2021年中考数学压轴题考点训练圆的有关性质与计算pdf含解析202102071110.pdf
2021年中考数学压轴题考点训练pdf含解析打包18套
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2021年中考数学压轴题考点训练pdf含解析打包18套,文本
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【考考点点 1 1】垂垂径径定定理理【例例 1 1】 （2 20 01 19 9湖湖北北中中考考真真题题）如如图图，一一条条公公路路的的转转弯弯处处是是一一段段圆圆弧弧 ，点点o是是这这段段弧弧所所在在圆圆的的圆圆心心，40abm，点点c是是ab的的中中点点，且且10cdm，则则这这段段弯弯路路所所在在圆圆的的半半径径为为（）a a25mb b24mcc30md d60m【答答案案】a【解解析析】【分析】根据题意，可以推出adbd20，若设半径为r，则odr10，obr，结合勾股定理可推出半径r的值【详解】解：ocab，20addbm，在rt aod中，222oaodad，设半径为r得：2221020rr，解得：25rm，这段弯路的半径为25m故选：a【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出od、ob的长度【变式【变式 1-11-1】 （20192019四川中考真题四川中考真题）如图如图，abab，acac分别是分别是oo的直径和弦的直径和弦，odac于于点点d d，连接，连接bdbd，bcbc，且，且10ab ，8ac ，则，则bdbd的长为（的长为（）a a2 5b b4 4cc2 13d d4.84.8【答案】【答案】c【解析】【解析】【分析】先根据圆周角定理得acb=90，则利用勾股定理计算出 bc=6，再根据垂径定理得到142cdadac，然后利用勾股定理计算 bd 的长【详解】ab为直径，90acb，22221086bcabac，odac，142cdadac，在rt cbd中，22462 13bd 故选c【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论： 半圆 （或直径） 所对的圆周角是直角， 90的圆周角所对的弦是直径 也考查了垂径定理【变式【变式 1-21-2】 （20192019四川中考真题）如图，四川中考真题）如图，o的直径的直径ab垂直于弦垂直于弦cd，垂足是点，垂足是点e，22.5caoo，6oc，则，则cd的长为的长为( () )a a6 2b b3 2cc6 6d d1212【答案】【答案】a【解析】【解析】【分析】先根据垂径定理得到cede，再根据圆周角定理得到245boca o，可得oce为等腰直角三角形，所以23 22ceoc，从而得到cd的长【详解】cdab，ab 为直径，cede，boc 和a 分别为bc所对的圆心角和圆周角，a=22.5，22 22.545boca oo，oce为等腰直角三角形，oc=6，2263 222ceoc，26 2cdce.故选 a【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧【考点【考点 2 2】弧、弦、圆心角之间的关系】弧、弦、圆心角之间的关系【例【例 2 2】 （20192019四川自贡四川自贡中考真题中考真题）如图如图，o中中，弦弦ab与与cd相交于点相交于点e, ,abcd, ,连接连接adbc、. .求证：求证：adbc；aece. .【答案【答案】 （1）见解析； （2）见解析.【解析】【解析】【分析】（1）由 ab=cd 知=ab cd，即adacbcac，据此可得答案；（2）由adbc知 ad=bc，结合ade=cbe，dae=bce 可证adecbe，从而得出答案【详解】证明（1）ab=cd，=ab cd，即adacbcac，adbc；（2）adbc，ad=bc，又ade=cbe，dae=bce，adecbe（asa） ，ae=ce【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等【变式【变式 2-12-1】 （20182018黑龙江中考真题）如图，在黑龙江中考真题）如图，在oo 中，中，adadococ 于于 d d求证：求证：ab=2adab=2ad【答案】【答案】证明见解析【解析】【解析】【分析】延长 ad 交 o 于 e,可得、ab=ae，可得出结论.【详解】延长 ad 交o 于 e，ocad，ae=2ad，ab=ae，ab=2ad【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.【变式【变式 2-22-2】 （20192019江苏中考真题）如图，江苏中考真题）如图，oo 的弦的弦 abab、cdcd 的延长线相交于点的延长线相交于点 p p，且，且 ababcdcd求证求证 papapcpc【答案】【答案】见解析.【解析】【解析】【分析】连接 ac，由圆心角、弧、弦的关系得出abcd，进而得出adcb，根据等弧所对的圆周角相等得出ca，根据等角对等边证得结论【详解】解：如图，连接ac.abcd，abcd.abbdcddb，即adcb.ca .papc.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键【考点【考点 3 3】圆周角定理及其推论】圆周角定理及其推论【例【例 3 3】 （20192019陕西中考真题）如图，陕西中考真题）如图，abab 是是oo 的直径，的直径，efef，ebeb 是是oo 的弦，且的弦，且 ef=ebef=eb，efef 与与 abab 交于点交于点 cc，连接，连接 ofof，若，若aof=40aof=40，则，则f f 的度数是（的度数是（）a a2020b b3535cc4040d d5555【答案】【答案】b【解析】【解析】【分析】连接 fb，由邻补角定义可得fob=140，由圆周角定理求得feb=70，根据等腰三角形的性质分别求出ofb、efb 的度数，继而根据efoebf-ofb 即可求得答案.【详解】连接 fb，则fob=180-aof=180-40=140，feb12fob=70，fobo，ofbobf=(180-fob)2=20，efeb，efbebf=(180-feb)2=55，efoebf-ofb=55-20=35，故选 b.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【变式【变式 3-13-1】 （20192019北京中考真题北京中考真题）已知锐角已知锐角aobaob 如图如图， （1 1）在射线在射线 oaoa 上取一点上取一点 cc，以以点点 oo 为圆心，为圆心，ococ 长为半径作长为半径作pq，交射线，交射线 obob 于点于点 d d，连接，连接 cdcd；（2 2）分别以点）分别以点 cc，d d 为圆心，为圆心，cdcd 长为半径作弧，交长为半径作弧，交pq于点于点 mm，n n；（3 3）连接）连接 omom，mnmn根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）a acom=com=codcodb b若若 om=mnom=mn，则，则aob=20aob=20ccmnmncdcdd dmn=3cdmn=3cd【答案】【答案】d【解析】【解析】【分析】由作图知 cm=cd=dn，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得【详解】解：由作图知 cm=cd=dn，com=cod，故 a 选项正确；om=on=mn，omn 是等边三角形，mon=60，cm=cd=dn，moa=aob=bon=13mon=20，故 b 选项正确；moa=aob=bon=20，ocd=ocm=80，mcd=160，又cmn=12aon=20，mcd+cmn=180，mncd，故 