2021年中考数学压轴题考点训练二次函数的存在性问题pdf含解析20210207196.pdf
2021年中考数学压轴题考点训练pdf含解析打包18套
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2021年中考数学压轴题考点训练pdf含解析打包18套,文本
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【考考点点 1 1】二二次次函函数数与与相相似似三三角角形形问问题题【例例 1 1】已已知知抛抛物物线线23yaxbx与与 x x 轴轴分分别别交交于于(3,0)a ，(1,0)b两两点点，与与 y y 轴轴交交于于点点 cc（1 1）求求抛抛物物线线的的表表达达式式及及顶顶点点 d d 的的坐坐标标；（2 2）点点 f f 是是线线段段 a ad d 上上一一个个动动点点如如图图 1 1，设设afkad，当当 k k 为为何何值值时时，2cfad1. .如如图图 2 2，以以 a a，f f，oo 为为顶顶点点的的三三角角形形是是否否与与abc相相似似？若若相相似似，求求出出点点 f f 的的坐坐标标；若若不不相相似似，请请说说明明理理由由【答答案案】 （1）223yxx ，d 的坐标为( 1,4)； （2）12k ；以 a，f，o 为顶点的三角形与abc相似，f 点的坐标为6 18,55或(2,2)【解解析析】(1)将 a、b 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点d( 1,4)；(2)由 a、c、d 三点的坐标求出ac3 2，dc2，ad2 5，可得acd为直角三角形，若1cfad2，则点 f 为 ad 的中点，可求出 k 的值；由条件可判断dacobc， 则oafacb， 若以 a， f， o 为顶点的三角形与abc相似，可分两种情况考虑：当aofabc或aofcab45时，可分别求出点 f 的坐标【详解】(1)抛物线2yaxbx3过点a(3,0)，b(1,0)，933030abab，解得：12ab ，抛物线解析式为2yx2x3 ；22yx2x3x14 ，顶点 d 的坐标为( 1,4)；(2)在rtaoc中，oa3，oc3，222acoaoc18，d1,4，c 0,3，a3,0，222cd112，222ad2420，222accdad，acd为直角三角形，且acd90，1cfad2，f 为 ad 的中点，af1ad2，1k2；在rtacd中，dc21tanacdac33 2，在rtobc中，ob1tanocboc3，acdocb，oaoc，oacoca45，faoacb，若以 a，f，o 为顶点的三角形与abc相似，则可分两种情况考虑：当aofabc时，aofcba，of bc，设直线 bc 的解析式为ykxb，03kbb，解得：33kb ，直线 bc 的解析式为y=3x+3，直线 of 的解析式为y=3x，设直线 ad 的解析式为y=mx+n，430kbkb ，解得：26kb，直线 ad 的解析式为y=2x6，263yxyx ，解得：65185xy ，6 18f,55当aofcab45时，aofcab，cab45，ofac，直线 of 的解析式为y=x，26yxyx ，解得：22xy ，f2,2，综合以上可得 f 点的坐标为6 18,55或(2,2)【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题【变式【变式 1-11-1】如图，抛物线如图，抛物线2y2axxc经过经过( 1,0)a ，b两点，且与两点，且与y轴交于点轴交于点(0,3)c，抛，抛物线与直线物线与直线1yx 交于交于a，e两点两点（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）坐标轴上是否存在一点坐标轴上是否存在一点q，使得使得aqe是以是以ae为底边的等腰三角形？若存在为底边的等腰三角形？若存在，请直接写请直接写出点出点q的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由（3 3）p点在点在x轴上且位于点轴上且位于点b的左侧的左侧，若以若以p，b，c为顶点的三角形与为顶点的三角形与abe相似相似，求点求点p的坐标的坐标【答案【答案】（1）2yx2x3 ；（2） 存在，4 0q，或04， 理由见解析；（3）3p05，或9p02，【解析【解析】 （1）将 a、c 的坐标代入2y2axxc求出 a、c 即可得到解析式；（2）先求出 e 点坐标，然后作 ae 的垂直平分线，与 x 轴交于 q，与 y 轴交于 q，根据垂直平分线的性质可知 q、与 a、e，q与 a、e 组成的三角形是以 ae 为底边的等腰三角形，设q 点坐标(0,x)，q坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据 a、e 坐标，求出 ae 长度，然后推出bae=abc=45，设p0m，由相似得到pbabbcae或pbaebcab，建立方程求解即可【详解】 （1）将( 1,0)a ，(0,3)c代入2y2axxc得：203acc，解得13ac 抛物线解析式为2y23 xx（2）存在，理由如下：联立y1x 和2yx2x3 ，2y123xyxx ，解得10xy 或45xy e 点坐标为(4,-5)，如图，作 ae 的垂直平分线，与 x 轴交于 q，与 y 轴交于 q，此时 q 点与 q点的坐标即为所求，设 q 点坐标(0,x)，q坐标(0,y)，由 qa=qe，qa= qe 得：221405 xx，22220 10045yy解得4x ，4y 故 q 点坐标为4 0，或04，（3）( 1,0)a ，45e，221 45 =5 2 ae，当2230xx时，解得1x 或 3b 点坐标为(3,0)，3oboc45abc，4ab ，3 2bc ，由直线1yx 可得 ae 与 y 轴的交点为(0,-1)，而 a 点坐标为(-1,0)bae=45设p0m，则3mbp ，pbc和abe相似pbabbcae或pbaebcab，即343 25 2m或35 243 2m解得35m 或92m ，3p05，或9p02，【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键【变式【变式 1-21-2】如图如图，已知抛物线已知抛物线1(2)()yxxmm (m(m0)0)与与 x x 轴相交于点轴相交于点 a a，b b，与与 y y 轴相交轴相交于点于点 cc，且点，且点 a a 在点在点 b b 的左侧的左侧. .（1 1）若抛物线过点（）若抛物线过点（2 2，2 2） ，求抛物线的解析式；，求抛物线的解析式；（2 2）在（）在（1 1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点 h h，使，使 ah+chah+ch 的值最小，若存在的值最小，若存在，求出点求出点 h h 的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；（3 3）在第四象限内，抛物线上是否存在点）在第四象限内，抛物线上是否存在点 mm，使得以点，使得以点 a a，b b，mm 为顶点的三角形与为顶点的三角形与acacb b相似？若存在，求出相似？若存在，求出 mm 的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由. .【答案【答案】 （1）211242yxx ； （2）点 h 的坐标为（1，32） ； （3）当 m=22 2时，在第四象限内抛物线上存在点 m，使得以点 a，b，m 为顶点的三角形与acb 相似.【解析】【解析】分析：（1）把点（2，2）代入1(2)()(0)yxxmmm 中，解出 m 的值即可得到抛物线的解析式；（2）由（1）中所得解析式求出点 a、b、c 的坐标，由题意可知，点 a、b 关于抛物线的对称轴对称，这样连接 bc 与对称轴的交点即为所求的点 h，根据 b、c 的坐标求出直线 bc 的解析式即可求得点 h 的坐标；（3）由解析式1(2)()(0)yxxmmm 可得点 a、b、c 的坐标分别为（-2，0） 、 （m，0）和（0，2） ，如下图，由图可知acb 和abm 是钝角，因此存在两种可能性：当acbabm，acbmba，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.详解：（1）把点（2，2）代入抛物线，得 2=1222mm.解得 m=4.抛物线的解析式为2111yx2x4xx2442 .（2）令211yxx2042 ，解得12x2x4 ，.则 a（-2，0） ，b（4，0）.对称轴 x=-121124 .211yxx242 中当 x=0 时，y=2，点 c 的坐标为（0，2）.点 a 和点 b 关于抛物线的对称轴对称，连接 bc 与对称轴的交点即为点 h，此时 ah+ch 的值最小，设直线 bc 的解析式为 y=kx+b，把 b（4，0） ，c（0，2）代入得：402kbb，解得：122kb ，直线 bc 的解析式为 y=1x22.当 x=1 时，y=1122 =32.点 h 的坐标为（1，32）.（3）假设存在点 m，使得以点 a，b，m 为顶点的三角形与acb 相似.如下图，连接 ac，bc，am，bm，过点 m 作 mnx 轴于点 n，由图易知，acb 和abm 为钝角，当acbabm 时，有acab=abam，即2abacam.a（-2，0） ，c（0，2） ，即 oa=oc=2，cab=bam=o45.mnx 轴，bam=amn=45，an=mn.可设 m 的坐标为： （x，-x-2） （x0） ，把点 m 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=1x2xmm.化简整理得：x=2m，点 m 的坐标为： （2m，-2m-2）.am=222m22m22 2 m 1 .2abacam，ac=2 2，ab=m+2，2m22 22 2 m1.解得：m=22 2.m0，m=22 2.当acbmba 时，有abma=cbba，即2abcbma.cba=bam，anm=boc=o90，anmboc，mnan=cobo.bo=m，设 on=x，2mnx=2m，即 mn=2m（x+2）.令 m（x，2x2m） （x0） ，把 m 点的坐标代入抛物线的解析式，得2x2m=1x2xmm.解得 x=m+2.即 m（m+2，2m4m）.2abcbma，cb=2m4anm4，mn=2m4m，222224 m4m2m4m4m.化简整理，得 16=0，显然不成立.综上所述，当 m=22 2时，在第四象限内抛物线上存在点 m，使得以点 a，b，m 为顶点的三角形与acb 相似.点睛： 本题是一道二次函数和几何图形综合的题目， 解题的要点有以下两点： （1） “知道点 a、b 是关于抛物线的对称轴对称的，连接 bc 与对称轴的交点即为所求的点 h”是解答第 2 小题的关键； （2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道acb 和abm 为钝角，结合题意得到存在： 当acbabm， acbmba 这两种可能情况”是解答第 3 小题的关键.【考点【考点 2 2】二次函数与直角三角形问题】二次函数与直角三角形问题【例【例 2 2】如图如图，抛物线抛物线20yaxbxc a的顶点坐标为的顶点坐标为2, 1，图象与图象与y轴交于点轴交于点0,3c，与与x轴交于轴交于a、b两点两点 1求抛物线的解析式；求抛物线的解析式； 2设抛物线对称轴与直线设抛物线对称轴与直线bc交于点交于点d，连接，连接ac、ad，求，求acd的面积；的面积； 3点点e为直线为直线bc上的任意一点上的任意一点， 过点过点e作作x轴的垂线与抛物线交于点轴的垂线与抛物线交于点f， 问是否存在点问是否存在点e使使def为直角三角形？若存在，求出点为直角三角形？若存在，求出点e坐标，若不存在，请说明理由坐标，若不存在，请说明理由【答案】【答案】(1)22(2)143yxxx ;(2)2;(3)见解析.【解析【解析】 （1）可设抛物线解析式为顶点式，把 c 点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得 a、b 坐标，利用待定系数法可求得直线 bc 解析式，利用对称轴可求得 d 点坐标，则可求得 ad2、ac2和 cd2，利用勾股定理的逆定理可判定acd 为直角三角形，则可求得其面积；（3）根据题意可分dfe=90和edf=90两种情况，当dfe=90时，可知 dfx 轴，则可求得 e 点纵坐标， 代入抛物线解析式可求得 e 点坐标； 当edf=90时， 可求得直线 ad解析式， 联立直线 ac 和抛物线解析式可求得点 e 的横坐标， 代入直线 bc 可求得点 e 的坐标【详解】解： 1抛物线的顶点坐标为2, 1，可设抛物线解析式为2(2)10ya xa，把0,3c代入可得2(02)13a ，解得1a ，抛物线解析式为22(2)143yxxx ； 2在243yxx中，令0y 可得2430xx，解得1x 或3x ，1,0a，3,0b，设直线bc解析式为3ykx，把3,0b代入得：330k ，解得1k ，直线bc解析式为3yx ，由 1可知抛物线的对称轴为2x ，此时231y ，2,1d，22ad ，210ac ，28cd ，222adcdac，acd是以ac为斜边的直角三角形，1122 2222acdsad cd； 3由题意知/ /efy轴，则90fedocb ，def为直角三角形，分90dfe和90edf两种情况，当90dfe时，即/ /dfx轴，则d、f的纵坐标相同，f点纵坐标为1，点f在抛物线上，2431xx，解得22x ，即点e的横坐标为22，点e在直线bc上，当22x 时，312yx ，当22x 时，312yx ，e点坐标为22,12或22,12；当90edf时，1,0a，2,1d，直线ad解析式为1yx，直线bc解析式为3yx ，adbc，直线ad与抛物线的交点即为e点，联立直线ad与抛物线解析式有2431xxx，解得1x 或4x ，当1x 时，32yx ，当4x 时，31yx ，e点坐标为1,2或4, 1，综上可知存在满足条件的点e，其坐标为22,12或22,12或1,2或4, 1【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.