寿险精算现值保险精算课程讲义PPT学习教案

1、会计学1 寿险精算现值保险精算课程讲义寿险精算现值保险精算课程讲义 保费是投保人购买保险产品支付的价格，它是由保险公司的 精算师根据保险产品的成本、利润目标、市场竞争因素等制 定的。理论上，保险费又称为总保费或毛保费，可以分为净 保费和附加保险费两部分。 净保费：补偿保单所承诺的赔付和给付责任必需的缴费部分 ； 附加保险费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用需 要 的缴费部分。 主要内容： 寿险精算现值 生存年金精算现值 均衡净保费 第1页/共29页 第2页/共29页 1、终身寿险、终身寿险 . x A用表示终身寿险的精算现值 11 00 1 0 / 1 . kx kx xx kxx kx

2、 kk k xxk k Avdlvdl v x Avq 其中 实质上是一个有限的数。 或 第3页/共29页 从概率的角度来看，我们可以得出这样的结论： 1 1 11 1 0 1 0 , : , :. . , . K K KK kxx kxk k xxk k x k xxx k k xK xKx Zv KbZbv Z KP Kkpqq AE Zvq l l Avd 设的整值余寿为简记为则对的赔付款的现值就 是一个随机变量. 更一般 如果赔付额也依赖于余寿以表示 则. 赔付现值的随机变量 的期望值就是保险的精算现值. 的概率分布函数为 故 在上式两边同乘得到 给出直观解释 第4页/共29页 0 1

3、 0 ,10 ,1 10 11 0 1 10 x xx xx t t x xx xx t t x x x Dv lx NDx Cvdxx MCx M A D 引入转换函数： 岁存活人数每人 单位元在 岁的现值； 从 岁起到生命最大值岁上存活 人每人每年 单位元赔付在 岁的现值。 ，岁死亡的人数每人 单位元赔 付在 岁的现值； ，从 岁起到生命最大值岁上每人 单位元赔付在 岁的现值。 则 第5页/共29页 22 212122 00 2 2 , Var Var kk xxxkk kk xx Z ZE ZE Z AE Zvqeq ZAA Z 对于赔付现值随机变量计算方差： 它相当于以计算趸缴净保费息

4、力的两倍计算的趸缴净保费。 的方差反映赔付现值随机变量的变动程度，用于衡量保险公司 承担的风险赔付程度。 2、定期寿险、定期寿险 第6页/共29页 2 11 1 : 12 11 : 2 1 11 : 2 101 11 11 00 x n xxx n xx x n n xxxx n x n n xxx n x n x n xxnx nn tt xx tt tt xl vdv dv d xlA l A lvdv dv d vdv dv d A l v qvqvq vqvd 假设在 岁时有 人参加定期寿险，保险人给付的所 有保险金的现值为： 岁的 人共趸缴净保费为，由平衡原理，有： 所以： 1 1

5、0 00 / 11 () n x tx xx tx t x tx n txx n tt xx lvdl v CCMM DD 第7页/共29页 从概率的角度来看，我们的结论： 1 1 11 : 0 1 2 2121121 : 0 1, : 0,1,.,1 0,1,. . Var, K n k xk x n k n k xk x nx nx n k xx vKn Z kn n AE Zvq Z ZAAwhereAeq 设的 单位元赔付n年定期寿险 则对的赔付款的现值随 机变量 . 故 的方差为： 第8页/共29页 3、两全寿险、两全寿险 两全寿险是定期寿险和生存保险的合险。对(x)的1单 位元n年

6、两全寿险，是对（x）的n年定期寿险和n年纯 生存保险的合险。 后者是以n年期满被保险人仍然存活为给付条件的 生存保险，其现值随机变量为： 1 : 1 : ,1,. 00,1,.,1 . n x n n nx x n vKn n Z Kn A AE Zvp 其精算现值以表示，有 第9页/共29页 1 : 1 111 : 0 0,1,.,1 ,1,. K n x n n kn xnxk x nx nx n k xx nx n xx nn vKn Z vKn n A AAAvqvp MMD DD 把 年定期寿险与 年纯生存保险组合在一起，两全保险 现值随机变量为： 其精算现值以表示，有 两全寿险现值