c 选项正确；mc+cd+dnmn，且 cm=cd=dn，3cdmn，故 d 选项错误；故选：d【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点【变式【变式 3-23-2】 （20192019湖北中考真题湖北中考真题）如图如图，点点a，b，c均在均在o上上，当当40obc时时，a的度数是（的度数是（）a a50b b55cc60d d65【答案】【答案】a【解析】【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出boc的度数，然后根据圆周角定理可得到a的度数【详解】oboc，40ocbobc，1804040100boc- - -，1502aboc故选 a【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半【考点【考点 4 4】圆内接四边形】圆内接四边形【例【例 4 4】 （20192019贵州中考真题）如图，四边形贵州中考真题）如图，四边形abcdabcd为为oo的内接四边形，的内接四边形，a a100100，则则dcedce的度数为的度数为_；【答案】【答案】100【解析】【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的性质，即可解答【详解】四边形abcd为o的内接四边形，dcea100，故答案为 100【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，难度不大【变式【变式 4-14-1】 （20192019甘肃中考真题甘肃中考真题）如图如图，四边形四边形abcd内接于内接于o，若若40a ，则则c（）a a110b b120cc135d d140【答案】【答案】d【解析】【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算c 的度数【详解】四边形 abcd 内接于o，a400，c18004001400，故选 d.【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补【变式【变式 4-24-2】 （20192019四川中考真题）如图，正五边形四川中考真题）如图，正五边形abcde内接于内接于o，p为为de上的一点上的一点（点（点p不与点不与点d重合重合） ，则，则cpd的度数为（的度数为（）a a30b b36cc60d d72【答案】【答案】b【解析】【解析】【分析】根据圆周角的性质即可求解.【详解】连接 co、do，正五边形内心与相邻两点的夹角为 72，即cod=72，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故cpd=172362,故选 b.【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.【考点【考点 5 5】正多边形和圆】正多边形和圆【例【例 5 5】 （20192019山东中考真题山东中考真题）如图如图，五边形五边形 abcdeabcde 是是oo 的内接正五边形的内接正五边形， afaf 是是oo的直径，则的直径，则 bdfbdf 的度数是的度数是_【答案】【答案】54【解析】【解析】【分析】连接 ad，根据圆周角定理得到adf=90，根据五边形的内角和得到abc=c=108，求得abd=72，由圆周角定理得到f=abd=72，求得fad=18，于是得到结论【详解】连接 ad，af 是o 的直径，adf=90，五边形 abcde 是o 的内接正五边形，abc=c=108，abd=72，f=abd=72，fad=18，cdf=daf=18，bdf=36+18=54，故答案为 54【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题【变式【变式 5-15-1】 （20192019山东中考真题）若正六边形的内切圆半径为山东中考真题）若正六边形的内切圆半径为 2 2，则其外接圆半径为，则其外接圆半径为_【答案】【答案】4 33【解析】【解析】【分析】根据题意画出草图，可得 og=2，60oab，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径oa.【详解】解：如图，连接oa、ob，作ogab于g；则2og ，六边形abcdef正六边形，oab是等边三角形，60oab，24 3sin60332ogoa ，正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为4 33故答案为4 33【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.【变式【变式 5-25-2】 （20192019陕西中考真题陕西中考真题）若正六边形的边长为若正六边形的边长为 3 3，则其较长的一条对角线长为则其较长的一条对角线长为_._.【答案】【答案】6.【解析】【解析】【分析】根据正六边形的半径就是其外接圆半径，则最长的对角线就是外接圆的直径，据此进行求解即可.【详解】正六边形的中心角为3606=60，aob 是等边三角形，ob=ab=3，be=2ob=6，即正六边形最长的对角线为 6，故答案为：6.【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确把握正六边形的中心角、半径与正六边形的最长对角线的关系是解题的关键.【考点【考点 6 6】弧长和扇形的面积计算（含阴影部分面积计算）】弧长和扇形的面积计算（含阴影部分面积计算）【例【例 6 6】 （20192019广西中考真题广西中考真题）如图如图，abc是是o的内接三角形的内接三角形，ab为为o直径直径，6ab ，ad平分平分bac，交，交bc于点于点e，交，交o于点于点d，连接，连接bd（1 1）求证：）求证：badcbd；（2 2）若）若125aeb，求，求bd的长（结果保留的长（结果保留） 【答案【答案】 （1）见解析； （2）bd的长76【解析】【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接od，根据平角定义得到55aec，根据圆周角定理得到35ace，得到270bodbad ，根据弧长公式即可得到结论.【详解】（1）证明：ad平分bac，cadbad，cadcbd，badcbd；（2）解：连接od，125aeb，55aec，ab为o直径，90ace，35cae，35dabcae，270bodbad ，bd的长70371806【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心， 圆周角定理， 弧长的计算， 正确的识别图形是解题的关键.【变式【变式 6-16-1】 （20192019湖北中考真题）如图，等边三角形湖北中考真题）如图，等边三角形abc的边长为的边长为 2 2，以，以a为圆心，为圆心，1 1 为为半径作圆分别交半径作圆分别交ab，ac边于边于d，e，再以点再以点c为圆心为圆心，cd长为半径作圆交长为半径作圆交bc边于边于f，连连接接e，f，那么图中阴影部分的面积为，那么图中阴影部分的面积为_._.【答案】【答案】331224.