【变式【变式 2-12-1】如图如图，经过经过x轴上轴上( 10)(3 0)ab ，两点的抛物线两点的抛物线2(1)4ym xm（0m）交交y轴轴于点于点c，设抛物线的顶点为，设抛物线的顶点为d，若以，若以db为直径的为直径的gg 经过点经过点c，求解下列问题：，求解下列问题：（1 1）用含）用含m的代数式表示出的代数式表示出cd，的坐标；的坐标；（2 2）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（3 3）能否在抛物线上找到一点能否在抛物线上找到一点q，使使bdq为直角三角形？如能为直角三角形？如能，求出求出q点的坐标点的坐标，若不能若不能，请说明理由。请说明理由。【答案【答案】 （1）点c的坐标为(03 )cm， ,点d的坐标为(14 )m，； （2） 抛物线的解析式为2yx2x3 ； （3）满足题意的q点有三个：(0 3)，、3 92 4，和1 1524，【解析】【解析】【试题分析】（1）214ym xm是顶点式，则顶点d的坐标为03cm，,当 x=0,则 y=-3m,即点c的坐标为03cm，；（2）连接 cd 、 bc，过点d作dey轴于e，如图所示:根据直径所对的圆周角是直角，得90dcb,出现“一线三等角模型”，得deccob根据相似三角形的性质得：deeccoob133mm即，解得1m ，则抛物线的解析式为223yxx .（3）分三种情况分类讨论：90bqd（图）显然q与c点重合，点q坐标为03q，；dbq=90（图）作qfy轴于f，dhx轴于h，根据两角对应相等，两三角形相似，得rtrtdhbbfq，dhhbbffq，则dhfqbf hb，由于点q坐标223kkk，则24232 3kkk，解得：32k 由32k 得q坐标：3924q，；bdq=90（图）延长dq交y轴于m，作dey轴于e，dhx轴于h,同理可证：demdhb，则deemdhhb，即142em,得12em ，点m的坐标为702， 设dm所在的直线解析式为 y=kx+b,用待定系数法， 把 m702，和 d （1,4）代入得：724bkb解得：17,22kb则直线 dm 的解析式为1722yx,把1722yx代入223yxx 得：22310xx ，解得，12x ，最后把12x 代入1722yx得154y ,点q的坐标为1 1524，综上述，q点有三个：0 3，、3 92 4，和1 1524，【试题解析】（1）y214m xm是顶点式点d的坐标为14m，当 x=0 时，y= -3m点c的坐标为03cm，（2） 连接 cd 、 bc，过点d作dey轴于e，如图所示：bd 是g 的直径dcb=090ecd+bco=090ecd+edc=090bco=edcdec=boc=090deccobdeeccoob133mm21m1m 0m1m 抛物线的解析式为223yxx （3）能在抛物线上找到一点 q，使bdq 为直角三角形很明显，点c即在抛物线上，又在g 上，90bcd，这时q与c点重合点q坐标为03q，如图，若dbq为90，作qfy轴于f，dhx轴于h同理可证：rtrtdhbbfqdhhbbffqdhfqbf hb点q坐标223kkk，24232 3kkk化简得：22390kk,解得：3k （不合题意，舍去） ，32k 由32k 得q坐标：3924q，若bdq为90,如图，延长dq交y轴于m，作dey轴于e，dhx轴于h,同理可证：demdhbdeemdhhb则142em,得12em ，点m的坐标为702，设dm所在的直线解析式为 y=kx+b,把 m702，和 d（1,4）代入得：724bkb解得：17,22kb直线 dm 的解析式为1722yx,把1722yx代入223yxx 得：22310xx 解为：1x （不合题意，舍去） ，12x ，把12x 代入1722yx得154y ,点q的坐标为1 1524，综合上述，满足题意的q点有三个：0 3，、3 92 4，和1 1524，【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与坐标轴的交点，一线三等角证相似， 并且多次运用相似三角形的对应边成比例， 直角三角形的确定 （3 种情况分类讨论） ，难度较大.【变式【变式 2-22-2】已知抛物线已知抛物线221yxxm与与x轴只有一个交点轴只有一个交点，且与且与y轴交于轴交于a点点，如图如图，设设它的顶点为它的顶点为 b b（1 1）求）求m的值；的值；（2 2）过）过 a a 作作 x x 轴的平行线，交抛物线于点轴的平行线，交抛物线于点 cc，求证：，求证：abcabc 是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；（3 3）将此抛物线向下平移将此抛物线向下平移 4 4 个单位后个单位后，得到抛物线得到抛物线y，且与且与 x x 轴的左半轴交于轴的左半轴交于 e e 点点，与与 y y 轴轴交于交于 f f 点，如图请在抛物线点，如图请在抛物线y上求点上求点 p p，使得，使得efp是以是以 efef 为直角边的直角三角形？为直角边的直角三角形？【答案【答案】 （1） m = 2； （2） 证明见解析； （3） 满足条件的 p 点的坐标为 （103，139） 或 （73，209） 【解析】【解析】试题分析： （1）根据抛物线与 x 轴只有一个交点可知的值为 0，由此得到一个关于 m 的一元一次方程，解此方程可得 m 的值；（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据 a 点在 y 轴上求出 a 点坐标，再求 c 点坐标，根据三个点的坐标得出abc 为等腰直角三角形；（3）根据抛物线解析式求出 e、f 的坐标，然后分别讨论以 e 为直角顶点和以 f 为直角顶点 p的坐标试题解析： （1）抛物线 y=x2-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点，=（-2）2-41（m-1）=0，解得，m=2；（2）由（1）知抛物线的解析式为 y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点 b（1，0） ，当 x=0 时，y=1，得 a（0，1） 由 1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或 x=2，所以 c 点坐标为： （2，1） 过 c 作 x 轴的垂线，垂足为 d，则 cd=1，bd=xd-xb=1在 rtcdb 中，cbd=45，bc=2同理，在 rtaob 中，ao=ob=1，于是abo=45，ab=2abc=180-cbd-abo=90，ab=bc，因此abc 是等腰直角三角形；（3）由题知，抛物线 c的解析式为 y=x2-2x-3，当 x=0 时，y=-3；当 y=0 时，x=-1 或 x=3，e（-1，0） ，f（0，-3） ，即 oe=1，of=3第一种情况：若以 e 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 p1（x1，y1） ，作 p1mx 轴于 mp1em+oef=efo+oef=90，p1em=efo，得 rtefortp1em，则113pmoeemof，即 em=3p1mem=x1+1，p1m=y1，x1+1=3y1由于 p1（x1，y1）在抛物线 c上，则有 3（x12-2x1-3）=x1+1，整理得，3x12-7x1-10=0，解得，x1103，或 x2=-1（舍去）把x1103代入中可解得，y1=139p1（103，139） 第二种情况：若以 f 点为直角顶点，设此时满足条件的点为 p2（x2，y2） ，作 p2ny 轴于 n同第一种情况，易知 rtefortfp2n，得213fnoep nof，即 p2n=3fnp2n=x2，fn=3+y2，x2=3（3+y2）由于 p2（x2，y2）在抛物线 c上，则有 x2=3（3+x22-2x2-3） ，整理得 3x22-7x2=0，解得 x2=0（舍）或x273把x2103代入中可解得，y2209p2（73，209） 综上所述，满足条件的 p 点的坐标为： （103，139）或（73，209）.【考点【考点 3 3】二次函数与等腰三角形问题】二次函数与等腰三角形问题【例【例 3 3】如图如图，已知已知：二次函数二次函数 y yx x2 2+bx+c+bx+c 的图象与的图象与 x x 轴交于轴交于 a a，b b 两点两点，其中其中 a a 点坐标为点坐标为（3 3，0 0） ，与，与 y y 轴交于点轴交于点 cc，点，点 d d（2 2，3 3）在抛物线上）在抛物线上（1 1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式；（2 2）抛物线的对称轴上有一动点）抛物线的对称轴上有一动点 p p，求出，求出 pa+pdpa+pd 的最小值；的最小值；（3 3）若抛物线上有一动点）若抛物线上有一动点 mm，使，使abmabm 的面积等于的面积等于abcabc 的面积，求的面积，求 mm 点坐标点坐标（4 4）抛物线的对称轴上是否存在动点）抛物线的对称轴上是否存在动点 qq，使得，使得bcqbcq 为等腰三角形？若存在，求出点为等腰三角形？若存在，求出点 qq 的的坐标；若不存在，说明理由坐标；若不存在，说明理由【答案【答案】 （1）yx2+2x3； （2）3 2； （3）点 m 的坐标为（17，3） ， （1+7，3） ，（2，3） ； （4）存在；点 q 的坐标为（1，6） ， （1，6） ， （1，0） ， （1，6） ， （1，1） 【解析【解析】 （1）由点 a，d 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 b 的坐标，连接 bd，交抛物线的对称轴于点 p， 由抛物线的对称性及两点之间线段最短可得出此时 pa+pd 取最小值， 最小值为线段 bd的长度，再由点 b，d 的坐标，利用两点间的距离公式可求出 pa+pd 的最小值；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 c 的坐标，设点 m 的坐标为（x，x2+2x-3） ，由abm 的面积等于abc 的面积可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可求出点 m 的坐标；（4）设点 q 的坐标为（-1，m） ，结合点 b，c 的坐标可得出 cq2，bq2，bc2，分 bq=bc，cq=cb 及 qb=qc 三种情况，找出关于 m 的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出点 q 的坐标【详解】解： （1）将 a（3，0） ，d（2，3）代入 yx2+bx+c，得：930423bcbc，解得：23bc ，抛物线的表达式为 yx2+2x3（2）当 y0 时，x2+2x30，解得：x13，x21，点 b 的坐标为（1，0） 连接 bd，交抛物线的对称轴于点 p，如图 1 所示papb，此时 pa+pd 取最小值，最小值为线段 bd 的长度点 b 的坐标为（1，0） ，点 d 的坐标为（2，3） ，bd22( 2 1)( 30) 32，pa+pd 的最小值为 32（3）当 x0 时，yx2+2x33，点 c 的坐标为（0，3） 设点 m 的坐标为（x，x2+2x3） sabmsabc，|x2+2x3|3，即 x2+2x60 或 x2+2x0，解得：x117，x21+7，x32，x40（舍去） ，点 m 的坐标为（17，3） ， （1+7，3） ， （2，3） （4）设点 q 的坐标为（1，m） 点 b 的坐标为（1，0） ，点 c 的坐标为（0，3） ，cq2（10）2+m（3）2m2+6m+10，bq2（11）2+（m0）2m2+4，bc2（01）2+（30）210分三种情况考虑（如图 2 所示） ：当 bqbc 时，m2+410，解得：m16，m26，点 q1的坐标为（1，6） ，点 q2的坐标为（1，6） ；当 cqcb 时，m2+6m+1010，解得：m30，m46，点 q3的坐标为（1，0） ，点 q4的坐标为（1，6） ；当 qbqc 时，m2+4m2+6m+10，解得：m51，点 q5的坐标为（1，1） 综上所述：抛物线的对称轴上存在动点 q，使得bcq 为等腰三角形，点 q 的坐标为（1，6） ， （1，6） ， （1，0） ， （1，6） ， （1，1） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、 两点间的距离公式、 三角形的面积、 等腰三角形的性质以及解一元二次 （或一元一次）方程，解题的关键是： （1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式； （2）利用两点之间线段最短，找出点 p 的位置； （3）利用两三角形面积相等，找出关于 x 的一元二次方程；（4）分 bq=bc，cq=cb 及 qb=qc 三种情况，找出关于 m 的方程【变式【变式 3-13-1】如图，抛物线如图，抛物线32bxaxy与与 x x 轴交于点轴交于点 a a（1 1，0 0）和）和 b b（3 3，0 0） （1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）若抛物线的对称轴交）若抛物线的对称轴交 x x 轴于点轴于点 e e，点，点 f f 是位于是位于 x x 轴上方对称轴上一点，轴上方对称轴上一点，fcfcx x 轴，与对轴，与对称轴右侧的抛物线交于点称轴右侧的抛物线交于点 cc，且四边形，且四边形 oecfoecf 是平行四边形，求点是平行四边形，求点 cc 的坐标；的坐标；（3 3）在在（2 2）的条件下的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点抛物线的对称轴上是否存在点 p p，使使ocpocp 是等腰三角形？若存在是等腰三角形？