7、随机变量可以分解为定期寿险现值随机变量和 纯生存保险现值随机变量两部分。 第10页/共29页 1 2 12 12 1212 121212 121212 12 1212 2 2 222 2 , , VarVar Var+Var2Cov Cov 0,0, VarVar Var+Var2 Var n n Z Zn Zn ZZZ ZZZ ZZZZ ZZE Z ZE ZE Z ZZZ ZE Z Z ZZZ ZZE ZE Z whereZE ZE Z vp 设 为两全寿险现值随机变量， 为 年定期寿险现值随机变量 为 年纯生存保险现值随机变量 则 又 和不会同时发生，即故 2 2 . nn xnxnxnx

8、 vpvp q 第11页/共29页 4、延期、延期n年的终身寿险年的终身寿险 1 11 : 1 00,1,.,1 ,1,. xn K k x n xxxxnkn x n k n x n xnxx nn nAxn Kn Z vKn n M AE ZvqAAA D Avp A 延期 年的终身寿险：用表示，某人 岁开始投保，延期 年 后死亡年末给付 单位元的延期终身寿险的现值。 现值随机变量为： 或者 证明： 给出实际意义的解释。 第12页/共29页 5、延期、延期m年的年的n年定期寿险年定期寿险 1 1 111 1 : 1 : 1 00,1,.,1 ,1,.,1 xm n K m n k x mx

9、 m n xxm nk x m nx m k m x xm nm x n mAx m Km Z vKm mmn MM AE ZvqAA D AA 延期 年的定期n年寿险：用表示，某人 岁开始投保， 延期 年后n年内死亡年末给付 单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为： 注：有的书上记为。 第13页/共29页 例1 某人在25岁投保了定期35年的人寿保险， 保险金于 死亡年末给付，利率为0.06，问（1）若保险金额为 100000元，求起趸缴净保费。 （2）若此人投保一次缴付1500元的净保费，求其保 险金额是多少？ 例2 在例1中，把35年的定期寿险改成终身寿险，其他情 况不变。（1）若保险

10、金额100000元，求其趸缴净保费； （2）若词人投保时依次缴付1500元的净保费，其保险金 额是多少？ 例3 在例1中，把15年的定期期限改成延期终身寿险，其 他不变。若保险金额是20000元，求其应付的趸缴净保费 是多少元？ 第14页/共29页 6、标准变额寿险 1 1 1 1 1 0 :, ,0,1,. . K K K k kxk k b ZbvK AE Zbvq 在承接人寿保险业务的实际工作中，经常会遇到保险金额随 着保险时期的不同而变化的寿险。假设保险金的给付还是在死亡 年末进行，则对随不同时期而给付的保险金的寿险现值，推理如 下： 如果赔付额随机变量为其现值为 趸缴净保费现值为：

11、本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。 （1）递增型人寿保险的趸缴净保费 （2）递减型人寿保险的趸缴净保费 第15页/共29页 （1）标准递增终身寿险）标准递增终身寿险 1 0 1 00 12 0000 (1) 11 (1)(1) 11 x t xt x t x t x tx t x tt xx x txtxtx t tttt xx x IA IAtvq tvdtC v lD CCCM DD 某 岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单 位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元 用表示这种保险的现值，则 引进转换 0 x xx t x t x R R

12、MIA D 函数：则 第16页/共29页 1 00 (1) k xxk x kk IAE Zkvqk A 根据概率的知识，我们还可以得到 （2）定期递增寿险）定期递增寿险 1 : 11 1 1 : 00 1 0 1 0 1 (1)(1) 1 x n nn k xx kk x n kk x n x kx n k x n xx nx n xk n k k x IA IAkvqkC D MM D RRnM A D 用表示趸缴净保费，则 第17页/共29页 从标准递增定期寿险的意义出发，可以得到另外两个不同 的公式： 1 1 : 0 1 1 1 : 1 n xxkn x n k n x nx n kx