【解析】【解析】【分析】过a作ambc于m，enbc于n，根据等边三角形的性质得到3322ambc23 ，求得1322enam，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论【详解】过a作ambc于m，enbc于n，等边三角形abc的边长为 2，60bacbacb ，332322ambc，1aoae，,adbd aece，1322enam，图中阴影部分的面积()abccefbcdadedcfsssss扇形扇形1232 60136012311303323222360 331224，故答案为：331224【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键【变式【变式 6-26-2】 （20192019四川中考真题）如图，在四川中考真题）如图，在aoc中，中，31oacmoccm，将，将aocaoc 绕绕点点oo 顺时针旋转顺时针旋转90后得到后得到bod， 则则 a acc 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 （）2cma a2b b2cc178d d198【答案】【答案】b【解析】【解析】【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积扇形 oab 的面积扇形 ocd 的面积，利用扇形的面积公式即可求解【详解】解：aocbod，阴影部分的面积扇形 oab 的面积扇形 ocd 的面积229039012360360故选：b【点睛】考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积扇形 oab 的面积扇形 ocd 的面积是解题关键【考点【考点 7 7】与圆锥有关的计算】与圆锥有关的计算【例【例 7 7】 （20192019湖南中考真题湖南中考真题）如图如图，在等腰在等腰abc中中，120bac，adad 是是bac的角平的角平分线，且分线，且6ad ，以点，以点 a a 为圆心，为圆心，adad 长为半径画弧长为半径画弧 efef，交，交 abab 于点于点 e e，交，交 acac 于点于点 f f，（1 1）求由弧）求由弧 efef 及线段及线段 fcfc、cbcb、bebe 围成图形（图中阴影部分）的面积；围成图形（图中阴影部分）的面积；（2 2） 将阴影部分剪掉将阴影部分剪掉， 余下扇形余下扇形 aefaef， 将扇形将扇形 aefaef 围成一个圆锥的侧面围成一个圆锥的侧面， aeae 与与 afaf 正好重合正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高 h h【答案【答案】 （1）36 312； （2）4 2h .【解析】【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到adbc，bdcd，则可计算出bd6 3，然后利用扇形的面积公式， 利用由弧ef及线段fc、 cb、 be围成图形 （图中阴影部分） 的面积abceaf=ss扇形进行计算； （2）设圆锥的底面圆的半径为 r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到120 62r180 ，解得r2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高 h【详解】在等腰abc中，bac120，b30，ad 是bac的角平分线，adbc，bdcd，bd3ad6 3，bc2bd12 3，由弧 ef 及线段 fc、cb、be 围成图形（图中阴影部分）的面积2abceaf1120 6=ss6 12 336 312 2360 扇形.（2）设圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得120 62r180 ，解得r2，这个圆锥的高22h624 2【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式【变式【变式 7-17-1】 （20192019广西中考真题）已知圆锥的底面半径是广西中考真题）已知圆锥的底面半径是 1 1，高是，高是15，则该圆锥的侧面，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是展开图的圆心角是_度度【答案】【答案】90【解析】【解析】【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为 4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解【详解】解：设圆锥的母线为 a，根据勾股定理得，a4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，根据题意得n421180 ，解得90n，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90故答案为 90【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长【变式【变式 7-27-2】 （20192019辽宁中考真题）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为辽宁中考真题）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216，母线长为，母线长为 5 5，该圆锥的底面半径为该圆锥的底面半径为_【答案】【答案】3【解析】【解析】【分析】设该圆锥的底面半径为 r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到21652180r，然后解关于r的方程即可【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得21652180r，解得3r 故答案为 3【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长【变式【变式 7-37-3】 （20192019西藏中考真题西藏中考真题）如图如图，从一张腰长为从一张腰长为90cm，顶角为顶角为120的等腰三角形铁的等腰三角形铁皮皮oab中剪出一个最大的扇形中剪出一个最大的扇形ocd，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗不计损耗） ，则该圆锥的底面半径为（则该圆锥的底面半径为（）a a15cmb b12cmcc10cmd d20cm【答案】【答案】a【解析】【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到oe的长，再利用弧长公式计算出弧cd的长，设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r【详解】过o作oeab于e，90120oaobcmaob，30ab，1452oeoacm，弧cd的长1204530180，设圆锥的底面圆的半径为r，则230r，解得15r故选：a【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长【达标训练】一、单选题一、单选题1 1 （20192019山东中考真题）如图，山东中考真题）如图，abc是是o的内接三角形，的内接三角形，119a ，过点，过点c的圆的切的圆的切线交线交bo于点于点p，则，则p的度数为（的度数为（）a a3232b b3131cc2929d d6161【答案】【答案】a【解析】【解析】【分析】根据题意连接 oc，cop为直角三角形， 再根据 bc 的优弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，可计算的cop的度，再根据直角三角形可得p的度数.【详解】根据题意连接 oc.因为119a 所以可得 bc 所对的大圆心角为2 119238boc因为 bd 为直径，所以可得23818058cod由于cop为直角三角形所以可得905832p故选 a.