若存在，请直接写出点请直接写出点 p p 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1）342xxy； （2）c（4，3） ； （3）p（2 21，）或（2 21，）或（2 3+ 21，）或（2 321，） 【解析】【解析】试题分析： （1）把点 a、b 的坐标代入函数解析式，解方程组求出 a、b 的值，即可得解；（2） 根据抛物线解析式求出对称轴， 再根据平行四边形的对角线互相平分求出点 c 的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；（3）设 ac、ef 的交点为 d，根据点 c 的坐标写出点 d 的坐标，然后分o 是顶角，c是顶角，p 是顶角三种情况讨论试题解析： （1）把点 a（1，0）和 b（3，0）代入32bxaxy得，033903baba，解得41ba，所以，抛物线的解析式为342xxy；（2）抛物线的对称轴为直线 x=2，四边形 oecf 是平行四边形点 c 的横坐标是 4，点 c 在抛物线上，334442y，点 c 的坐标为（4，3） ；（3）点 c 的坐标为（4，3） ，oc 的长为 5，点 o 是顶角顶点时，op=oc=5，222epoeop，oe=2212522ep，所以，点 p 的坐标为（2，21）或（2，-21） ；点 c 是顶角顶点时，cp=oc=5，同理求出 pf=21，所以，pe=213，所以，点 p 的坐标为（2，321）或（2，321） ；点 p 是顶角顶点时，点 p 在 oc 上，不存在.综上所述，抛物线的对称轴上存在点 p（2，21）或（2，-21）或（2，321）或（2，321） ，使ocp 是等腰三角形考点：二次函数综合题【变式【变式 3-23-2】如图，抛物线如图，抛物线与直线与直线相交于相交于两点两点，且抛物线经过点且抛物线经过点. .（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）点）点是抛物线上的一个动点（不与点是抛物线上的一个动点（不与点、点、点重合重合） ，过点，过点作直线作直线轴于点轴于点，交直线交直线于点于点. .当当时，求时，求点坐标；点坐标； 是否存在点是否存在点使使为等腰三角形，若存在请直接写出点为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明的坐标，若不存在，请说明理由理由. .【答案【答案】 （1） y=x2+4x+5； （2） p 点坐标为 （2， 9） 或 （6， 7） ； （，） 或 （4+，48）或（4，48）或（0，5） 【解析】【解析】试题分析： （1）由直线解析式可求得 b 点坐标，由 a、b、c 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出 p 点坐标，则可表示出 e、d 的坐标，从而可表示出 pe 和 ed 的长，由条件可知到关于 p 点坐标的方程，则可求得 p 点坐标；由 e、b、c 三点坐标可表示出 be、ce 和 bc 的长，由等腰三角形的性质可得到关于 e 点坐标的方程，可求得 e 点坐标，则可求得 p 点坐标试题解析： （1）点 b（4，m）在直线 y=x+1 上，m=4+1=5，b（4，5） ，把 a、b、c 三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为 y=x2+4x+5；（2）设 p（x，x2+4x+5） ，则 e（x，x+1） ，d（x，0） ，则 pe=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，de=|x+1|，pe=2ed，|x2+3x+4|=2|x+1|，当x2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=1 或 x=2，但当 x=1 时，p 与 a 重合不合题意，舍去，p（2，9） ；当x2+3x+4=2（x+1）时，解得 x=1 或 x=6，但当 x=1 时，p 与 a 重合不合题意，舍去，p（6，7） ；综上可知 p 点坐标为（2，9）或（6，7） ；设 p（x，x2+4x+5） ，则 e（x，x+1） ，且 b（4，5） ，c（5，0） ，be=|x4|， ce=，bc=，当bec 为等腰三角形时，则有 be=ce、be=bc 或 ce=bc 三种情况，当 be=ce 时，则|x4|=，解得 x=，此时 p 点坐标为（，） ；当 be=bc 时，则|x4|=，解得 x=4+或 x=4，此时 p 点坐标为（4+，48）或（4，48） ；当 ce=bc 时，则=，解得 x=0 或 x=4，当 x=4 时 e 点与 b 点重合，不合题意，舍去，此时 p 点坐标为（0，5） ；综上可知存在满足条件的点 p，其坐标为（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5） 考点：二次函数综合题【考点【考点 4 4】二次函数与平行四边形问题】二次函数与平行四边形问题【例【例 4 4】如图如图，抛物线抛物线 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 与与 x x 轴相交于点轴相交于点 a a（3 3，0 0） ，b b（1 1，0 0） ，与与 y y 轴相交于轴相交于（0 0，32） ，顶点为，顶点为 p p（1 1）求抛物线解析式；）求抛物线解析式；（2 2）在抛物线是否存在点在抛物线是否存在点 e e，使使abpabp 的面积等于的面积等于abeabe 的面积？若存在的面积？若存在，求出符合条件的求出符合条件的点点 e e 的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；（3 3）坐标平面内是否存在点）坐标平面内是否存在点 f f，使得以，使得以 a a、b b、p p、f f 为顶点的四边形为平行四边形？直接写为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点出所有符合条件的点 f f 的坐标，并求出平行四边形的面积的坐标，并求出平行四边形的面积【答案【答案】 （1）y=12x2+x32（2）存在， （122，2）或（1+22，2） （3）点 f 的坐标为（1，2） 、 （3，2） 、 （5，2） ，且平行四边形的面积为 8【解析【解析】 （1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，把（3，0） ， （1，0） ， （0，32）代入求出 a、b、c 的值即可； （2）根据抛物线解析式可知顶点 p 的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据 p 点坐标可知 e 点纵坐标，代入解析式求出 x 的值即可；（3）分别讨论 ab 为边、ab 为对角线两种情况求出 f 点坐标并求出面积即可；【详解】 （1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，将（3，0） ， （1，0） ， （0，32）代入抛物线解析式得09a-3b+c0a+b+c32c ，解得：a=12，b=1，c=32抛物线解析式：y=12x2+x32（2）存在y=12x2+x32=12（x+1）22p 点坐标为（1，2）abp 的面积等于abe 的面积，点 e 到 ab 的距离等于 2，设 e（a，2） ，12a2+a32=2解得 a1=122，a2=1+22符合条件的点 e 的坐标为（122，2）或（1+22，2）（3）点 a（3，0） ，点 b（1，0） ，ab =4若 ab 为边，且以 a、b、p、f 为顶点的四边形为平行四边形abpf，ab=pf=4点 p 坐标（1，2）点 f 坐标为（3，2） ， （5，2）平行四边形的面积=42=8若 ab 为对角线，以 a、b、p、f 为顶点的四边形为平行四边形ab 与 pf 互相平分设点 f（x，y）且点 a（3，0） ，点 b（1，0） ，点 p（1，2）3 112200222xy ，x=1，y=2点 f（1，2）平行四边形的面积=1244=8综上所述：点 f 的坐标为（1，2） 、 （3，2） 、 （5，2） ，且平行四边形的面积为 8【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.【变式【变式 4-14-1】如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，抛物线抛物线，经过经过 a a（0 0，4 4） ，b b（，0 0） ，cc（，0 0）三点，且）三点，且（1 1）求）求 b b，c c 的值；的值；（2 2）在抛物线上求一点）在抛物线上求一点 d d，使得四边形，使得四边形 bdcebdce 是以是以 bcbc 为对角线的菱形；为对角线的菱形；（3 3）在抛物线上是否存在一点）在抛物线上是否存在一点 p p，使得四边形，使得四边形 bpohbpoh 是以是以 obob 为对角线的菱形？若存在，求为对角线的菱形？若存在，求出点出点 p p 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由【答案【答案】 （1），； （2）d（， ） ； （3）存在一点 p（3，4） ，使得四边形 bpoh为菱形，不能为正方形【解析】【解析】试题分析： （1）把 a（0，4）代入可求 c，运用根与系数的关系及，可求出 b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的 d 点，就是抛物线的顶点；（3） 由四边形 bpoh 是以 ob 为对角线的菱形， 可得 ph 垂直平分 ob， 求出 ob 的中点坐标，代入抛物线解析式即可， 再根据所求点的坐标与线段 ob 的长度关系， 判断是否为正方形即可试题解析： （1）抛物线，经过点 a（0，4） ，c=4，又由题意可知，、是方程的两个根，由已知得，解得：，当 b= 时，抛物线与 x 轴的交点在 x 轴的正半轴上，不合题意，舍去b=；（2）四边形 bdce 是以 bc 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 d 必在抛物线的对称轴上，又=，抛物线的顶点（， ）即为所求的点 d；（3）四边形 bpoh 是以 ob 为对角线的菱形，点 b 的坐标为（6，0） ，根据菱形的性质，点 p 必是直线 x=3 与抛物线的交点，当 x=3 时，=4，在抛物线上存在一点 p（3，4） ，使得四边形 bpoh 为菱形四边形 bpoh 不能成为正方形，因为如果四边形 bpoh 为正方形，点 p 的坐标只能是（3，3） ，但这一点不在抛物线上考点：1二次函数综合题；2探究型；3存在型；4压轴题【变式【变式 4-24-2】如图，抛物线如图，抛物线与直线与直线交于交于，两点，直线两点，直线交交轴与点轴与点，点点是直线是直线上的动点上的动点，过点过点作作轴交轴交于点于点，交抛交抛物线于点物线于点. .(1)(1)求抛物线求抛物线的表达式；的表达式；(2)(2)连接连接，当四边形，当四边形是平行四边形时，求点是平行四边形时，求点的坐标；的坐标；(3)(3)在在轴上存在一点轴上存在一点，连接，连接，当点，当点运动到什么位置时，以运动到什么位置时，以为顶点的为顶点的四边形是矩形？求出此时点四边形是矩形？求出此时点的坐标；的坐标；在在的前提下的前提下，以点以点为圆心为圆心，长为半径作圆长为半径作圆，点点为为上一动点上一动点，求求的最的最小值小值. .【答案】【答案】(1) y=x22x+4；(2) g（2，4） ；(3)e（2，0） h（0，1） ；5 52【解析】【解析】试题分析:（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线 ab 的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（3）先判断出要以点 a，e，f，h 为顶点的四边形是矩形，只有 ef 为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；先取 eg 的中点 p 进而判断出pemmea 即可得出 pm=am， 连接 cp 交圆 e 于 m，再求出点 p 的坐标即可得出结论试题解析： （1）点 a（4，4） ，b（0，4）在抛物线 y=x2+bx+c 上，16444bcc ，24bc ，抛物线的解析式为 y=x22x+4；（2）设直线 ab 的解析式为 y=kx+n 过点 a，b，直线 ab 的解析式为 y=2x+4，设 e（m，2m+4） ，g（m，m22m+4） ，四边形 geob 是平行四边形，eg=ob=4，m22m+42m4=4，m=2，g（2，4） ；（3）如图 1，由（2）知，直线 ab 的解析式为 y=2x+4，设 e（a，2a+4） ，直线 ac：y=x6，f（a，a6） ，设 h（0，p） ，以点 a，e，f，h 为顶点的四边形是矩形，直线 ab 的解析式为 y=2x+4，直线 ac：y=x6，abac，ef 为对角线，（4+0）=（a+a） ，（4+p）=（2a+4a6） ，a=2，p=1，e（2，0） h（0，1） ；如图 2，由知，e（2，0） ，h（0，1） ，a（4，4） ，eh=，ae=2，设 ae 交e 于 g，取 eg 的中点 p，pe=，连接 pc 交e 于 m，连接 em，em=eh=，=，=，pem=mea，pemmea，pm=am，am+cm 的最小值=pc，设点 p（p，2p+4） ，e（2，0） ，pe2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，pe=，5（p+2）2=，p=或 p=（由于 e（2，0） ，所以舍去） ，p（，1） ，c（0，6） ，pc=，即：am+cm=考点：二次函数综合题【达标训练】一、单选题一、单选题1 1将抛物线将抛物线 y=y=2x2x2 21 1 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（点能构成直角三角形，那么平移的距离为（）a a32个单位个单位b b1 1 个单位个单位cc12个单位个单位d d2个单位个单位【答案】【答案】a【解析】【解析】试题分析设抛物线向上平移 a（a1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，且这些交点能构成直角三角形，则有平移后抛物线的解析式为：y=2x21+a，am=a，抛物线 y=2x21 与 y 轴的交点 m 为（0，1） ，即 om=1，oa=amom=a1，令 y=2x21+a 中 y=0，得到2x21+a=0，解得：x=12a，b（12a，0） ，c（12a，0） ，即 bc=212a，又abc 为直角三角形，且 b 和 c 关于 y 轴对称，即 o 为 bc 的中点，ao=12bc，即 a1=12a，两边平方得： （a1）2=，a10，a1=12，解得：a=32故选 a【考点】二次函数图象与几何变换2 2 如图如图， 抛物线抛物线2yx2x3 与与y轴交于点轴交于点c， 点点(0,1)d， 点点p是抛物线上的动点是抛物线上的动点， 若若pcd是以是以cd为底的等腰三角形，则为底的等腰三角形，则tancdp的值为（的值为（） a a122+或或122b b21或或21cc212或或212d d12或或12【答案】【答案】b【解析】【解析】作cd中垂线交抛物线于1p，2p（1p在2p左侧） ，交y轴于点e;连接p1d,p2d.