对流传热方程推导

1、1. 1. 连续性方程连续性方程 控制体内部质量控制体内部质量 随时间的变化率随时间的变化率 控制体内部质量控制体内部质量 源和汇的净和源和汇的净和 质量守恒法则：质量守恒法则： 控制体内部质量控制体内部质量 随时间的变化率随时间的变化率 净流出控制体容积表净流出控制体容积表 面的质量面的质量 控制体内部质量控制体内部质量 源和汇的净和源和汇的净和 0 x方向净流出质量方向净流出质量 dxdydz x u udydzdxudydz x udydz y x z dydxdzv y vdxdz udydz dxudydz x udydz vdxdz 控制容积质量守恒控制容积质量守恒 dx dz y

2、方向净流出质量方向净流出质量 dxdydz y v vdxdzdyvdxdz y vdxdz z方向净流出质量方向净流出质量 流体质量对时间的变化率流体质量对时间的变化率 dxdydz dxdydz z w wdydxdzwdydx z wdydx 0 dxdydz z w y v x u dxdydz 不存在质量源和汇的情况的质量平衡方程（连续方程）不存在质量源和汇的情况的质量平衡方程（连续方程） 0 z w y v x u 三维非稳态可压缩流的质量守恒方程三维非稳态可压缩流的质量守恒方程 适用于单组分流体适用于单组分流体 适用有组分扩散的混合物适用有组分扩散的混合物 其它形式其它形式 0

3、z w y v x u D D 0 i i x u 0 i i x u D D 张量表示张量表示 全导数全导数 0 z w y v x u 密度为常量密度为常量 0 i i x u 0divV 2. 2. 动量方程动量方程 控制容积内的流体在控制容积内的流体在 i 方方 向动量随时间的变化率向动量随时间的变化率 单位时间内流入控单位时间内流入控 制容积的制容积的 i 方向动量方向动量 单位时间内流出控单位时间内流出控 制容积的制容积的 i 方向动量方向动量 作用于控制容积内流作用于控制容积内流 体在体在 i 方向力的总和方向力的总和 动量守恒法则动量守恒法则 控制容积内的流体在控制容积内的流体

4、在 i 方方 向动量随时间的变化率向动量随时间的变化率 单位时间内净流出控单位时间内净流出控 制容积的制容积的 i 方向动量方向动量 作用于控制容积内流作用于控制容积内流 体在体在 i 方向力的总和方向力的总和 流入流出控制容积的流入流出控制容积的x方向动量方向动量 y x z dydxdzuv y uvdxdz dydzu 2 dxdydzu x dydzu 22 uvdxdz dx dz uwdxdy dydxdzuw z uwdxdy （1）x方向流出控制容积东、西面的净动量方向流出控制容积东、西面的净动量 dxdydz x u dydzudxdydzu x dydzu 2 222 x方

5、向动量方程方向动量方程 （2）x方向流出控制容积上、下面的净动量方向流出控制容积上、下面的净动量 dydxdzuv y uvdxdzdydxdzuv y uvdxdz （3）x方向流出控制容积前、后面的净动量方向流出控制容积前、后面的净动量 dydxdzuw z uwdxdydydxdzuw z uwdxdy 流体在流体在x方向的动量随时间的变化率方向的动量随时间的变化率 dxdydz u 作用在控制体的力作用在控制体的力 与面积成正比的表面力与面积成正比的表面力 与容积成正比的体积力与容积成正比的体积力 xx xz xy yx yy yz zz zy zx y x z 控制体表面应力分布控制

6、体表面应力分布 zzzz yyyy xxxx p p p 考虑表面对称性，共有九个应力分量考虑表面对称性，共有九个应力分量 （1）控制容积在）控制容积在x方向受到的表面力方向受到的表面力 dydz xx xy dxdz yx dxdy zx y x z dxdydz x dydz xx xx dzdxdy z dxdy zx zx dydxdz y dxdz yx yx x方向受到的净表面力方向受到的净表面力 zyx zx yx xx 作用在控制体作用在控制体x方向的力方向的力 （2）控制容积体积力）控制容积体积力 重力重力 离心力离心力 磁场力磁场力 电场力电场力 zz yy xx gB g