【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的 2 倍.2 2 （20192019广西中考真题广西中考真题）如图如图，, ,a b c d是是o上的点上的点，则图中与则图中与a相等的角是相等的角是（）a abb bcccdebd dd【答案】【答案】d【解析】【解析】【分析】直接利用圆周角定理进行判断【详解】解：a与d都是bc所对的圆周角，da 故选：d【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3 3 （20192019吉林中考真题吉林中考真题）如图如图， 在在o中中，ab所对的圆周角所对的圆周角050acb，若若p为为ab上一点上一点，055aop，则，则pob的度数为（的度数为（）a a3030b b4545cc5555d d6060【答案】【答案】b【解析】【解析】【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出aob 的度数，进而由角的和差求得结果【详解】解：acb=50，aob=2acb=100，aop=55，pob=45，故选：b【点睛】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2 信倍4 4 （20192019山东中考真题山东中考真题）如图如图，bc是半圆是半圆o的直径的直径，d，e是是bc上两点上两点，连接连接bd，ce并延长交于点并延长交于点a，连接，连接od，oe，如果，如果70a，那么，那么doe的度数为（的度数为（）a a35b b38cc40d d42【答案】【答案】c【解析】【解析】【分析】连接 cd，由圆周角定理得出bdc=90，求出acd=90-a=20，再由圆周角定理得出doe=2acd=40即可，【详解】连接 cd，如图所示：bc 是半圆 o 的直径，bdc=90，adc=90，acd=90-a=20，doe=2acd=40，故选 c【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键5 5 （20192019贵州中考真题）如图，半径为贵州中考真题）如图，半径为 3 3 的的a a 经过原点经过原点 oo 和点和点 cc（0 0，2 2） ，b b 是是 y y 轴左轴左侧侧a a 优弧上一点，则优弧上一点，则 tantanobcobc 为（为（ ）a a13b b2 22cc24d d2 23【答案】【答案】c【解析】【解析】试题分析：连结 cd，可得 cd 为直径，在 rtocd 中，cd=6，oc=2，根据勾股定理求得 od=4所以 tancdo=，由圆周角定理得，obc=cdo，则 tanobc=，故答案选c考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义6 6（20192019甘肃中考真题甘肃中考真题） 如图如图， abab 是是oo 的直径的直径， 点点 cc、 d d 是圆上两点是圆上两点， 且且aocaoc126126，则则cdbcdb（）a a5454b b6464cc2727d d3737【答案】【答案】c【解析】【解析】【分析】由aoc126，可求得boc 的度数，然后由圆周角定理，求得cdb 的度数【详解】解：aoc126，boc180aoc54，cdb12boc27故选：c【点睛】此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半7 7 （20182018贵州中考真题）如图，已知圆心角贵州中考真题）如图，已知圆心角aob=110aob=110，则圆周角，则圆周角acb=acb=（）a a5555b b110110cc120120d d125125【答案】【答案】d【解析】【解析】分析：根据圆周角定理进行求解一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半详解：根据圆周角定理，得acb=12（360-aob）=12250=125故选 d点睛：此题考查了圆周角定理注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系8 8 （20192019浙江中考真题）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为浙江中考真题）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 2 的正六的正六边形边形. .则原来的纸带宽为（则原来的纸带宽为（）a a1 1b b2cc3d d2 2【答案】【答案】c【解析】【解析】【分析】结合题意标上字母，作bgac，根据题意可得：abc是边长为 2 的等边三角形，等边三角形的高为原来的纸带宽度，在rt bga中，根据勾股定理即可求得答案.【详解】如图，作bgac，依题可得：abc是边长为 2 的等边三角形，在rt bga中，2ab ，1ag ，3bg ，即原来的纸宽为3.故答案为：c.【点睛】本题考查正多边形和圆：把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆熟练掌握正六边形的性质9 9 （20192019浙江中考真题）如图，已知正五边形浙江中考真题）如图，已知正五边形abcde内接于内接于o，连结，连结bd，则，则abd的的度数是（度数是（）a a60b b70cc72d d144【答案】【答案】c【解析】【解析】【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出abc、cd=cb，根据等腰三角形的性质求出cbd，计算即可【详解】五边形abcde为正五边形1552180108abcc cdcb181(8326)010cbd 72abdabccbd故选：c【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）180是解题的关键1010 （20192019宁夏中考真题宁夏中考真题）如图如图，正六边形正六边形abcdef的边长为的边长为 2 2，分别以点分别以点,a d为圆心为圆心，以以,ab dc为半径作扇形为半径作扇形abf，扇形，扇形dce则图中阴影部分的面积是（则图中阴影部分的面积是（）a a46 33b b86 33cc412 33d d412 33【答案】【答案】b【解析】【解析】【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积， 从而可以解答本题【详解】解：正六边形abcdef的边长为 2，正六边形abcdef的面积是：22sin60366 26 322 ，120fabedc ，图中阴影部分的面积是：2120286 326 33603，故选：b【点睛】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答1111 （20192019江苏中考真题江苏中考真题）如图如图，正六边形的边长为正六边形的边长为 2 2，分别以正六边形的六条边为直径向分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的外作半圆，与正六边形的外接圆围成的 6 6 个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）a a6 3b b6 32cc6 3d d6 32【答案】【答案】a【解析】【解析】【分析】图中阴影部分面积等于 6 个小半圆的面积和 （大圆的面积正六边形的面积） 即可得到结果【详解】解：6 个月牙形的面积之和21326236 32 ，故选 a【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键1212 （20192019山东中考真题）如图，在边长为山东中考真题）如图，在边长为 4 4 的正方形的正方形abcd中，以点中，以点b为圆心，为圆心，ab为半为半径画弧，交对角线径画弧，交对角线bd于点于点e，则图中阴影部分的面积是（结果保留，则图中阴影部分的面积是（结果保留） （）a a8b b162cc82d d182【答案】【答案】c【解析】【解析】【分析】根据s阴sabds扇形bae计算即可【详解】214544 4822360abdbaesss 阴扇形，故选：c【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积1313 （20192019浙江中考真题浙江中考真题）若扇形的圆心角为若扇形的圆心角为 9090，半径为半径为 6 6，则该扇形的弧长为则该扇形的弧长为（）a a32b b2cc3d d6【答案】【答案】c【解析】【解析】【分析】根据弧长公式计算即可【详解】解：该扇形的弧长9063180.