易得(0,3)c(0,1)d(0,2)e122ppyy，1de 将2y 代入2yx2x3 中得112x ，212x 121pe ，221pe 11tan21pecdped，22tan21pecdped故选 b.当pcd是以cd为底的等腰三角形时,则p点在线段cd的垂直平分线上,由c、d坐标可求得线段cd中点的坐标,从而可以知道p点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得p点坐标.二、填空题二、填空题3 3如图，抛物线如图，抛物线21yx的顶点为的顶点为c，直线，直线1yx与抛物线交于与抛物线交于a，b两点两点m是抛物线是抛物线上一点，过上一点，过m作作mgx轴，垂足为轴，垂足为g如果以如果以a，m，g为顶点的三角形与为顶点的三角形与abc相似，相似，那么点那么点m的坐标是的坐标是_【答案】【答案】4,15，2,3，4 7,3 9【解析】【解析】根据抛物线的解析式，易求得 a（-1，0） ，d（1，0） ，c（0，-1） ；则acd 是等腰直角三角形，由于 apdc，可知bac=90；根据 d、c 的坐标，用待定系数法可求出直线 dc 的解析式，而 abdc，则直线 ab 与 dc 的斜率相同，再加上 a 点的坐标，即可求出直线 ab 的解析式，联立直线 ab 和抛物线的解析式，可求出 b 点的坐标，即可得出 ab、ac 的长在 rtabc 和 rtamg 中，已知了bac=agm=90，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出 m 点的坐标【详解】易知：a(1,0),d(1,0),c(0,1) ；则 oa=od=oc=1 ，adc 是等腰直角三角形，acd=90 ,ac=2；又ab dc ，bac=90 ；易知直线 bd 的解析式为 y=x1 ，由于直线 ab dc, 可设直线 ab 的解析式为 y=x+b, 由于直线 ab 过点 a(1,0) ；则直线 ab 的解析式为：y=x+1 ，联立抛物线的解析式：21 1yxyx，解得23xy,10xy ；故 b(2,3) ；ap=222 13=32；rtbac 和 rtamg 中,agm=pac=90 , 且 ba:ac=32:2=3:1 ；若以 a. m 、g 三点为顶点的三角形与bca 相似，则 ag:mg=1:3 或 3:1 ；设 m 点坐标为(m,m21),(m1)则有：mg=m21 ，ag=|m+1| ；当 am:mg=1:3 时,m21=3|m+1|,m21=(3m+3) ；当 m21=3m+3 时,m23m4=0, 解得 m=1( 舍去) ，m=4 ；当 m21=3m3 时,m2+3m+2=0, 解得 m=1( 舍去) ，m=2 ；m1(4,15),m2(2,3) ；当 am:mg=3:1 时,3(m21)=|m+1|,3m23=(m+1) ；当 3m23=m+1 时,3m2m4=0, 解得 m=1( 舍去),m=43；当 3m23=m1 时,3m2+m2=0, 解得 m=1( 舍去),m=23( 舍去) ；m3(43,79).故符合条件的 m 点坐标为：(4,15),(2,3), (43,79).故答案为：:(4,15),(2,3), (43,79).【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与应用.4 4如图如图，直线直线 y=x+2y=x+2 与抛物线与抛物线 y=axy=ax2 2+bx+6+bx+6（a a0 0）相交于相交于 a a（，）和和 b b（4 4，mm） ，点点p p 是线段是线段 abab 上异于上异于 a a、b b 的动点，过点的动点，过点 p p 作作 pcpcx x 轴于点轴于点 d d，交抛物线于点，交抛物线于点 cc当当papacc为直角三角形时点为直角三角形时点 p p 的坐标的坐标【答案【答案】 （3，5）或（72，112） 【解析】【解析】试题分析：由于 p 点不可能为直角顶点，因此就只有两种情况：若 a 为直角顶点，过 a 作 ab的垂线与抛物线的交点即为 c 点，过 c 作 y 轴的平行线与 ab 的交点即为 p 点；若 c 为直角顶点，过 a 作 x 轴的平行线与抛物线的另一个交点即为 c 点，过 c 作 y 轴的平行线与 ab 的交点即为 p 点解：直线 y=x+2 过点 b（4，m） ，m=6，b（4，6） 将 a、b 两点坐标代入抛物线解析式得：，解得：抛物线的解析式为：y=2x28x+6若 a 为直角顶点，如图 1，设 ac 的解析式为：y=x+b，将 a 点代入 y=x+b 得 b=3ac 的解析式为 y=x+3，由，解得：或（舍去）令 p 点的横坐标为 3，则纵坐标为 5，p（3，5） ；若 c 为直角顶点，如图 2，令，解得：x= 或 x= （舍去） ，令 p 点的横坐标为 ，则纵坐标为，p（ ，） ；故答案为（3，5）或（ ，） 考点：二次函数综合题5 5如图，已知抛物线如图，已知抛物线221yx与与x轴交于轴交于 a a、cc 两点，与两点，与y轴交于点轴交于点 b b，在抛物，在抛物线的对称轴上找一点线的对称轴上找一点 qq，使，使abqabq 成为等腰三角形，则成为等腰三角形，则 qq 点的坐标是点的坐标是_._.【答案】【答案】q12 36，q22 36，q3（2，2） ，q4（2，3）【解析】【解析】先求得点 a 和点 b 的坐标，由顶点式知抛物线的对称轴为直线 x=2，设抛物线的对称轴上的点 q 的坐标为2m，分别求得ab，并用含m的代数式表示bqaq、的长，分abbqbqaqabaq，三种情况构造方程求得m的值.【详解】如图，抛物线的对称轴为直线 x=2当 y=0 时，（x-2）2-1=0解之：x1=3，x2=1点 a 的坐标为（1，0）当 x=0 时，y=3点 b（0，3）设点 q 的坐标为（2，m）.ab2=32+1=10，bq2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，aq2=m2+1，要使abq 为等腰三角形，当 ab2=bq2时，则（m-3）2+4=10,解之：m1=36， m2=36，点 q12 36， q22 36，.当 bq2=aq2时，则（m-3）2+4=m2+1,解之：m=2所以点 q2（2，2） ；当 ab2=aq2时，则 10=m2+1,解之：m=3若 m=-3，则点 b、a，q 在同一直线上，m=-3 舍去，点 q4（2，3）故答案为：2 36，q22 36， （2，2） ， （2，3）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论6 6如图如图，抛物线抛物线y yx x2 2+2+2x x+4+4 与与y y轴交于点轴交于点cc，点点d d（0 0，2 2） ，点点mm是抛物线上的动点是抛物线上的动点若若mcdmcd是以是以cdcd为底的等腰三角形，则点为底的等腰三角形，则点mm的坐标为的坐标为_【答案【答案】 （1+2，3）或（12，3）【解析】【解析】当mcd 是以 cd 为底的等腰三角形时，则 m 点在线段 cd 的垂直平分线上，由c、d 坐标可求得线段 cd 中点的坐标，从而可知 p 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得 m点坐标【详解】mcd 是以 cd 为底的等腰三角形，点 m 在线段 cd 的垂直平分线上，如图，过 m 作mey轴于点 e，则 e 为线段 cd 的中点，抛物线224yxx 与 y 轴交于点 c，c(0,4),且 d(0,2)，e 点坐标为(0,3)，m 点纵坐标为 3，在224yxx 中,令3y ,可得2243xx,解得12x ，m 点坐标为(12,3)或(12,3)，故答案为(12,3)或(12,3).【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质进行解答.7 7如图如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoyxoy中中，已知抛物线已知抛物线y y= =x x2 2+2+2x x+3+3 与与x x轴交于轴交于a a，b b两点两点，点点mm在这条抛物线上在这条抛物线上， 点点p p在在y y轴上轴上， 如果四边形如果四边形abmpabmp是平行四边形是平行四边形， 则点则点mm的坐标为的坐标为_【答案【答案】 （4，-5）.【解析【解析】根据抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 a，b 两点，可求出 a、b 两点的坐标，进而求出ab 的长度， 由四边形 abmp是平行四边形， 可知 m 点在x轴右边， pm/ab， 且pm=ab=4 ，即可求出 m 点坐标.【详解】y=x2+2x+3 与 x 轴交于 a，b 两点，a（-1，0） ；b（3，0）ab=4，四边形 abmp 是平行四边形，ab/pm，pm=ab=4，p 点在 y 轴上，p 点横坐标为 4，p 点在抛物线 y=x2+2x+3 上，x=4 时，y=-16+8+3=-5，m 点的坐标为： （4，-5）.故答案为（4，-5）【点睛】本题考查二次函数的应用，求出 a、b 的长度利用 ab=pm 求出 m 的横坐标是解题关键.8 8已知抛物线已知抛物线 y y（x x2 2）2 2，p p 是抛物线对称轴上的一个点，直线是抛物线对称轴上的一个点，直线 x xt t 分别与直线分别与直线 y yx x、抛物线交于点抛物线交于点 a a，b b，若，若abpabp 是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，则 t t 的值为的值为_【答案】【答案】0 或 3 或22或 33或7172【解析】【解析】首先求出抛物线与直线 y=x 的交点坐标，再分四种情形列出方程即可解决问题【详解】解：由题意 a（t，t） ，p（2，m）bt， （t2）2，当点 a 或 b 是直角顶点时，|2t|t（t2）2|，解得 t33或 22，当点 p 是直角顶点时，|t（t2）2|2|2t|，解得 t7172或 0 或 3，综上所述，满足条件的 t 的值为 0 或 3 或 22或 315或7172故答案是：0 或 3 或22或 33或7172【点睛】考查二次函数的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建方程解决问题.9 9将抛物线将抛物线21yx向右平移向右平移 2 2 个单位个单位, ,得到抛物线得到抛物线2y的图象的图象.p是抛物线是抛物线2y对称轴上的一个动对称轴上的一个动点点, ,直线直线xt平行于平行于 y y 轴轴, ,分别与直线分别与直线yx、抛物线、抛物线2y交于点交于点 a a、b.若若abp是以点是以点 a a 或点或点 b b为直角顶点的等腰直角三角形为直角顶点的等腰直角三角形, ,求满足条件的求满足条件的 t t 的值的值, ,则则t _ . .【答案】【答案】33或33或22或22【解析【解析】根据函数图象的平移规律，将1y向右平移 2 个单位,横坐标减 2 表示出抛物线2y的函数解析式.然后再根据题目条件表示出点 a、 b 的坐标,进而能够表示出 ab 的长度与 ap 的长度,然后根据等腰直角三角形的两直角边相等列出方程求解即可.【详解】解：抛物线21yx向右平移 2 个单位,抛物线2y的函数解析式为22y(x2)x4x4,抛物线2y的对称轴为直线x2,直线xt与直线yx、抛物线2y交于点 a、b,点 a 的坐标为t,t,点 b 的坐标为2t,t4t4,22abt4t4tt5t4,apt2,apb是以点 a 或 b 为直角顶点的三角形,2t5t4t2,2t5t4t2 或2t5t4t2 ,整理得,2t6t60,解得1t33 ,2t33 ,整理得,2t4t20,解得1t22,2t22,综上所述,满足条件的 t 值为：33或33或22或22,故答案为：33或33或22或22.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,等腰直角三角形的性质,根据抛物线与直线的解析式表示出 ab、ap 或bp的长,然后根据等腰直角三角形的性质列出方程是解题的关键.1010如图，已知抛物线如图，已知抛物线2144yxbx 与与x轴相交于轴相交于a、b两点，与两点，与y轴相交于点轴相交于点c若已若已知知a点的坐标为点的坐标为2,0a 点点q在抛物线的对称轴上在抛物线的对称轴上，当当acq为等腰三角形时为等腰三角形时，点点q的坐标的坐标为为_【答案】【答案】3,0，3,411，3,411【解析】【解析】首先求出抛物线解析式，然后利用配方法或利用公式 x=-2ba求出对称轴方程，由此可设可设点 q（3，t） ，若acq 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解【详解】抛物线 y=-14x2+bx+4 的图象经过点 a（-2，0） ，-14（-2）2+b（-2）+4=0，解得：b=32，抛物线解析式为 y=-14x2+32x+4，又y=-14x2+32x+4=-14（x-3）2+254，对称轴方程为：x=3，可设点 q（3，t） ，则可求得：ac=22242 5，aq=225t，cq=2234ti）当 aq=cq 时，有225t=2234t，即 25+t2=t2-8t+16+9，解得 t=0，q1（3，0） ；ii）当 ac=aq 时，有225t=25，即 t2=-5，此方程无实数根，此时acq 不能构成等腰三角形；iii）当 ac=cq 时，有 25=2234t，整理得：t2-8t+5=0，解得：t=411，点 q 坐标为：q2（3，4+11） ，q3（3，4-11） 综上所述， 存在点 q， 使acq 为等腰三角形， 点 q 的坐标为： q1（3， 0） ， q2（3， 4+11） ，q3（3，4-11） 故答案为： （3，0） ， （3，4+11） ， （3，4-11） 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点难点在于符合条件的等腰三角形acq 可能有多种情形，需要分类讨论1111 如图如图， 抛物线抛物线211322yxx与与x轴的负半轴交于点轴的负半轴交于点a， 与与y轴交于点轴交于点b， 连接连接ab， 点点,d e分别是直线分别是直线1x 与抛物线上的点与抛物线上的点， 若点若点, ,a b d e围成的四边形是平行四边形围成的四边形是平行四边形， 则点则点e的坐标的坐标为为_._.