初中数学行程问题专题

1、初中列方程解应用题（行程问题）专题 行程问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的问题。我们常用的基本公 式是： 路程二速度X时间；速度二路程宁时间；时间二路程宁速度 行程问题是个非常庞大的类型，多年来在考试中屡用不爽，所占比例居高不 下。原因就是行程问题可以融入多种练习，熟悉了行程问题的学生，在多种类型的 习题面前都会显得得心应手。下面我们将行程问题归归类，由易到难，逐步剖析。 1. 单人单程： 例1:甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速 度从80km/ h提高到100km/h ,运行时间缩短了 3h。甲，乙两城市间的路程是多 少？ 【分析】如果设甲，乙两城市间的路程为x

2、km,那么列车在两城市间提速前的 运行时间为h，提速后的运行时间为 h. 80 100 【等量关系式】 提速前的运行时间一提速后的运行时间 =缩短的时间 【列出方程】-3. 80 100 例2:某铁路桥长1000 m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始 上桥到完全过桥共用了 1 min，整列火车完全在桥上的时间共 40s。求火车的速 度和长度。 【分析】如果设火车的速度为x m/s，火车的长度为y m，用线段表示大桥 和火车的长度，根据题意可画出如下示意图: l y h 卓1000* u u IJ IJ 60 x - 1000 匚CJ Cl -y t一40 x_r 【等量关系式】 火车1

3、 min行驶的路程=桥长+火车长; 火车40s行驶的路程二桥长-火车长 【列出方程组】60X 1000 y 40 x1000 y 2. 单人双程（等量关系式：来时的路程 二回时的路程）： 例1:某校组织学生乘汽车去自然保护区野营， 先以60km/h的速度走平路， 后又以30km/h的速度爬坡，共用了 6.5h;返回时汽车以40km/h的速度下坡，又 以50km/h的速度走平路，共用了 6h.学校距自然保护区有多远。 【分析】如果设学校距自然保护区为x km，由题目条件：去时用了 6.5h，则 有些同学会认为总的速度为 km/h，然后用去时走平路的速度+去时爬坡的速 6.5 度二总的速度，得出方

4、程60 30，这种解法是错误的，因为速度是不能相 6.5 加的。不妨设平路的长度为x km，坡路的长度为y km，则去时走平路用了 h， 60 去时爬坡用了丄h，而去时总共用了 6.5h，这时，时间是可以相加的；回来时 30 汽车下坡用了，回来时走平路用了 ，而回来时总共用了 6h.则学校到自然 4050 保护区的距离为（x y）km。 【等量关系式】去时走平路用的时间+去时爬坡用的时间=去时用的总时间 回来时走平路用的时间+回来时爬坡用的时间二回来时用的 总时间 丄 6.5 【列出方程组】6030 丄6 5040 3. 双人行程： （I）单块应用：只单个应用同向而行或背向而行或相向而行或追

5、击问题。 1）同时同地同向而行：A,B两事物同时同地沿同一个方向行驶 例：甲车的速度为60km/h，乙车的速度为80km/h，两车同时同地出发， 同向而行。经过多少时间两车相距 280km。 【分析】如果设经过x h后两车相距280km，贝U甲走的路程为60 xkm，乙走 的路程为80 xkm，根据题意可画出如下示意图： 80 x km 乙卜 甲广60 x km屮 280km 【等量关系式】甲车行驶的距离+280=乙车行驶的距离 【列出方程】60 x 280 280 x 2）同时同地背向而行：A, B两事物同时同地沿相反方向行驶 例：甲车的速度为60km/h，乙车的速度为80km/h，两车同时

6、同地出发， 背向而行。经过多少时间两车相距280km。 【分析】如果设经过x h后两车相距280km，贝U甲走的路程为60 xkm，乙走 的路程为80 xkm，根据题意可画出如下示意图： 甲 乙 0 x km 平80 x km气 280 km 【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=280 【列出方程】60 x 80 x280 3）同时相向而行（相遇问题）： 例:甲，乙两人在相距10km的A,B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的 2 倍，两人同时处发1.5h后相遇，求甲，乙两人的速度。 【分析】如果设甲的速度为xkm/h，则乙的速度为2xkm/h，甲走过的路程 为1.5x km，乙走过的