故选 c【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：180n rl（弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 r） 1414 （20192019湖南中考真题湖南中考真题） 一个扇形的半径为一个扇形的半径为 6 6， 圆心角为圆心角为 120120， 则该扇形的面积是则该扇形的面积是( () )a a2 2 b b4 4 cc1212 d d2424 【答案】【答案】c【解析】【解析】【分析】根据扇形的面积公式 s=2360n r计算即可【详解】s=2120612360，故选 c【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式 s=2360n r是解题的关键1515 （20192019浙江中考真题浙江中考真题）如图如图，abc内接于圆内接于圆o，65b，70c，若若2 2bc ，则弧则弧bc的长为（的长为（）a ab b2cc2d d2 2【答案】【答案】a【解析】【解析】【分析】连接 ob，oc首先证明obc 是等腰直角三角形，求出 ob 即可解决问题【详解】连接 ob，oca=180-abc-acb=180-65-70=45，boc=90，bc=22，ob=oc=2，bc的长为902180=，故选 a【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识1616 （20192019山东中考真题）如图，点山东中考真题）如图，点 a a、b b，cc，d d 在在oo 上，上，ababacac，a a4040，bdbdacac，若，若oo 的半径为的半径为 2 2则图中阴影部分的面积是（则图中阴影部分的面积是（）a a2332b b233cc4332d d432【答案】【答案】b【解析】【解析】【分析】连接 bc、od、ob，先证bod 是等边三角形，再根据阴影部分的面积是 s扇形 bod-sbod计算可得【详解】如图所示，连接 bc、od、ob，a40，abac，acb70，bdac，abda40，acdabd40，bcd30，则bod2bcd60，又 odob，bod 是等边三角形，则图中阴影部分的面积是 s扇形 bodsbod26023603422233，故选 b【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点二、填空题二、填空题1717 （20192019广西中考真题广西中考真题） 九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著著，与古希腊的与古希腊的几何原本几何原本并称现代数学的两大源泉并称现代数学的两大源泉在在九章算术九章算术中记载有一问题中记载有一问题“今今有圆材埋在壁中有圆材埋在壁中，不知大小不知大小以锯锯之以锯锯之，深一寸深一寸，锯道长一尺锯道长一尺，问径几何？问径几何？”小辉同学根据原小辉同学根据原文题意文题意，画出圆材截面图如图所示画出圆材截面图如图所示，已知已知：锯口深为锯口深为 1 1 寸寸，锯道锯道1ab 尺尺（1 1 尺尺1010 寸寸） ，则则该圆材的直径为该圆材的直径为_寸寸【答案】【答案】26【解析】【解析】【分析】设o的半径为r，在rt ado中，5,1,adodroar，则有222(5) 1rr，解方程即可.【详解】设o的半径为r在rt ado中，5,1,adodroar，则有222(5) 1rr，解得13r ，o的直径为 26 寸，故答案为 26【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.1818 （20192019江苏中考真题江苏中考真题）如图如图，点点a a、b b、cc在在oo上上，bcbc6 6，bacbac3030，则则oo的半径为的半径为_【答案】【答案】6【解析】【解析】【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是 60的等腰三角形是等边三角形求解【详解】解：连接 ob,ocboc2bac60，又 oboc，boc 是等边三角形obbc6，故答案为 6【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质1919 （20192019安徽中考真题）如图，安徽中考真题）如图，abcabc 内接于内接于oo，cab=30cab=30，cba=45cba=45，cdcdabab 于点于点 d d，若，若oo 的半径为的半径为 2 2，则，则 cdcd 的长为的长为_【答案】【答案】2【解析】【解析】【分析】连接 oa，oc，根据coa=2cba=90可求出 ac=2 2，然后在 rtacd 中利用三角函数即可求得 cd 的长.【详解】解：连接 oa，oc，coa=2cba=90，在 rtaoc 中，ac=2222222 2oaoc，cdab，在 rtacd 中，cd=acsincad=12 222，故答案为2.【点睛】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.2020 （20192019辽宁中考真题）如图，辽宁中考真题）如图，acac是是oo的直径，的直径，b b，d d是是oo上的点，若上的点，若oo的半径的半径为为 3 3，adbadb3030，则，则bc的长为的长为_【答案】【答案】2【解析】【解析】【分析】根据圆周角定理求出aob，得到boc 的度数，根据弧长公式计算即可【详解】解：由圆周角定理得，aob2adb60，boc18060120，bc的长12032180，故答案为：2【点睛】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键2121 （20192019湖南中考真题湖南中考真题） 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12（弦（弦矢矢+ +矢矢2 2） 孤田是由圆弧和其所对的孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分弦围成（如图中的阴影部分） ，公式中，公式中“弦弦”指圆弧所对弦长，指圆弧所对弦长，“矢矢”等于半径长与圆心到弦等于半径长与圆心到弦的距离之差的距离之差， 运用垂径定理运用垂径定理 （当半径当半径oc弦弦ab时时，oc平分平分ab） 可以求解可以求解 现已知弦现已知弦8ab 米，半径等于米，半径等于 5 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_平方米平方米【答案】【答案】10【解析】【解析】【分析】根据垂径定理得到4ad，由勾股定理得到223odoaad，求得2oaod，根据弧田面积12（弦矢+矢2）即可得到结论【详解】解：弦8ab 米，半径oc 弦ab，4ad，223odoaad，2oaod，弧田面积12（弦矢+矢2）218 22102，故答案为：10【点睛】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答2222 （20192019江苏中考真题）如图，点江苏中考真题）如图，点a、b、c、d、e在在o上，且弧上，且弧ab为为50，则，则ec _【答案】【答案】155【解析】【解析】【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧ab对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得ec .