【答案】【答案】4,3或2,0或2, 2【解析【解析】 根据二次函数211y=xx322与x轴的负半轴交于点a， 与y轴交于点b.直接令x=0和 y=0 求出 a，b 的坐标.再根据平行四边形的性质分情况求出点 e 的坐标.【详解】由抛物线的表达式求得点,a b的坐标分别为 3,0 , 0, 3.由题意知当ab为平行四边形的边时，/ /abde，且abde，线段de可由线段ab平移得到.点d在直线1x 上， 当点b的对应点为1d时， 如图， 需先将ab向左平移 1 个单位长度，此时点a的对应点1e的横坐标为4，将4x 代入211322yxx，得3y ，1( 4,3)e .当点 a 的对应点为2d时，同理，先将ab向右平移 2 个单位长度，可得点b的对应点2e的横坐标为 2，将2x 代入211322yxx得0y ，2(2,0)e当ab为平行四边形的对角线时，可知ab的中点坐标为13,22，3d在直线1x 上，根据对称性可知3e的横坐标为2，将2x 代入211322yxx得2y ，3( 2, 2)e .综上所述，点e的坐标为4,3或2,0或2, 2.【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是分情况解决问题的思想三、解答题三、解答题1212如图，抛物线如图，抛物线与直线与直线交于交于 a a，b b 两点，交两点，交 x x 轴于轴于 d d，cc 两点两点，已知已知，求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴；求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴；在直线在直线 abab 下方的抛物线上是否存在一点下方的抛物线上是否存在一点 e e，使得，使得的面积最大？如果存在，求出的面积最大？如果存在，求出 e e 点点坐标；如果不存在，请说明理由坐标；如果不存在，请说明理由为抛物线上一动点为抛物线上一动点，连接连接 papa，过点过点 p p 作作交交 y y 轴于点轴于点 qq，问问：是否存在点是否存在点 p p，使得使得以以 a a、p p、qq 为顶点的三角形与为顶点的三角形与相似？若存在相似？若存在，请直接写出所有符合条件的请直接写出所有符合条件的 p p 点的坐标点的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由【答案【答案】 （1）（2）当时，的面积有最大值 4，此时 e 点坐标为（3）满足条件的 p 点坐标为或或或【解析】【解析】利用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线的对称轴方程求抛物线的对称轴；先确定直线ab的解析式为，再解方程组得，作轴交直线ab于f，如图 1，设，则，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；设，则，先利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，利用相似三角形的判定方法，当，则，所以；当，即，所以，然后分别解关于t的绝对值方程即可得到p点坐标【详解】把，代入得，解得，抛物线解析式为；抛物线的对称轴为直线；存在把代入得，直线 ab 的解析式为，解方程组得或，则，作轴交直线 ab 于 f，如图 1，设，则，当时，的面积有最大值 4，此时 e 点坐标为；设，则，为直角三角形，当，即，解方程得舍去 ，此时 p 点坐标为；解方程得舍去 ，此时 p 点坐标为；当，即，解方程得舍去 ，此时 p 点坐标为；解方程得舍去 ，此时 p 点坐标为；综上所述，满足条件的 p 点坐标为或或或【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题1313如图，抛物线如图，抛物线经过点经过点a a（-1,0-1,0） 、b b（3,03,0） 、cc（0 0，） ，连接，连接acac、bcbc，将将abcabc绕点绕点cc逆时针旋转，使点逆时针旋转，使点a a落在落在x x轴上，得到轴上，得到dcedce，此时，此时，dede所在直线与抛物所在直线与抛物线交于第一象限的点线交于第一象限的点f f. .（1 1）求抛物线）求抛物线对应的函数关系式对应的函数关系式. .（2 2）求点）求点a a所经过的路线长所经过的路线长. .（3 3）抛物线的对称轴上是否存在点）抛物线的对称轴上是否存在点p p使使pdfpdf是等腰三角形是等腰三角形. .若存在，求点若存在，求点p p的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由. .【答案【答案】 （1）（2）（3）p（1,2） ， （1，-2） ，（1,2）或（1，【解析】【解析】试题分析： （1）抛物线经过点a（-1,0） 、b（3,0） 、c（0，） ，那么09303abcabcc，解得332 333abc ，所以抛物线对应的函数关系式为（2）将abc绕点c逆时针旋转，使点a落在x轴上，得到dce，则 d 的坐标（1，0） 。所以 ad=1+1=2，点a（-1,0） 、c（0，） ， 在,aoccod，,aoccod是直角， ao=1，co=，由勾股定理得22132ac ，同理 cd=2，所以三角形 acd 是等边三角形，60acd；点a所经过的路线是一个扇形的弧长，圆心角为60acd，半径为 ac=2所以扇形的弧长=（3）抛物线的对称轴上存在点p使pdf是等腰三角形，抛物线的对称轴2 3312323bxa ；设点 p 的坐标为（1，a） ，f 的坐标为（x,y） ，则 p、d 都在抛物线的对称轴上; 假设pdf是等腰三角形，fd 是腰，则 pd=fd，由（1）知d 的坐标（1，0） ，所以 pd=a，fd=221xy,则a=221xy，而点 f 在抛物线上，所以f 的坐标满足的解析式，解得2a ；当pdf是等腰三角形，fd 是底边，那么 pf、pd 是腰，所以 pf=pd，则pd=a，f 的坐标为（x,y） ，f 的坐标满足的解析式；pf=221yax，则a=221yax，解得a=2或 a=2 33,所以 p 点的坐标为 p（1,2） ， （1，-2） ， （1,2）或（1，考点：抛物线，等腰三角形点评：本题考查抛物线，等腰三角形，要求考生会用待定系数法求函数的解析式，掌握抛物线的性质，熟悉等腰三角形的性质1414如图，抛物线经过原点如图，抛物线经过原点 oo（0 0，0 0） ，点，点 a a（1 1，1 1） ，点，点 b b（72，0 0） （1 1）求抛物线解析式；）求抛物线解析式；（2 2）连接）连接 oaoa，过点，过点 a a 作作 acacoaoa 交抛物线于交抛物线于 cc，连接，连接 ococ，求，求aocaoc 的面积；的面积；（3 3）点点 mm 是是 y y 轴右侧抛物线上一动点轴右侧抛物线上一动点，连接连接 omom，过点过点 mm 作作 mnmnomom 交交 x x 轴于点轴于点 n n问问：是否存在点是否存在点 mm，使以点，使以点 oo，mm，n n 为顶点的三角形与（为顶点的三角形与（2 2）中的）中的aocaoc 相似，若存在，求出相似，若存在，求出点点 mm 的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由【答案【答案】 （1）22755yxx ； （2）4； （3） （272，54）或（238，2332）或（338，3332）【解析】【解析】分析： （1）设交点式 y=ax（x-72） ，然后把 a 点坐标代入求出 a 即可得到抛物线解析式；（2）延长 ca 交 y 轴于 d，如图 1，易得 oa=2，doa=45，则可判断aod 为等腰直角三角形，所以 od=2oa=2，则 d（0，2） ，利用待定系数法求出直线 ad 的解析式为 y=-x+2，再解方程组222755yxyxx，得 c（5，-3） ，然后利用三角形面积公式，利用saoc=scod-saod进行计算；（3）如图 2，作 mhx 轴于 h，ac=42，oa=2，设 m（x，-25x2+75x） （x0） ，根据三角形相似的判定，由于ohm=oac，则当ohmhoaac时，ohmoac，即2275524 2xxx；当ohmhacoa时，ohmcao，即227554 22xxx，则分别解关于 x 的绝对值方程可得到对应 m 点的坐标，由于omhonm，所以求得的 m 点能以点o，m，n 为顶点的三角形与（2）中的aoc 相似详解： （1）设抛物线解析式为 y=ax（x-72） ，把 a（1，1）代入得 a1（1-72）=1，解得 a=-25，抛物线解析式为 y=-25x（x-72） ，即 y=-25x2+75x；（2）延长 ca 交 y 轴于 d，如图 1，a（1，1） ，oa=2，doa=45，aod 为等腰直角三角形，oaac，od=2oa=2，d（0，2） ，易得直线 ad 的解析式为 y=-x+2，解方程组222755yxyxx得11xy或53xy，则 c（5，-3） ，saoc=scod-saod=1225-1221=4；（3）存在如图 2，作 mhx 轴于 h，ac=22(5 1)( 3 1) =4 2 ，oa=2，设 m（x，-25x2+75x） （x0） ，ohm=oac，当ohmhoaac时，ohmoac，即2275524 2xxx，解方程-25x2+75x =4x 得 x1=0（舍去） ，x2=-132（舍去） ，解方程-25x2+75x =-4x 得 x1=0（舍去） ，x2=272，此时 m 点坐标为（272，-54） ；当ohmhacoa时，ohmcao，即227554 22xxx，解方程-25x2+75x=14x 得 x1=0（舍去） ，x2=238，此时 m 点的坐标为（238，2332） ，解方程-25x2+75x=-14x 得 x1=0（舍去） ，x2=338，此时 m 点坐标为（338，-3332） ；mnom，omn=90，mon=hom，omhonm，当 m 点的坐标为（272，-54）或（238，2332）或（338，-3332）时，以点 o，m，n 为顶点的三角形与（2）中的aoc 相似点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题1515如图，已知抛物线如图，已知抛物线与与轴交于轴交于两点，与两点，与轴交于轴交于点，且点，且，直线，直线与与轴交于轴交于点，点点，点是抛物线是抛物线上的一动上的一动点，过点点，过点作作轴，垂足为轴，垂足为，交直线，交直线 于点于点. .（1 1）试求该抛物线的表达式；）试求该抛物线的表达式；（2 2）如图（）如图（1 1） ，若点，若点在第三象限，四边形在第三象限，四边形是平行四边形，求是平行四边形，求点的坐标；点的坐标；（3 3）如图（）如图（2 2） ，过点，过点作作轴，垂足为轴，垂足为，连接，连接，求证：求证：是直角三角形；是直角三角形；试问当试问当点横坐标为何值时，使得以点点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与为顶点的三角形与相似？相似？【答案【答案】 （1）y=x2+x4； （2）点 p 的坐标为（，）或（8，4） ； （3）详见解析；，点 p 的横坐标为5.5 或10.5 或 2 或18 时，使得以点 p、c、h 为顶点的三角形与acd 相似【解析】【解析】试题分析： （1）将点 a 和点 c 的坐标代入抛物线的解析式可得到关于 a、c 的方程组，然后解方程组求得 a、c 的值即可； （2）设 p（m，m2+m4） ，则 f（m，m4） ，则pf=m2m，当 pf=oc 时，四边形 pcof 是平行四边形，然后依据 pf=oc 列方程求解即可； （3）先求得点 d 的坐标，然后再求得 ac、dc、ad 的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；分为acdchp、acdphc 两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可试题解析：（1）由题意得：，解得：，抛物线的表达式为 y=x2+x4（2）设 p（m，m2+m4） ，则 f（m，m4） pf=（m4）（m2+m4）=m2mpex 轴，pfocpf=oc 时，四边形 pcof 是平行四边形m2m=4，解得：m=或 m=8当 m=时，m2+m4=，当 m=8 时，m2+m4=4点 p 的坐标为（，）或（8，4） （3）证明：把 y=0 代入 y=x4 得：x4=0，解得：x=8d（8，0） od=8a（2，0） ，c（0，4） ，ad=2（8）=10由两点间的距离公式可知：ac2=22+42=20，dc2=82+42=80，ad2=100，ac2+cd2=ad2acd 是直角三角形，且acd=90由得acd=90当acdchp 时，即或，解得：n=0（舍去）或 n=5.5 或 n=10.5当acdphc 时，即或解得：n=0（舍去）或 n=2 或 n=18综上所述，点 p 的横坐标为5.5 或10.5 或 2 或18 时，使得以点 p、c、h 为顶点的三角形与acd 相似考点：二次函数综合题.1616如图，顶点为如图，顶点为m的抛物线的抛物线23yaxbx与与x轴交于轴交于3,0a，1,0b 两点，与两点，与y轴交于轴交于点点c（1 1）求这条抛物线对应的函数表达式；）求这条抛物线对应的函数表达式；（2 2）问在）问在y轴上是否存在一点轴上是否存在一点p，使得，使得pam为直角三角形？