：a 1时x|x1或x 40 a1时x| 1 x4对数不等式的解法a1时f(x)0f (x)0logaf(x)logag(x)g(x)0logaf(x) logg(x)ag(x)0f(x)g(x)f (x)g(x)对数不等式的解法(0a1 )时logaf(x) logag(x)f(x) 0g(x) 0f(x) g(x)f(x) 0g(x) 0 logaf(x) log ag(x) f(x)g(x)例 3: log i (3x 2) logi(x 1)22解：原不等式2x3x2 0323X1 0X1x 323x2 x 13X22 3所以原不等式的解集为x|- X 33 2例4