【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧ab为50，所以3=50.顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角， 而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：112e,122c，11112360336050155222ec .【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.2323 （20192019甘肃中考真题甘肃中考真题）如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，已知已知d经过原点经过原点o，与与x轴轴、y轴轴分别交于分别交于a、b两点，点两点，点b坐标为坐标为(0,2 3)，oc与与d交于点交于点c，30oca，则圆中阴影，则圆中阴影部分的面积为部分的面积为_【答案】【答案】22 3【解析】【解析】【分析】由圆周角定理可得30obac， 在 rtaob 中， 利用解直角三角形求出 oa、 ab 的长，然后根据 s阴=s半-sabo求解即可.【详解】连接ab，90aob，ab是直径，根据同弧对的圆周角相等得30obac，2 3ob ，3tantan302 323oaobaboob，sin304abao，即圆的半径为 2，2212 2 322 322abosss 阴影半圆故答案为：22 3【点睛】本题考查了： 同弧对的圆周角相等； 90的圆周角对的弦是直径； 锐角三角函数的概念；圆、直角三角形的面积分式熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.2424 （20192019湖北中考真题湖北中考真题）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在他在九章算术九章算术中提出了中提出了“割圆术割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图如图，若用圆的内接正若用圆的内接正十二边形的面积十二边形的面积1s来近似估计来近似估计o的面积的面积s，设，设o的半径为的半径为 1 1，则，则1ss_._.【答案】【答案】3【解析】【解析】【分析】如图，过点 a 作 acob，垂足为 c，先求出圆的面积，再求出abc 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案.【详解】如图，过点 a 作 acob，垂足为 c，o的半径为 1，o的面积s，oa=ob=1，圆的内接正十二边形的中心角为aob=3603012，ac=12ob=12，saob=12obac=14，圆的内接正十二边形的面积 s1=12saob=3，则13ss，故答案为：3【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键2525 （20192019江苏中考真题江苏中考真题）如图如图，acac 是是oo 的内接正六边形的一边的内接正六边形的一边，点点 b b 在弧在弧 acac 上上，且且bcbc 是是oo 的内接正十边形的一边，若的内接正十边形的一边，若 abab 是是oo 的内接正的内接正 n n 边形的一边，则边形的一边，则 n=_n=_ . .【答案】【答案】15.【解析】【解析】【分析】连接 ob，先求得aob 的度数，然后利用 360除以aob 度数，根据所得的结果进行分析即可得.【详解】连接 ob，ac 是o 的内接正六边形的一边，aoc=3606=60，bc 是o 的内接正十边形的一边，boc=36010=36，aob=60-36=24，即 360n=24，n=15，故答案为：15.【点睛】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形2626（20192019重庆中考真题重庆中考真题） 如图如图， 在菱形在菱形 abcdabcd 中中， 对角线对角线 acac， bdbd 交于点交于点 oo， abc=60abc=60，ab=2ab=2，分别以点分别以点 a a、点点 cc 为圆心为圆心，以以 aoao 的长为半径画弧分别与菱形的边相交的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影则图中阴影部分的面积为部分的面积为_ （结果保留（结果保留）【答案】【答案】22 33【解析】【解析】【分析】根据菱形的性质得到 acbd，ab0=12abc=30，bad=bcd=120，根据直角三角形的性质求出 ac、bd，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.【详解】解：四边形 abcd 是菱形，acbd，ab0=12abc=30，bad=bcd=120ao=12ab=1，由勾股定理得，223obaboa又ac=2，bd=23，调影部分的面积为：21120122 2 322 323603 故答案为：22 33【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.2727 （20192019浙江中考真题浙江中考真题） 如图如图，一个圆锥形冰激凌外壳一个圆锥形冰激凌外壳 （不计厚度不计厚度）. .已知其母线长为已知其母线长为12cm，底面圆半径为底面圆半径为3cm，则这个冰激凌外壳的侧面积等于，则这个冰激凌外壳的侧面积等于_2cm（计算结果精确到个位）（计算结果精确到个位）. .【答案】【答案】113.【解析】【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式srl侧，代入题中数据，即可得到答案.【详解】根据题中数据，结合圆锥侧面积公式得：3 123636 3.14113.04113srl 侧【点睛】本题考查求圆锥侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式.2828 （20192019山东中考真题）如图，山东中考真题）如图，oo 为为 rtrtabcabc 直角边直角边 acac 上一点，以上一点，以 ococ 为半径的为半径的oo 与斜边与斜边 abab 相切于点相切于点 d d，交，交 oaoa 于点于点 e e，已知，已知 bc=bc=3，ac=3ac=3则图中阴影部分的面积是则图中阴影部分的面积是_【答案】【答案】6【解析】【解析】【分析】首先利用勾股定理求出ab的长，再证明bdbc，进而由adabbd可求出ad的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出a的度数，则圆心角doa的度数可求出，在直角三角形oda中求出od的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积【详解】解：在rt abc中，3bc ，3ac 222 3abacbc，bcoc，bc是圆的切线，o与斜边ab相切于点d，bdbc，2 333adabbd；在rt abc中，31sin22 3bcaab，30a，o与斜边ab相切于点d，odab，9060aoda ，tantan30odaad，d333o，1od ，26013606s阴影故答案是：6【点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键三、解答题三、解答题2929 （20192019天津中考真题天津中考真题）已知已知pa，pb分别与分别与o相切于点相切于点a，b，80apb，c为为o上一点上一点（）如图）如图，求，求acb的大小；的大小；（）如图）如图，ae为为o的直径，的直径，ae与与bc相交于点相交于点d，若，若abad，求，求eac的大小的大小【答案【答案】 （）50acb； （）20eac.