若存在，求出点为直角三角形？若存在，求出点p的坐标；若的坐标；若不存在，说明理由不存在，说明理由（3 3）若在第一象限的抛物线下方有一动点）若在第一象限的抛物线下方有一动点d，满足，满足daoa，过，过d作作dgx轴于点轴于点g，设，设adg的内心为的内心为i，试求，试求ci的最小值的最小值【答案【答案】 （1）2yx2x3 ； （2）点p坐标为30,2或0,1或0,3或70,2时，pam为直角三角形； （3）ci最小值为3 103 22.【解析【解析】 （1）结合题意，用待定系数法即可求解；（2）分 3 种情况讨论，用勾股定理即可求解；（3）根据正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.【详解】 （1）抛物线23yaxbx过点3,0a，1,0b ，933030abab，解得：12ab ，这条抛物线对应的函数表达式为2yx2x3 .（2）在y轴上存在点p，使得pam为直角三角形222314yxxx ，顶点1,4m，2223 1420am，设点p坐标为0, p，222239appp，222214178mpppp，若90pam，则222amapmp.22209178ppp，解得：32p ，30,2p.若90apm，则222apmpam，22917820ppp，解得：11p ，23p ，0,1p或0,3.若90amp，则222ammpap，2220 1789ppp，解得：72p ，70,2p.综上所述，点p坐标为30,2或0,1或0,3或70,2时，pam为直角三角形（3）如图，过点i作iex轴于点e，ifad于点f，ihdg于点h，dgx轴于点g，90hgeiegihg，四边形iegh是矩形，点i为adg的内心，ieifih，aeaf，dfdh，eghg，矩形iegh是正方形，设点i坐标为,m n，oem，hggeien，3afaeoa oem ，3daoa，33dhdfdaafmm ，dgdhhgmn，222dgagda，22233mnnm ，化简得：22330mmnn，配方得：22339222mn，点,i m n与定点33,22q的距离为3 22.点i在以点33,22q为圆心，半径为3 22的圆在第一象限的弧上运动，当点i在线段cq上时，ci最小，22333 103222cq，3 103 22cicqiq，ci最小值为3 103 22.【点睛】本题考查用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定.1717如图，已知抛物线如图，已知抛物线 y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c 经过点经过点 a a（-1-1，0 0）和）和 cc（0 0，4 4） （1 1）求这条抛物线的解析式；）求这条抛物线的解析式；（2 2） 直线直线 y=x+1y=x+1 与抛物线相交于与抛物线相交于 a a、 d d 两点两点， 点点 p p 是抛物线上一个动点是抛物线上一个动点， 点点 p p 的横坐标是的横坐标是 mm，且且-1-1mm3 3，设，设adpadp 的面积为的面积为 s s，求，求 s s 的最大值及对应的的最大值及对应的 mm 值；值；（3 3）点）点 mm 是直线是直线 adad 上一动点，直接写出使上一动点，直接写出使acmacm 为等腰三角形的点为等腰三角形的点 mm 的坐标的坐标【答案【答案】 （1）y=-x2+3x+4； （2）当m=1 时，adp 的面积 s 的最大值为 8 （3）134341,22m234341,22m，34,5m，47 1710 1,0m.【解析】【解析】【详解】解： （1）a（-1，0）和 c（0，4）代入 y=-x2+bx+c，得104bcc ，解得34bc，此抛物线解析式为：y=-x2+3x+4 （2）由题意得：2134yxyxx,，解得：1110xy或,2234xy，点 d 的坐标为（3，4） ，过点 p 作 pqy 轴，交直线 ad 与点 q，点 p 的横坐标是 m，又点 p 在抛物线 y=-x2+3x+4p 的纵坐标是-m2+3m+4，点 q 的横坐标也是 m，点 q 在直线 y=x+1 上，q 的纵坐标是 m+1，pq=（-m2+3m+4）-（m+1）=-m2+2m+3，sadp=sapq+sdpq=12(m2+2m+3)m(1)+(m2+2m+3)(3m)，=12(m2+2m+3)4，=-2m2+4m+6，=-2（m-1）2+8，当 m=1，adp 的面积 s 的最大值为 8（3）m 在直线 ad：y=x+1 上，设 m 点坐标为（x，x+1） ，a（-1，0）和 c（0，4） ；ac2=17，am2=2(x+1)2，cm2=x2+（x-3）2，.当 ac=am 时，17=2(x+1)2，解得 x=3412，即点 m 坐标为：134341,22m，234341,22m.当 ac=cm 时，x2+（x-3）2=17，解得：14x ，21x （与 a 重合舍去） ，即点 m 坐标为：34,5m，iii.当 ac=am 时，2(x+1)2=x2+（x-3）2，解得：x=710，即点 m 坐标为：47 1710 1,0m，使acm 为等腰三角形的点 m 的坐标有134341,22m234341,22m，34,5m，47 1710 1,0m.【点睛】 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值求法和平面内两点之间的距离求法等知识，二次函数这部分经常利用数形结合以及分类讨论思想相结合，综合性较强注意不要漏解1818在平面直角坐标系中有在平面直角坐标系中有rt aob，o为原点为原点，1ob ，3oa，将此三角形绕点将此三角形绕点o顺时针顺时针旋转旋转90得到得到rt cod，抛物线，抛物线2yxbx c过过, ,a b c三点三点（1 1）求此抛物线的解析式及顶点）求此抛物线的解析式及顶点p的坐标；的坐标；（2 2）直线）直线:3lkxk与抛物线交于与抛物线交于,m n两点，若两点，若2pmns，求，求k的值；的值；（3 3）抛物线的对称轴上是否存在一点）抛物线的对称轴上是否存在一点q使得使得dcq为直角三角形为直角三角形【答案【答案】 （1）2yx2x3 ；点1,4p； （2）2 3k ； （3）存在，q1(1，-1)，q2(1，2)，q3(1，4)，q4(1，-5)【解析【解析】 （1）用待定系数法可求抛物线的解析式，进行配成顶点式即可写出顶点坐标；（2） 将直线与抛物线联立， 通过根与系数关系得到2mnxxk，mnx xk ， 再通过2pmns得出4mnxx ，通过变形得出2416mnmnxxx x代入即可求出k的值；（3）分：90dqc=，90qdc，90dcq三种情况分别利用勾股定理进行讨论即可【详解】 （1）1ob ，3oa，(0,3),( 1,0)abrt aob绕点o顺时针旋转90，得到rt cod，oaoc点c的坐标为：3,0，将点 a,b 代入抛物线2yxbxc 中得310cbc 解得23bc此抛物线的解析式为：2yx2x3 2223(1)4yxxx ；点1,4p（2）直线l：3ykxk与抛物线的对称轴交点f的坐标为1,3，交抛物线于,mmm xy，,nnn xy，1pf 由2323ykxkyxx 得：2(2)0xkxk2mnxxk，mnx xk 2pmns，1111222mnxpfxpf114mnxx 4mnxx 2416mnmnxxx x2 3k （3）存在，1t 或2t ，4t ，5t (3,0)(0,1)cd22210cdocod设点1,qt2222cqt，22211dqt若90dqc=，则222cdcqdq即222221(1)10tt1t 或2t 若90qdc，则222cqdqcd即22222t1(t1)104t 若90dcq，则222dqcqcd即22222t101(t1)5t 即 q1(1,-1), q2(1,2), q3(1,4), q4(1,-5).【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，分情况讨论是解题的关键1919如图，抛物线如图，抛物线 y yx x2 22x+32x+3 的图象与的图象与 x x 轴交于轴交于 a a、b b 两点两点( (点点 a a 在点在点 b b 的左边的左边) )，与，与 y y轴交于点轴交于点 cc，点，点 d d 为抛物线的顶点为抛物线的顶点(1)(1)求点求点 a a、b b、cc 的坐标；的坐标；(2)(2)点点 m(mm(m，0)0)为线段为线段 abab 上一点上一点( (点点 mm 不与点不与点 a a、b b 重合重合) )，过点，过点 mm 作作 x x 轴的垂线，与直轴的垂线，与直线线acac 交于点交于点 e e，与抛物线交于点与抛物线交于点 p p，过点过点 p p 作作 pqpqabab 交抛物线于点交抛物线于点 qq，过点过点 qq 作作 qnqnx x 轴轴于点于点 n n，可得矩形可得矩形 pqnmpqnm如图如图，点点 p p 在点在点 qq 左边左边，试用含试用含 mm 的式子表示矩形的式子表示矩形 pqnmpqnm 的周的周长；长；(3)(3)当矩形当矩形 pqnmpqnm 的周长最大时，的周长最大时，mm 的值是多少？并求出此时的的值是多少？并求出此时的aemaem 的面积；的面积；(4)(4)在在(3)(3)的条件下，当矩形的条件下，当矩形 pmnqpmnq 的周长最大时，连接的周长最大时，连接 dqdq，过抛物线上一点，过抛物线上一点 f f 作作 y y 轴的平轴的平行线，与直线行线，与直线 acac 交于点交于点 g(g(点点 gg 在点在点 f f 的上方的上方) )若若 fgfg2 22dqdq，求点，求点 f f 的坐标的坐标【答案【答案】(1)a(3，0)，b(1，0)；c(0，3) ；(2)矩形 pmnq 的周长2m28m+2；(3) m2；s12；(4)f(4，5)或(1，0)【解析【解析】 （1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点 a，b，c 的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用 m 表示出 pm，mn 即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出 m，进而求出直线 ac 解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出 n 应与原点重合，q 点与 c 点重合，求出 dqdc2，再建立方程（n+3）（n22n+3）4 即可【详解】(1)由抛物线 yx22x+3 可知，c(0，3)令 y0，则 0x22x+3，解得，x3 或 xl，a(3，0)，b(1，0)(2)由抛物线 yx22x+3 可知，对称轴为 x1m(m，0)，pmm22m+3，mn(m1)22m2，矩形 pmnq 的周长2(pm+mn)(m22m+32m2)22m28m+2(3)2m28m+22(m+2)2+10，矩形的周长最大时，m2a(3，0)，c(0，3)，设直线 ac 的解析式 ykx+b，303kbb解得 kl，b3，解析式 yx+3，令 x2，则 y1，e(2，1)，em1，am1，s12amem12(4)m(2，0)，抛物线的对称轴为 xl，n 应与原点重合，q 点与 c 点重合，dqdc，把 x1 代入 yx22x+3，解得 y4，d(1，4)，dqdc2fg22dq，fg4设 f(n，n22n+3)，则 g(n，n+3)，点 g 在点 f 的上方且 fg4，(n+3)(n22n+3)4解得 n4 或 n1，f(4，5)或(1，0)【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形pmnq的周长2020如图，已知直线如图，已知直线122yx与与x x轴交于点轴交于点b b，与，与y y轴交于点轴交于点cc，抛物线，抛物线2122yxbx与与x x轴交于轴交于a a、b b两点（两点（a a在在b b的左侧的左侧） ，与，与y y轴交于点轴交于点cc. .（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）点）点mm是上述抛物线上一点，如果是上述抛物线上一点，如果abmabm和和abcabc相似，求点相似，求点mm的坐标；的坐标；（3 3）连接连接acac，求顶点求顶点d d、e e、f f、gg在在abcabc各边上的矩形各边上的矩形defcdefc面积最大时面积最大时，写出该矩形写出该矩形在在abab边上的顶点的坐标边上的顶点的坐标【答案【答案】 （1）213222yxx； （2）m（3，-2） ； （3）d(32，0)或d(12，0)、e(2，0)【解析】【解析】试题分析：(1)先求得直线122yx与x轴交于点 b 与y轴交于点c的坐标，再把点 b 的坐标代入2122yxbx，求得 b 值，即可得抛物线的解析式； （2）先判定abc 为直角三角形，当abm 和abc 相似时，一定有amb=90 ，bamabc，即可得点 m 的坐标； （3）分矩形 defg 有两个顶点 d、e 在 ab 上和矩形一个顶点在 ab 上两种情况求点的坐标.