7、路程为1.5 2x km，根据题意可画出如下示意图： 1.5x km 10 km 1.5 x 2x km 280 km 【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=10 【列出方程】1.5x 1.5 2x 10 4）追及问题： 例：一对学生从学校步行去博物馆，他们以5km/h的速度行进24 min后，一 名教师骑自行车以15km/h的速度按原路追赶学生队伍。这名教师从出发到途中 与学生队伍会合共用了多少时间？ 【分析】如果设这名教师从出发到途中与学生队伍会合共用了xh，则教师 走过的路程为15x km，学生走过的路程为教师出发前走过的路程加上教师出发 后走过的路程，而学生在教师出发前走过的路

8、程为5迢km，学生在教师出发后 60 走过的路程为5x km，又由于教师走过的路程等于学生走过的路程。根据题意可 画出如下示意图： 4 24Mh 学生 5二km二5x km1 60 教师15x km 【等量关系式】教师走过的路程=学生在教师出发前走过的路程+学生在教 师出发后走过的路程 24 【列出方程】15x 5 一 5x 60 5）不同时同地同向而行（与追击问题相似）： 例:甲，乙两人都从A地出发到B地，甲出发1h后乙才从A地出发，乙出 发3h后甲，乙两人同时到达B地，已知乙的速度为50km/h，问，甲的速度为多 少？ 【分析】如果设甲的速度为x km/h，贝U乙出发前甲走过的路程为x k

9、m，乙 出发后甲走过的路程为3xkm，甲走过的路程等于乙出发前甲走过的路程加上乙 出发后甲走过的路程，而乙走过的路程为 50 3km，甲走过的路程等于乙走过的 路程。根据题意可画出如下示意图： 【等量关系式】 乙走过的路程=乙出发前甲走过的路程加上乙出发后甲走过 的路程 【列出方程】50 3 x 3x 6）不同时相向而行 例：甲，乙两站相距448km，列慢车从甲站出发，速度为60km/h ; 一列 快车从乙站出发，速度为100km/h。两车相向而行，慢车先出发32min，快车开 出后多少时间两车相遇？ 【分析】如果设快车开出后x h两车相遇，则慢车走过的路程为 32 60 x 60km，快车走

10、过的路程为100 x km。根据题意可画出如下示意图： 60 慢车6e- 32 60 448km 【等量关系式】 总路程=快车出发前慢车走过的路程+快车出发后慢车走过 的路程+快车走过的路程 32 【列出方程】448 6060 x 100 x 60 注：涉及此类问题的还有同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行、不 同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行，与上面解法类似，只要画出示意 图问题就会迎刃而解，就不再一一给出解答了，此类问题会在后面练习中给出习 题。 （H）结合应用：把同向而行、背向而行、相向而行、追击问题 两两结合起来应用 1）相向而行+背向而行 例：A , B两地相距36km，

11、小明从A地骑自行车到B地，小丽从B地骑自 行车到A地，两人同时出发相向而行，经过1h后两人相遇；再过0.5h，小明余 下的路程是小丽余下的路程的2倍。小明和小丽骑车的速度各是多少？ 【分析】如果设小明骑车的速度为x，小丽骑车的速度为y ,相遇前小明走 过的路程为x，小丽走过的路程为y ;相遇后两人背向而行，小明走过的路程为 0.5x，小丽走过的路程为0.5y。根据题意可画出如下示意图: 相遇前 小明 x 小丽 36km 0.5x y-0.5x 小明 所有队员I L * *35 10 * 一35x 45 1号队员| 45x x-0.5y 小丽 【等量关系式】相遇前小明走过的路程+相遇前小丽走过的