【解析】【解析】【分析】（）连接 oa、ob，根据切线的性质得到oap=obp=90，根据四边形内角和等于360计算；（）连接 ce，根据圆周角定理得到ace=90，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可【详解】解： （）如图，连接oaob，papb，是o的切线，oapa，obpb即90oapobp 80apb，在四边形oapb中，360100aoboapobpapb在o中，12acbaob，50acb（）如图，连接ceae为o的直径，90ace由（）知，50acb，40bceaceacb 40baebce 在abd中，abad，1(180)702adbabdbae 又adb是adc的一个外角，有eacadbacb ，20eac【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键3030 （20192019黑龙江中考真题黑龙江中考真题）图图 1.21.2 是两张形状和大小完全相同的方格纸是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小方格纸中每个小正方形的边长均为正方形的边长均为 1 1，线段，线段ac的两个端点均在小正方形的顶点上；的两个端点均在小正方形的顶点上；（1 1）在图）在图 1 1 中画出以中画出以ac为底边的等腰直角为底边的等腰直角abc，点，点b在小正方形顶点上在小正方形顶点上； （2 2）在图）在图 2 2 中中画出以画出以ac为腰的等腰为腰的等腰acd，点，点d在小正方形的顶点上，且在小正方形的顶点上，且acd的面积为的面积为 8.8.【答案【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析；【解析】【解析】【分析】（1）由题可知，点 b 满足,90babcabc这两个条件，babc说明点 b 在 ac 的垂直平分线上，90abc说明点 b 在以 ac 为直径的圆上，故可作ac的垂直平分线及以ac为直径的圆，其交点即为所求； （2）由题可知，点 d 满足 ca=cd，故可以c为圆心，ac为半径作圆，交于一格点 d，经计算acd的面积为 8，故点 d 即为所求.【详解】解； （1）作ac的垂直平分线，作以ac为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点b；（2）以c为圆心，ac为半径作圆，格点即为点d；【点睛】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图， 正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键.3131 （20192019河南中考真题河南中考真题）如图如图，在在abc中中，babc，90abc，以以 abab 为直径的半为直径的半圆圆 oo 交交 acac 于点于点 d d，点，点 e e 是是bd上不与点上不与点 b b，d d 重合的任意一点，连接重合的任意一点，连接 aeae 交交 bdbd 于点于点 f f，连，连接接 bebe 并延长交并延长交 acac 于点于点 gg（1 1）求证：）求证：adfbdg ；（2 2）填空：）填空：若若=4ab，且点，且点 e e 是是bd的中点，则的中点，则 dfdf 的长为的长为；取取ae的中点的中点 h h，当，当eab的度数为的度数为时，四边形时，四边形 obehobeh 为菱形为菱形【答案【答案】 （1）见解析（2）42 230【解析】【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得90adbaeb ，再应用同角的余角相等可得dafdbg ，易得adbd，adfbdg 得证；（2）作fhab，应用等弧所对的圆周角相等得baedae ，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得=be ob，结合三角函数特殊值可得30eab【详解】解： （1）证明：如图 1，babc，90abc，45bacab 是o的直径，90adbaeb ，90dafbgddbgbgd dafdbg 90abdbac 45abdbac adbd()adfbdgasa ；（2）如图 2，过 f 作fhab于 h，点 e 是bd的中点，baedae fdad，fhabfhfd2sinsin452fhabdbf，22fdbf，即2bffd4ab q，4cos452 2bd，即2 2bffd，( 21)2 2fd2 242 221fd故答案为42 2连接 oe，eh，点 h 是ae的中点，ohae，90aebbeaebeoh四边形 obeh 为菱形，12beohobab1sin2beeabab30eab故答案为：30【点睛】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理3232 （20192019江苏中考真题）如图，在江苏中考真题）如图，在 rtrtabcabc 中，中，acb=90acb=90，a=30a=30，bc=1bc=1，以，以边边 acac 上一点上一点 oo 为圆心，为圆心，oaoa 为半径的为半径的oo 经过点经过点 b b(1)(1)求求oo 的半径；的半径；(2)(2)点点 p p 为为ab中点，作中点，作 pqpqacac，垂足为，垂足为 qq，求，求 oqoq 的长；的长；(3)(3)在在(2)(2)的条件下，连接的条件下，连接 pcpc，求，求 tantanpcapca 的值的值【答案】【答案】(1)o 的半径为2 33；(2)33oq ；(3)3tan2pca【解析】【解析】【分析】(1)若连接 ob，则bco 是一个含 30角的直角三角形，aob 是底角为 30的等腰三角形，可得obc=30，再根据特殊角的三角函数值求得 ob；(2) 连接 op，设 ab 与 qp 交于点 m，根据题中条件证得qpo=a=30，再根据特殊角的三角函数值求得 oq；(3)可在 rtpcq 中解决，分别计算出两条直角边，即可求出 tanpca 的值【详解】(1)连接 ob，如图oa=ob，abo=a=30，acb=90，a=30，abc=60，obc=30，在 rtobc 中，cosbcobcob，即1cos30ob ，解得2 33ob ，即o 的半径为2 33；(2)连接 op，设 ab 与 qp 交于点 m，点 p 为ab的中点，opab，qpo+pmb=90，pqac，a+amq=90，又amq=pmb，qpo=a=30，在 rtopq 中，sinoqqpoop，即sin302 33oq ，2 313323oq (3)在 rtobc 中，2 33ob ，obc=30，acb=903sin30=3ocob，2 33cqcooq，3tan2pqpcacq【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3333 （20192019广西中考真题广西中考真题）如图如图，五边形五边形abcde内接于内接于o，cf与与o相切于点相切于点c，交交ab延长线于点延长线于点f（1 1）若）若,aedcebcd ，求证：，求证：debc；（2 2）若）若2,45obabbddaf，求，求cf的长的长【答案【答案】 （1）见解析； （2）22cf .