试题解析：(1) 由题意：直线122yx与x轴交于点b（4,0） ，与y轴交于点c点c（0，-2） ，将点b（4,0）代入抛物线2122yxbx易得32b 所求抛物线解析式为：213222yxx(2) 222acbcab, abc为直角三角形，bca=90点m是上述抛物线上一点不可能有mb与ab或者ma与ab垂直当abm和abc相似时，一定有amb=90 bamabc此时点m的坐标为：m（3，-2）(3)abc为直角三角形，bca=90当矩形defg只有顶点d在ab上时，显然点f与点c重合时面积最大，如图 1，设cgx，dgbc，agdacb.ag：acdgbc，即552 5xdgdg2(x)s矩形defg2(x)2即x52时矩形defg的面积有最大值52，当矩形defg有两个顶点d、e在ab上时，如图 2，co交gf于点h，设dgx，则ohx，ch2x，gfab，cgfcab，gfabchco，即gf5(2x)2，解得gf(2x)s矩形defgx(2x)(x1)2 ，即当x1 时矩形defg的面积同样有最大值52，综上所述，无论矩形defg有两个顶点或只有一个顶点在ab上，其最大面积相同当矩形一个顶点在ab上时，gd2(x)，ag，ad ，odadoa ，d( ，0)当矩形defg有两个顶点d、e在ab上时，dg1，de52，dgoc，adgaoc，adaodgoc，解得ad ，od ，oe 2，d( ，0)，e(2，0)综上所述，满足题意的矩形在ab边上的顶点的坐标为d( ，0)或d( ，0)、e(2，0) 点睛：此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、矩形面积的计算方法、二次函数最值的应用等知识，要注意（3）题中，矩形的摆放方法有两种，不要漏解2121如图如图，抛物线抛物线 y=y=12x x2 2+bx+c+bx+c 与直线与直线 y=y=12x+3x+3 交于交于 a a，b b 两点两点，交交 x x 轴于轴于 cc、d d 两点两点，连连接接 acac、bcbc，已知，已知 a a（0 0，3 3） ，cc（3 3，0 0） （1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）在抛物线对称轴）在抛物线对称轴 ll 上找一点上找一点 mm，使，使|mb|mbmd|md|的值最大，并求出这个最大值；的值最大，并求出这个最大值；（3 3）点点 p p 为为 y y 轴右侧抛物线上一动点轴右侧抛物线上一动点，连接连接 papa，过点过点 p p 作作 pqpqpapa 交交 y y 轴于点轴于点 qq，问问：是是否存在点否存在点 p p 使得以使得以 a a，p p，qq 为顶点的三角形与为顶点的三角形与abcabc 相似？若存在，请求出所有符合条件相似？若存在，请求出所有符合条件的点的点 p p 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由【答案【答案】 （1）抛物线的解析式是 y=12x2+52x+3； （2）|mbmd|取最大值为2； （3）存在点 p（1，6） 【解析】【解析】分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据对称性，可得 mc=md，根据解方程组，可得 b 点坐标，根据两边之差小于第三边，可得 b，c，m 共线，根据勾股定理，可得答案；（3）根据等腰直角三角形的判定，可得bce，aco，根据相似三角形的判定与性质，可得关于 x 的方程，根据解方程，可得 x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案详解： （1）将 a（0，3） ，c（3，0）代入函数解析式，得39302cbc，解得523bc，抛物线的解析式是 y=12x2+52x+3；（2）由抛物线的对称性可知，点 d 与点 c 关于对称轴对称，对 l 上任意一点有 md=mc，联立方程组213215322yxyxx，解得03xy（不符合题意，舍） ，41xy ，b（4，1） ，当点 b，c，m 共线时，|mbmd|取最大值，即为 bc 的长，过点 b 作 bex 轴于点 e，在 rtbec 中，由勾股定理，得bc=222bece，|mbmd|取最大值为2；（3）存在点 p 使得以 a，p，q 为顶点的三角形与abc 相似，在 rtbec 中，be=ce=1，bce=45，在 rtaco 中，ao=co=3，aco=45，acb=1804545=90，过点 p 作 pqy 轴于 q 点，pqa=90，设 p 点坐标为（x，12x2+52x+3） （x0）当paq=bac 时，paqcab，pga=acb=90，paq=cab，pgabca，bcacpgag，即13pgbcadac，21153322xxx，解得 x1=1，x2=0（舍去） ，p 点的纵坐标为1212+521+3=6，p（1，6） ，当paq=abc 时，paqcba，pga=acb=90，paq=abc，pgaacb，bcacagpg，即pgacagpg=3，23153322xxx ，解得 x1=133（舍去） ，x2=0（舍去）此时无符合条件的点 p，综上所述，存在点 p（1，6） 点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出 m，b，c 共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于 x 的方程，要分类讨论，以防遗漏2222如图，已知抛物线经过原点如图，已知抛物线经过原点oo，顶点，顶点a a（1 1，1 1） ，且与直线，且与直线y ykxkx+2+2 相交于相交于b b（2 2，0 0）和和cc两点两点（1 1）求抛物线和直线）求抛物线和直线bcbc的解析式；的解析式；（2 2）求证：）求证：abcabc是直角三角形；是直角三角形；（3 3）抛物线上存在点）抛物线上存在点e e（点（点e e不与点不与点a a重合重合） ，使，使bcebceacbacb，求出点，求出点e e的坐标；的坐标；（4 4）在抛物线的对称轴上是否存在点）在抛物线的对称轴上是否存在点f f，使，使bdfbdf是等腰三角形？若存在，请直接写出点是等腰三角形？若存在，请直接写出点f f的坐标的坐标【答案【答案】 （1）yx22x，yx+2； （2）详见解析； （3）e（5524,） ； （4）符合条件的点f的坐标（1，7）或（1，7）或（1，2+7）或（1，27） 【解析【解析】 （1）将b（2，0）代入设抛物线解析式ya（x1）21，求得a，将b（2，0）代入ykx+2，求得k；（2）分别求出ab2、bc2、ac2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作bceacb，与抛物线交于点e，延长ab，与ce的延长线交于点a，过a作ah垂直x轴于点h，设二次函数对称轴于x轴交于点g根据对称与三角形全等，求得a（3，1） ，然后求出ac解析式，与抛物线解析式联立，求得点e坐标；（4）设f（1，m） ，分三种情况讨论：当bfbd时，212 2m，当dfbd时，2452 2mm，当bfdf时，22145mmm，m1，然后代入即可【详解】 （1）设抛物线解析式ya（x1）21，将b（2，0）代入，0a（21）21，a1，抛物线解析式：y（x1）21x22x，将b（2，0）代入ykx+2，02k+2，k1，直线bc的解析式：yx+2；（2）联立222yxyxx ，解得1113xy ，2220xy，c（1，3） ，a（1，1） ，b（2，0） ，ab2（12）2+（10）22，ac21（1）2+（13）220，bc22（1）2+（03）218，ab2+bc2ac2，abc是直角三角形；（3）如图，作bceacb，与抛物线交于点e，延长ab，与ce的延长线交于点a，过a作ah垂直x轴于点h，设二次函数对称轴于x轴交于点gbceacb，abc90，点a与a关于直线bc对称，abab，可知afbahb（aas） ，a（1，1） ，b（2，0）ag1，bgog1，bh1，ah1，oh3，a（3，1） ，c（1，3） ，直线ac：1522yx ，联立：215222yxyxx ，解得13xy 或5254xy，e（52，54） ；（4）抛物线的对称轴：直线x1，设f（1，m） ，直线bc的解析式：yx+2；d（0，2）b（2，0） ，bd12xx222(2 1)(0)1bfmm，222(1 0)(2)45dfmmm，当bfbd时，212 2m，m7，f坐标（1，7）或（1，7）当dfbd时，2452 2mm，m27，f坐标（1，2+7）或（1，27）当bfdf时，22145mmm，m1，f（1，1） ，此时b、d、f在同一直线上，不符合题意综上，符合条件的点f的坐标（1，7）或（1，7）或（1，2+7）或（1，27） 【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键2323已知：如图，在平面直角坐标系已知：如图，在平面直角坐标系 xoyxoy 中，抛物线中，抛物线 y=axy=ax2 24ax+14ax+1 与与 x x 轴的正半轴交于轴的正半轴交于点点a a 和点和点 b b，与，与 y y 轴交于点轴交于点 cc，且，且 ob=3ocob=3oc，点，点 p p 是第一象限内的点，连接是第一象限内的点，连接 bcbc，pbcpbc 是是以以bcbc 为斜边的等腰直角三角形为斜边的等腰直角三角形（1 1）求这个抛物线的表达式；）求这个抛物线的表达式；（2 2）求点）求点 p p 的坐标；的坐标；（3 3）点点 qq 在在 x x 轴上轴上，若以若以 qq、oo、p p 为顶点的三角形与以点为顶点的三角形与以点 cc、a a、b b 为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似，求点求点 qq 的坐标的坐标【答案【答案】 （1）214133yxx； （2）p（2，2） ； （3） （4，0）或（2，0） 【解析】【解析】试题分析： （1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出pmcpnb，再用 pc2=pb2，建立方程求解即可；（3）先判断出点 q 只能在点 o 左侧，再分两种情况讨论计算即可试题解析： （1）抛物线 y=ax24ax+1，点 c 的坐标为（0，1） ob=3oc，点 b 的坐标为（3，0） ，9a12a+1=0，a=13，214133yxx（2）如图，过点 p 作 pmy 轴，pnx 轴，垂足分别为点 m、nmpc=90cpn，npb=90cpn，mpc=npb在pcm 和pbn 中，pmc=pnb，mpc=npb，pc=pb，pmcpnb，pm=pn设点 p（a，a） pc2=pb2，a2+（a1）2=（a3）2+a2解得 a=2，p（2，2） （3）该抛物线对称轴为 x=2，b（3，0） ，a（1，0） p（2，2） ，a（1，0） ，b（3，0） ，c（0，1） ，po=2 2，ac=2 2，ab=2cab=135，pob=45，在 rtboc 中，tanobc=，obc45，ocb90， 在 rtoac 中， oc=oa， oca=45， acb45， 当opq与abc 相似时，点 q 只有在点 o 左侧时（i）当acoqabop时，222 2oq，oq=4，q（4，0） （ii）当时，oq=2，q（2，0） 当点 q 在点 a 右侧时，综上所述，点 q 的坐标为（4，0）或（2，0） 考点：1相似形综合题；2分类讨论2424如图如图，已知抛物线已知抛物线y yaxax2 2+ +bxbx3 3 与与x x轴交于轴交于a a、b b两点两点，与与y y轴交于轴交于cc点点，经过经过a a、b b、cc三点的圆的圆心三点的圆的圆心mm（1 1，mm）恰好在此抛物线的对称轴上，）恰好在此抛物线的对称轴上，mm的半径为的半径为5设设mm与与y y轴交于轴交于d d，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为e e（1 1）求）求mm的值及抛物线的解析式；的值及抛物线的解析式；（2 2）设）设dbcdbc ，cbecbe ，求，求 sinsin（ ）的值；）的值；（3 3）探究坐标轴上是否存在点探究坐标轴上是否存在点p p，使得以使得以p p、a a、cc为顶点的三角形与为顶点的三角形与bcebce相似？若存在相似？若存在，请指出点请指出点p p的位置，并直接写出点的位置，并直接写出点p p的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由【答案【答案】 （1）m1，yx22x3； （2）sin（）22； （3）在坐标轴上存在三个点p1（0，0） ，p2（0，13） ，p3（9，0） ，使得以p、a、c为顶点的三角形与bce相似【解析【解析】 （1）过m作mny轴于n，连接cm，利用勾股定理可知m的值，同样的方法可以求出点 b 的坐标，将点 b 的坐标代入抛物线解析式中即可求.（2）通过计算可得出obodbcce，进而证明 rtbodrtbce，得cbeobd，则sin（）sin（dbcobd）sinobc可求.（3）经过分析可知，根据题意分 rtcoartbce；过a作ap2ac交y正半轴于p2，rtcap2rtbce；过c作cp3ac交x正半轴于p3，rtp3cartbce三种情况，分情况讨论即可.【详解】 （1）由题意可知c（0，3） ，2ba1，抛物线的解析式为yax22ax3（a0） ，过m作mny轴于n，连接cm，则mn1，cm5，由勾股定理得cn2，on=1，m1同理可求得b（3，0） ，将点 b 代入抛物线的解析式中得a322a330，得a1抛物线的解析式为yx22x3（2）由（1）得a（1，0） ，e（1，4） ，b（3，0） ，c（0，3） m到ab，cd的距离相等，oboc，oaod，点d的坐标为（0，1） ，在 rtbco中，bc22oboc32，331obod，在bce中，bc2+ce2222(3 2)(1 0)( 43) 18220 222(3 1)(04)20be 222bccebebce是 rt3 232bcce，obbcodce，即obodbcce，rtbodrtbce，得cbeobd，因此 sin（）sin（dbcobd）sinobc22cobc（3）oboc，odoa，dobaoc dobaocrtcoartbce，此时点p1（0，0） 过a作ap2ac交y正半轴于p2，则 rtcap2rtbce，2cpacbebc22(0 1)( 30)10ac 2102 53 2cp2103cp22101333opcpocp2（0，13） 过c作cp3ac交x正半轴于p3，则 rtp3cartbce，3apacbece22(0 1)( 34)2ce 3102 52ap210ap3210 19opapoa p3（9，0） 故在坐标轴上存在三个点p1（0，0） ，p2（0，13） ，p3（9，0） ，使得以p、a、c为顶点的三角形与bce相似【点睛】本题主要考查二次函数与圆、相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键.2525抛物线抛物线2:f yxbxc的图象经过坐标原点的图象经过坐标原点o，且与，且与x轴另交点为轴另交点为3,03. .