13、 n k IAAn A IAnAA （3）n年标准递增的两全寿险年标准递增的两全寿险 : 1 1 : x n x nx nx n IAnnn IAIAnA 精算现值以表示，它是 年定期递增寿险精算现值与 年 单 位元纯生存保险现值之和，有 第18页/共29页 （4） 等值递增等值递增n年的终身寿险的趸缴净保费年的终身寿险的趸缴净保费 1 1 00 (1) (1) n x nxnx x t xt nx t n n t xx n tn t tt x n x xx n n x x IA IAIAIA IAtnvq tvqM R D RR IA D 用表示趸缴净保费，则 其中， 所以，我们得到： 第1

14、9页/共29页 （5）递减型人寿保险的趸缴净保）递减型人寿保险的趸缴净保 费费 1 : 1 231 1221 : 1231 1221 1221 1 (1)(2)2 1 (1)(2)2 1 (1)(2)2 xn nn xxxx nx n xn x xxxx nx n xxxx nx n x xxxx nx n x DA DAnvdnv dnv dv dv d l nvdnvdnvdvdvd D nCnCnCCC D 用表示这种寿险的趸缴净保费。 12 12 1 1 11 : 0 1 () ()() 1 () xxxxxx n x xxxx n x n xxx n xn k k x MMMMMM

15、D nMMMM D nMRR A D 第20页/共29页 11 1 : 11 1 : (1) (1) x nx nx n x nx nx n DAIAnA DAnAIA 可以得到： 即 Eg6.4 某人在40 岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金 在死亡年末赔付，根据中国人寿保险业经验生命表（1990- 1993）（男女混合）和利率5%计算趸缴净保费。 Eg6.5 某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设 他的生存函数表示为S(x)=1-x/105，赔付在死亡年末支付，利 率为10%，求这一保单的精算现值。 第21页/共29页 1、终身寿险、终身寿险 0 22 22 22

16、 0 ,0 ,1 Var T T T xx t t xxx t xx t xxx t Zb vT b Tp AE Zv pdt ZZE ZE ZAA whereAepdt t t t 赔付现值随机变量为： 表示死亡时赔付额函数。 的概率密度为对于 单位元终身寿险精算现值，我们表示为： 的方差为： 第22页/共29页 积分形式在不知道生存函数下，很难处理。在实际中，通常 只有生命表提供的整数年龄上的死亡率，因此需要做出如下 变换： 1 0 0 1 0 0 1 11 0 0 1 11 0 0 01 . k tt xxx txx t k k k s k sxx k s k ks kxsx kx k

17、s k x kx k sx ks ks xkxx kx k Av pdtv pdt vpds vpvpds pqs i thenAvpqvdsA tt 在死亡均匀分布假设下，有 第23页/共29页 2、定期寿险、定期寿险 1 : 0 22 2211 : 212 : 0 11 : 0 00 Var T n t xx t x n x nx n n t xx t x n x nx n vtn Z t AE Zv pdt ZZE ZE ZAA whereAepdt i AA t t 的方差为： 计算后得， 第24页/共29页 3、两全寿险、两全寿险 11 : 111 : 1 x nx nx n x n

18、x nx nx nx n AAA ii AAAAA 在死亡均匀分布假设下，有 4、其他变额寿险、其他变额寿险 0 1 1 : 0 1 1 : 0 ()( )1 ()1()1 ()()()()( ) tt xtx x txxtx x tnn x n n tt tx x txtx x tn xnxn n n t xxxtx x tn nxnxn ii Av pu dtA IAE ztv pu dtIA i IAtv pu dtIAIAtv pu dt i I AIAIADAE znt v pu dtDA ， ，？ ？， 第25页/共29页 1 11 00 1 11 11 1 111 0 : : / xxxx tt xx txtxx t tt tt xtxx txxtxx t tt k xxkxx kxxx k AvqvAp Avdlvp q vqvp qvqvpvpq vqvpvpqvqvp A 终身寿险的现值之间有这样的递推公式 证明 实际意义 定理: 的解释: 第26页/共29页 11 11 1 1 0 1 10,1,2, 1 xxxx x kx kx kx k k k x