12、路程=总路程 相遇后小明余下的路程=2X相遇后小丽余下的路程 【列出方程组】x y 36 y 0.5x2 (x 0.5y) 2）同向而行+相向而行 例：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以 35千米/时的速度前进， 突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以 45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合。1号队员从离队开始到与其他 队员重新会合，经过了多长时间？ 【分析】由题意“1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后 掉转车头”可知1号队员从离队到调转车头前的时间为 Qh，不妨设1号队员从 45 调转车头到与其他队员重新回合的时间为 x h。根据

13、题意可画出如下示意图： 10km 【等量关系式】1号队员从离队到调转车头这段时间所有队员走的路程 +1号 队员从调转车头到与其他队员重新回合这段时间内所有队员走的路程 +1号队员 从调转车头到与其他队员重新回合这段时间内 1号队员走的路程=10。 10 【列出方程】35 10 35x 45x 10 45 4. 行程问题中的工程问题: 乍一看，题目中就时间已知，速度、路程都未知，此类问题同学们做起来觉 得无从下手。其实只要把路程看做单位“ 1”（至于为什么，结合以下例题讲解）， 这就相当于把行程问题转化为工程问题。 例：甲开汽车从A地到B地需要6h，乙开汽车从A地到B地需要4h，如 果甲，乙两人

14、分别从A，B两地出发，相向而行，经过多少小时后两车相遇。 【分析】题目中就时间已知，速度、路程都未知，有些同学想如果知道A与 B的距离，就可以得出A与B的速度，那么问题就迎刃而解了，可是路程未知 呀！是不是路程无论取什么值，都经过相同的时间两车相遇呢？为此， 我们不妨 设A与B的距离为a,经过xh后两车相遇。我们可以立马得出关系式： a x a x a，可以把两边的a消去，得到方程-1，立马得出x 。 64645 说明路程无论取什么值，都经过相同的时间两车相遇。遇到类似问题，我们往往 把路程看做单位“1”。 5环形跑道问题： 环形跑道问题也是形成问题的一种，环形跑道问题就是闭路线上的追击问 题

15、。在环形问题中，若两人所走同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两 人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。 例1：运动场跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的5倍，他们从同一 3 地点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次追上了爷爷。你知道他们 的跑步速度吗？那是不是再过5min两人第二次相遇呢？如果不是，请说明理由； 如果是，用方程式表示。 【分析】不妨设爷爷的跑步速度为x m/min，则小红的跑步速度为-x m/min 3 【等量关系式】小红跑的路程一爷爷跑的路程=400m 5 【列出方程】5 -x 5x 400 3 注：再过5min两人第二次相

16、遇，用上面那个方程式就可以表示出来。 例2:甲，乙两车分别以均匀的速度在周长为 600m的圆形轨道上运动。甲 车的速度较快，当两车反向运动时，每15s相遇一次;当两车同向运动时，每1min 相遇一次，求两车的速度。 【分析】设甲，乙两车的速度分别为x m/s和ym/s。 【等量关系式】 同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=一周长 反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周长 【列出方程组】15x 15y 600 60 x 60y600 6水流问题 一般是研究船在 流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型， 它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。基本概念和公式

17、有： 船速：船在静水中航行的速度 水速：水流动的速度 顺水速度：船顺流航行的速度 逆水速度：船逆流航行的速度 顺速=船速+水速 逆速=船速-水速 船行速度=（顺水速度+逆流速度）吃 流水速度=（顺流速度一逆流速度）吃 路程=顺流速度X顺流航行所需时间 路程=逆流速度 逆流航行所需时间 例1：某船在80km的航道上航行，顺流航行需1.6h，逆流航行需2h。求船 在静水中航行的速度和水流的速度。 【分析】设船在静水中航行的速度和水流的速度分别为x和y，顺流的速度 为80 km/h，逆流的速度为80 km/h，再利用上面的公式。 1.6 2 【等量关系式】顺速=船速+水速 逆速=船速-水速 80 x y 【列出方程】1.6 80 T x y 例2