7、B gB 体积力仅为重力时体积力仅为重力时 x方向的动量守恒方程方向的动量守恒方程 依据牛顿第二定律依据牛顿第二定律 x zx yx xx B zyxz uw y uv x uu 2 x zx yx xx B zyxz u w y u v x u u u 0 z w y v x u D D y方向动量方程方向动量方程 y zyyyxy B zyxz v w y v v x v u v z方向动量方程方向动量方程 z zz yz xz B zyxz w w y w v x w u w 张量形式张量形式 i j ji i B xD Du NavierStokes方程方程 动量方程无法求解，需引入应

8、力与速度的关系式，方动量方程无法求解，需引入应力与速度的关系式，方 程称为程称为NavierStokes方程。方程。 宾厄姆（如牙膏） 、流沙）胀流型（如淀粉水溶液 非牛顿流体 间存在简单的线性关系牛顿流体：应力与应变 流体 x v y u yxxy x w z u xzzx y w z v zyyz z w y v x u z w p z w y v x u y v p z w y v x u x u p zz yy xx 2 2 2 :粘性系数粘性系数 :第二粘性系数第二粘性系数 牛牛 顿顿 体体 3 2 张量表示张量表示 i i ij i j j i ijij x u x u x u p

9、 3 2 zyxji ji ji ij , 1 0 若流体密度为常数若流体密度为常数 i j j i ijij x u x u p NavierStokes方程方程 x B z u x w zx v y u y divV x u xx p D Du 3 2 2 y B y w z v z divV y v yx v y u xy p D Dv 3 2 2 z BdivV z w zy w z v yz u x w xz p D Dw 3 2 2 为常数的为常数的NavierStokes方程方程 x B x divV z u y u x u x p D Du 3 1 2 2 2 2 2 2 x

10、B y divV z v y v x v y p D Dv 3 1 2 2 2 2 2 2 z B z divV z w y w x w z p D Dw 3 1 2 2 2 2 2 2 ， 为常数的为常数的NavierStokes方程方程 x B z u y u x u x p D Du 2 2 2 2 2 2 x B z v y v x v y p D Dv 2 2 2 2 2 2 z B z w y w x w z p D Dw 2 2 2 2 2 2 工程中的不可压缩流体工程中的不可压缩流体 Tpf, dp p dT T d T p , 0, 0 T p pT 一般而言一般而言 足够小

11、足够小ddpdT, 视为不可压缩流体视为不可压缩流体 3. 3. 能量方程能量方程 控制容积的能量守恒法则控制容积的能量守恒法则 单位时间控制容积内的单位时间控制容积内的 流体与外界的净换热量流体与外界的净换热量 单位时间控制容积内的流单位时间控制容积内的流 体与外界的净功量交换体与外界的净功量交换 单位时间控制容积内单位时间控制容积内 流体能量的变化流体能量的变化 Q W E 净换热量净换热量 Q SourceRadiationfluxConduction QQQQQ 净导热量净导热量 净辐射换热量净辐射换热量 净热对流量净热对流量 内热源内热源 Q dxdydz x T k x Q ii

12、Conduction 净导热量净导热量 dxdydzSQ Source dxdydzqQ RRadiation 净辐射换热量净辐射换热量 内热源内热源 对流方式与外界的净换热量对流方式与外界的净换热量 Convection Q dxdydzeu x eudydzdxeudydz x eudydz x方向的净流入能量方向的净流入能量 dxdydzew z ev y eu x Q Convection x, y, z方向的净流入能量方向的净流入能量 E 能量的变化能量的变化 edxdydzE 磁场能 动能 内能 e 2 222 wvu Ue 净功量净功量 W 表面应力做功表面应力做功 体积力做功体

13、积力做功 dxdydz z w y w x w dxdydz z v y v x v dxdydz z u y u x u W zz yz xz zyyyxy zx yx xx Surface dxdydz z w z v z u y w y v y u x w x v x u dxdydz zyx w zyx v zyx u W xzzyzxyzyyyxxzxyxx zz yz xz zyyyxy zx yx xx Surface D Du u g D Dv v D Dw w gy wvu D D gy D D D w D D v D D u D 2 222 222 222 前九项为前九项为 dxdydz zyx w zyx v zyx u zz yz xz zyyyxy zx yx xx x zx yx xx B zyxz u w y u v x u u u 后九项为：后九项为： Vpdiv 粘性耗散粘性耗散 Vpdiv 膨胀或压缩功膨胀或压缩功 克服由于变形产生的粘性应力做的功，转变为热的形式。克服由于变形产生的粘性应力做的功，转变为热的形式。 2 2 22 222 div 2 V z u x w z v y w y u x v x z x v x u 法向应力法向应力 切向应力切向应