【解析】【解析】【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出aedc，由圆周角定理得出ade=dbc，证明adedbc，即可得出结论；（2）连接 co 并延长交 ab 于 g，作 ohab 于 h，则ohg=ohb=90，由切线的性质得出fcg=90， 得出cfg、 ogh 是等腰直角三角形， 得出 cf=cg， og=2oh，由等边三角形的性质得出obh=30，由直角三角形的性质得出 oh=12ob=1，og=2，即可得出答案【详解】（1）证明：aedc，aedc，adedbc，在ade和dbc中，adedbcebcdaedc ，()adedbc aas，debc；（2）解：连接co并延长交ab于g，作ohab于h，如图所示：则90ohgohb ，cf与o相切于点c，90fcg，45f，cfg、ogh是等腰直角三角形，,2cfcg ogoh，abbdda，abd是等边三角形，60abd，30obh，112ohob，2og ，22cfcgocog【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键3434 （20192019辽宁中考真题辽宁中考真题）如图如图 1 1，四边形四边形abcd内接于圆内接于圆o，ac是圆是圆o的直径的直径，过点过点a的的切线与切线与cd的延长线相交于点的延长线相交于点p且且apcbcp （1 1）求证：）求证：2bacacd ；（2 2）过图）过图 1 1 中的点中的点d作作deac，垂足为，垂足为e（如图（如图 2 2） ，当，当6bc ，2ae 时，求圆时，求圆o的半的半径径【答案【答案】 （1）见解析； （2）134【解析】【解析】【分析】（1）作 dfbc 于 f，连接 db，根据切线的性质得到pac=90，根据圆周角定理得到adc=90，得到dbc=dcb，得到 db=dc，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可；（2）根据垂径定理求出 fc，证明deccfd，根据全等三角形的性质得到 de=fc=3，根据射影定理计算即可【详解】（1）证明：作dfbc于f，连接db，ap是圆o的切线，90pac，即90pacp，ac是圆o的直径，90adc，即90pcadac，pdacdbc，apcbcp ，dbcdcb ，dbdc，dfbc，df是bc的垂直平分线，df经过点o，odoc，odcocd ，2bdcodc ，22bacbdcodcocd ；（2）解：df经过点o，dfbc，132fcbc，在dec和cfd中，dcefdcdeccfddccd ，deccfd()aas3defc，90adc，deac，2deaeec，则292deecae，913222ac ，圆o的半径为134【点睛】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键3535（20192019内蒙古中考真题内蒙古中考真题） 如图如图， 在在o中中，b是是o上的一点上的一点，120abc， 弦弦2 3ac ，弦弦bm平分平分abc交交ac于点于点d，连接，连接,ma mc（1 1）求）求o半径的长；半径的长；（2 2）求证：）求证：abbcbm【答案【答案】 （1）o的半径为2 （2）见解析.【解析】【解析】【分析】（1）连接 oa、oc，过 o 作 ohac 于点 h，由圆内接四边形的性质求得amc，再求得aoc，最后解直角三角形得 oa 便可；（2）在 bm 上截取 be=bc，连接 ce，证明 bc=be，再证明acbmce，得 ab=me，进而得结论【详解】解： （1）连接oaoc、，过o作ohac于点h，如图 1，120abc，18060amcabc，2120aocamc ，1602aohaoc，132ahac，2sin60ahoa，故o的半径为2（2）证明：在bm上截取bebc，连接ce，如图 2，120abc，bm平分abc60abmcbm ，60 ,mbcbebc，ebc是等边三角形，,60cecbbebce，60bcddce，60acm，60ecmdce，ecmbcd ，60 ,60camcbmacmabm acm是等边三角形，accm，acbmce ，abme，meebbm，abbcbm【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求aoc 的度数，第二题的关键在于构造全等三角形3636 （20192019江苏中考真题江苏中考真题）如图如图，abab 是是oo 的弦的弦，过点过点 oo 作作 ococoaoa，ococ 交于交于 abab 于于 p p，且且 cp=cbcp=cb（1 1）求证：）求证：bcbc 是是oo 的切线；的切线；（2 2）已知）已知bao=25bao=25，点，点 qq 是弧是弧 a ammb b 上的一点上的一点. .求求aqbaqb 的度数；的度数；若若 oa=18oa=18，求弧，求弧 a ammb b 的长的长. .【答案【答案】 （1）见解析； （2）aqb=65，l弧 amb=23.【解析】【解析】【分析】(1)连接 ob，根据等腰三角形的性质得到oab=oba，cpb=cbp，再根据pao+apo=90，继而得出obc=90，问题得证；(2)根据等腰三角形的性质可得abo=25，再根据三角形内角和定理可求得aob 的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；根据弧长公式进行计算即可得.【详解】(1)连接 ob，cp=cb，cpb=cbp，oaoc，aoc=90，oa=ob，oab=oba，pao+apo=90，abo+cbp=90，obc=90，bc 是o 的切线；(2)bao=25 ，oa=ob，oba=bao=25，aob=180-bao-oba=130，aqb=12aob=65；aob=130，ob=18，l弧 amb=360 13018018（）=23.【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3737 （20192019江苏中考真题江苏中考真题） （材料阅读材料阅读）: :地球是一个球体地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一任意两条相对的子午线都组成一个经线圈个经线圈（如图如图1中的中的o） 人们在北半球可观测到北极星人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中我国古人在观测北极星的过程中发明了如图发明了如图2所示的工具尺所示的工具尺（古人称它为古人称它为“复矩复矩”） ，尺的两边互相垂直尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的的大小是变化的（实际应用（实际应用）: :观测点观测点a在图在图 1 1 所示的所示的o上上，现在利用这个工具尺在点现在利用这个工具尺在点a处测得处测得为为31，在在点点a所在子午线往北的另一个观测点所在子午线往北的另一个观测点b，用同样的工具尺测得，用同样的工具尺测得为为67pq是是o的直径，的直径，pqon（1 1）求）求pob的度数；的度数；（2 2）已知）已知6400op kmkm，求这两个观测点之间的距离即，求这两个观测点之间的距离即o上上ab的长的长 （取取3.1）【答案【答案】 （1）67pob； （2）3968ab（km） 【解析】【解析】【分析】（1）设点 b 的切线 cb 交 on 延长线于点 e，hdbc 于 d，chbh 交 bc 于点 c，则dhc=67，证出hbd=dhc=67，由平行线的性质得出beo=hbd=67，由直角三角形的性质得出boe=23，得出pob=90-23=67；（2）同（1）可证poa=31，求出aob=pob-poa=36，由弧长公式即可得出结果【详解】（1）设点b的切线cb交on延长线于点e，hdbc于d，chbh交cb于点c，如图所示：则67dhc，90hbdb
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