（1 1）求抛物线）求抛物线f的解析式；的解析式；（2 2）如图）如图1，直线，直线3:03l yxm m与抛物线与抛物线f相交于点相交于点11,a x y和点和点22,b xy（点（点a在在第二象限第二象限） ，求，求21yy的值（用含的值（用含m的式子表示的式子表示） ；（3 3）在在（2 2）中中，若若43m ，设点设点a是点是点a关于原点关于原点o的对称点的对称点，如图如图2. .平面内是否存在点平面内是否存在点p，使得以点使得以点a、b、a、p为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点p的坐标；若不存在的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由. .【答案【答案】 （1）y=x2+33x； （2）y2y1=233m（m0） ； （3）存在符合题意的点 p，且以点a、b、a、p 为顶点的菱形分三种情况，点 p 的坐标为（23，23） 、 （2 33，103）和（2 33，2） 【解析【解析】 （1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线f的解析式；（2）将直线l的解析式代入抛物线f的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2-y1的值；（3）根据m的值可得出点a、b的坐标，利用对称性求出点a的坐标利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出ab、aa、ab的值，由三者相等即可得出aab为等边三角形；结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点p，设点p的坐标为（x，y） ，分三种情况考虑： （i）当ab为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点p的坐标； （ii）当ab为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点p的坐标； （iii）当aa为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点p的坐标综上即可得出结论【详解】 （1）抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（-33，0） ，130330bcc，解得：330bc，抛物线f的解析式为y=x2+33x（2）将y=33x+m代入y=x2+33x，得：x2=m，解得：x1=m，x2=m，y1=133m+m，y2=133m+m，y2y1=（133m+m）（133m+m）=233m（m0） （3）m=43，点a的坐标为（2 33，23） ，点b的坐标为（2 33，2） 点a是点a关于原点o的对称点，点a的坐标为（2 33，23） 由两点距离公式可得：aa=ab=ab=83，存在符合题意的点p， 且以点a、b、a、p为顶点的菱形分三种情况， 设点p的坐标为（x，y） （i）当ab为对角线时，有2 32 323323xy，解得：2 323xy，点p的坐标为（23，23） ；（ii）当ab为对角线时，有2 3322233xy ，解得：2 33103xy ，点p的坐标为（2 33，103） ；（iii）当aa为对角线时，有2 3322233xy ，解得：2 332xy ，点p的坐标为（2 33，2） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）将一次函数解析式代入二次函数解析式中求出x1、x2的值； （3）利用勾股定理（两点间的距离公式）求出ab、aa、ab的值；可知存在符合题意的点p，且以点a、b、a、p为顶点的菱形有三种情况，分ab为对角线、ab为对角线及aa为对角线三种情况求出点p的坐标2626已知已知：如图如图，抛物线抛物线 y=y=34x x2 2+bx+c+bx+c 与与 x x 轴交于轴交于 a(-1a(-1，0)0)、b b 两点两点（a a 在在 b b 左左） ，y y 轴交于轴交于点点 cc（0 0，-3-3） （1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）若点）若点 d d 是线段是线段 bcbc 下方抛物线上的动点，求四边形下方抛物线上的动点，求四边形 abcdabcd 面积的最大值；面积的最大值；（3 3）若点）若点 e e 在在 x x 轴上，点轴上，点 p p 在抛物线上是否存在以在抛物线上是否存在以 b b、cc、e e、p p 为顶点且以为顶点且以 bcbc 为一边的为一边的平行四边形？若存在，求出点平行四边形？若存在，求出点 p p 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由【答案【答案】 （1）239344yxx； （2）272； （3）p1（3，-3） ，p2（3412，3） ，p3（3412，3）.【解析】【解析】试题分析： （1）将,a c的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式（2）根据,b c的坐标，易求得直线bc的解析式由于aboc、都是定值，则abc的面积不变，若四边形abcd面积最大，则bdc的面积最大；过点d作dmy轴交bc于m，则3,34mxx，可得到当bdc面积有最大值时，四边形abcd的面积最大值.（3）本题应分情况讨论：过c作x轴的平行线，与抛物线的交点符合p点的要求，此时,p c的纵坐标相同， 代入抛物线的解析式中即可求出p点坐标；将bc平移，令c点落在x轴（即e点） 、b点落在抛物线（即p点）上；可根据平行四边形的性质，得出p点纵坐标（,p c纵坐标的绝对值相等） ，代入抛物线的解析式中即可求得p点坐标试题解析： （1）把( 10)03ac，代入234yxbxc，可以求得934bc ，2393.44yxx（2）过点d作dmy轴分别交线段bc和x轴于点mn、，在2393.44yxx中，令0y ，得1241.xx， 4 0 .b，设直线bc的解析式为,ykxb可求得直线bc的解析式为：33.4yxs四边形 abcd11155 3402.222abcadcssdmdm 设239,3 ,44d xxx3,3 .4mxx223393333 .4444dmxxxxx 当2x 时，dm有最大值3.此时四边形 abcd 面积有最大值27.2（3）如图所示，12334134133 ,3 ,3 .22ppp，2727如图，在平面直角坐标系中有抛物线如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ya a（x x2 2）2 22 2 和和y ya a（x xh h）2 2，抛物线，抛物线y ya a（x x2 2）2 22 2 经过原点，与经过原点，与x x轴正半轴交于点轴正半轴交于点a a，与其对称轴交于点，与其对称轴交于点b b；点；点p p是抛物线是抛物线y ya a（x x2 2）2 22 2 上一动点上一动点，且点且点p p在在x x轴下方轴下方，过点过点p p作作x x轴的垂线交抛物线轴的垂线交抛物线y ya a（x xh h）2 2于点于点d d， 过点过点d d作作pdpd的垂线交抛物线的垂线交抛物线y ya a（x xh h）2 2于点于点d d （不与点不与点d d重合重合） ， 连接连接pdpd，设点设点p p的横坐标为的横坐标为mm：（1 1）直接写出直接写出a a的值；的值；直接写出抛物线直接写出抛物线y ya a（x x2 2）2 22 2 的函数表达式的一般式；的函数表达式的一般式；（2 2）当抛物线）当抛物线y ya a（x xh h）2 2经过原点时，设经过原点时，设pddpdd与与oaboab重叠部分图形周长为重叠部分图形周长为l l：求求pddd的值；的值；直接写出直接写出l l与与mm之间的函数关系式；之间的函数关系式；（3 3）当当h h为何值时为何值时，存在点存在点p p，使以点使以点oo、a a、d d、d d为顶点的四边形是菱形？直接写出为顶点的四边形是菱形？直接写出h h的值的值【答案【答案】 （1）12；y212x2x；（2）1；l2(22) (02)21(2 21)4(24)2mmmm；（3）h2 3【解析【解析】 （1）将x0，y0 代入ya（x2）22 中计算即可；y212x2x；（2）将（0，0）代入ya（xh）2中，可求得a12，y12x2，待定系数法求ob、ab的解析式，由点p的横坐标为m，即可表示出相应线段求解；（3）以点o、a、d、d为顶点的四边形是菱形，ddoa，可知点d的纵坐标为 2，再由adoa4 即可求出h的值【详解】解： （1）将x0，y0 代入ya（x2）22 中，得：0a（02）22，解得：a12；y212x2x； （2）抛物线ya（xh）2经过原点，a12；y12x2，a（4，0） ，b（2，2） ，易得：直线ob解析式为：yx，直线ab解析式为：yx4如图 1，222111,2,( ,0),( ,),222p mmmd mme mf mm dmm，221122 ,222pdmmmm ddmpd2m1dd2m如图 1，当 0m2 时，loe+ef+of2(22)mmmm，当 2m4 时，如图 2，设pd交x轴于g，交ab于h，pd交x轴于e，交ab于f，则222111,2,( ,0),( ,4),222p mmmd mme mf m mdmm，2211(4)23422pfmmmmm ，22223 22mm2 2,pgm2 2m2422fhphpf ddegegpeddpd，即：egpdpedd，得：eg（2m）（2m12m2）2meg2m12m2，ef4mleg+ef+fh+gheg+ef+pg2212242 222mmmmm 221m(2 21)m42 2(22)m(0m 2)21m(2 21)m4(2m4)2l；（3）如图 3，oadd为菱形adaodd4，pd2，2 3pa 2 3h 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法2828综合与探究综合与探究如图，抛物线如图，抛物线与与 轴交于轴交于、两点，与两点，与 轴交于点轴交于点 . .（1 1）求抛物线解析式：）求抛物线解析式：（2 2）抛物线对称轴上存在一点）抛物线对称轴上存在一点，连接，连接、，当，当值最大时，求点值最大时，求点 h h 坐标：坐标：（3 3）若抛物线上存在一点）若抛物线上存在一点，当，当时，求点时，求点 坐标：坐标：（4 4）若点）若点 mm 是是平分线上的一点，点平分线上的一点，点 是平面内一点，若以是平面内一点，若以 、 、 、 为顶点的四边形为顶点的四边形是矩形，请直接写出点是矩形，请直接写出点 坐标坐标. .【答案【答案】 （1）； （2）点； （3）； （4），【解析【解析】 （1）把 a、b 两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出 a、b 的值即可得答案； （2）连接 ac，延长 ac 交抛物线对称轴与 h，由 a、c 两点坐标可得直线 ac 的解析式，根据抛物线解析式可得对称轴方程，根据 a、c、h 三点在一条直线时，的值最大，即可得答案； （3）由 c 点坐标可得abc 和abp 的高为 4，可得 p 点纵坐标 n=4，把 n=4代入抛物线解析式求出 m 的值，根据 mn0 即可得 p 点坐标； （4）设bac 的角平分线与 y轴交于 e 点，过点 e 作 efac，根据角平分线的性质可证明afeaoe，可得出 af 的长，利用勾股定理可求出 oe 的长，可得 e 点坐标，进而利用待定系数法可求出直线 ae 的解析式，分两种情况：当abm1=90时，m1n1=ab，an1=bm，m1bx 轴，可得点 m1的横坐标，代入 ae 的解析式可得点 m1的纵坐标，即可得出 bm 的长，进而可得 n1点坐标；当am2b=90时，可知n2ba=bae，过 n2作 n2gx 轴，根据点 e 坐标可得bae 的正弦值和余弦值，即可求出 bn2的长，利用n2ba 的正弦和余弦可求出 n2g 和 bg 的长，进而可得 og 的长，即可得 n2坐标；综上即可得答案.【详解】 （1）a（-3，0） ，b（4，0） ，点 a、b 在抛物线上，解得：，抛物线的解析式为：y= x2- x-4.（2）连接 ac，延长 ac 交抛物线对称轴与 h，抛物线解析式为 y= x2- x-4，与 轴交于点 cc（0，-4） ，对称轴为直线 x=- = ，ac，a、c、h 在一条直线上时取最小值，设直线 ac 的解析式为 y=kx+b,，解得：，直线 ac 的解析式为 y=x-4，当 x= 时，y=，h 点坐标为（ ，）.（3）sabc=sabp， ab oc= ab，=4，当 n=4 时，4= m2- m-4，解得 m=，mn0，m=，p 点坐标为（，4）当 n=-4 时，-4= m2- m-4，解得：m=1 或 m=0，mn0，m=1 或 m=0 均不符合题意，综上：p 点坐标为（，4）.（4）设bac 的角平分线交 y 轴于 e，过 e 作 efac 于 f，a（-3，0） ，b（4，0） ，c（0，-4） ，ab=7，ac=5，oa=3，oc=4，ae 为bac 的角平分线，oe=ef，又ae=ae，aoefae，af=oa=3，fc=5-3=2，ef2+fc2=ce2，即 oe2+22=(4-oe)2，解得：oe= ，点 e 在 y 轴负半轴，e 点坐标为（0，- ） ，设直线 ae 的解析式为 y=kx+b，解得：直线 ae 的解析式为 y=，当abm1=90时，anmb 是矩形，m1n1=ab=7，an1=bm，m1bx 轴，an1x 轴，x=4 时，y=，点 n1坐标为（-3，）.当am2b=90时，过 n2作 n2gx 轴，am2bn2是矩形，n2ba=bae，oa=3，oe= ，ae=，sinbae= ，cosbae=，sinn2ba = ，cosn2ba=bn2=ab cosn2ba=，n2g=bn2sinn2ba= ，bg=bn2cosn2ba= ，ob-bg=- ，点 n2坐标为（- ， ）.综上所述：点 n 的坐标为 n1（-3，） ，n2（- ， ）.【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，矩形的性质，三角函数的应用，综合性较强，注意分类思想的运用是解题关键.2929如图如图
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