2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十二抛物线含解析新人教B版202012011250.doc
2021版高考数学一轮复习核心素养测评含解析打包69套新人教B版
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2021版高考数学一轮复习核心素养测评含解析打包69套新人教b版,文本
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核心素养测评 五十二抛物线(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020丹东模拟)经过抛物线y2=12x的焦点f,作圆(x-1)2+(y-2)2=8的切线l,则l的方程为()a.x+y-3=0b.x+y-3=0或x=3c.x-y-3=0d.x-y-3=0或x=3【解析】选c.抛物线y2=12x的焦点f(3,0),圆的圆心为(1,2),圆的半径为2,设切线l的方程为x=my+3,则(1,2)到切线l的距离d=2,解得m=1.所以切线l的方程为x-y-3=0.2.已知抛物线y2=4x的焦点为f,准线为l,点p为抛物线上一点,且在第一象限,pal,垂足为a,|pf|=3,则直线af的斜率为()a.b.-c.d.-【解析】选b.如图,抛物线y2=4x的焦点为f(1,0),由|pf|=3,得|pa|=3,则xp=2,代入y2=4x,得yp=2.所以a(-1,2),所以kaf=-.3.(多选)(2020青岛模拟)已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,直线l的斜率为且经过点f,直线l与抛物线c交于点a,b两点(点a在第一象限)、与抛物线的准线交于点d,若|af|=4,则以下结论正确的是()a.p=2b.f为ad中点c.|bd|=2|bf|d.|bf|=2【解析】选abc.如图,f,直线l的斜率为,则直线方程为y=,联立得12x2-20px+3p2=0.解得:xa=p,xb=p,由|af|=p+=2p=4,得p=2.所以抛物线方程为y2=4x.xb=p=,则|bf|=+1=;|bd|=,所以|bd|=2|bf|,|bd|+|bf|=+=4,则f为ad中点.所以结论正确的是a,b,c.4.(2020上饶模拟)已知点f是抛物线x2=4y的焦点,点p为抛物线上的任意一点,m(1,2)为平面上一点,则|pm|+|pf|的最小值为()a.3b.2c.4d.2【解析】选a.抛物线标准方程为x2=4y,即p=2,故焦点f(0,1),准线方程y=-1,过p作pa垂直于准线,垂足为a,过m作ma0垂直于准线,垂足为a0,交抛物线于p0,则|pm|+|pf|=|pa|+|pm|a0m|=3(当且仅当p与p0重合时取等号).5.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点p引抛物线准线的垂线,垂足为m,若|pm|=4,设抛物线的焦点为f,则直线pf的斜率为()a.b. c.d.2【解析】选c.设p(x0,y0),依题意可知抛物线准线x=-1,所以x0=4-1=3,所以y0=2,所以p(3,2),f(1,0).所以直线pf的斜率为k=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点p(-3,3),过点m(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于a,b两点,设直线pa,pb的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=_.【解析】设过点m的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设a,b,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,则k1+k2=+=+=+=+=-1.答案:-17.抛物线c:y2=2x的焦点坐标是_,经过点p(4,1)的直线l与抛物线c相交于a,b两点,且点p恰为ab的中点,f为抛物线的焦点,则|+|=_.【解析】由抛物线c:y2=2x,得2p=2,p=1,则=,所以抛物线的焦点f.过a作am准线,bn准线,pk准线,m、n、k分别为垂足,则由抛物线的定义可得|am|+|bn|=|af|+|bf|.再根据p为线段ab的中点,有(|am|+|bn|)=|pk|=,所以|af|+|bf|=9,答案:98.(2020保定模拟)已知抛物线y2=2px(p0)经过点m(1,2),直线l与抛物线交于相异两点a,b,若mab的内切圆圆心为(1,t),则直线l的斜率为_.世纪金榜导学号【解析】将点m(1,2)代入y2=2px,可得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,由题意知,直线l斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=my+n(m0),代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,又由mab的内切圆圆心为(1,t),可得kma+kmb=+=+=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l的斜率为-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知抛物线y2=2x与直线l:x=ty+2相交于a,b两点,点o是坐标原点.(1)求证:oaob.(2)当oab的面积等于2时,求t的值.【解析】(1)由 整理得y2-2ty-4=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-4.所以=x1x2+y1y2=y1y2+=(-4)+=0,所以,即oaob.(2)设l:x=ty+2与x轴交于点e,则e(2,0),所以|oe|=2,soab=|oe|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|=2,解得t=.10.(2020淄博模拟)已知圆o:x2+y2=4,抛物线c:x2=2py(p0).世纪金榜导学号(1)若抛物线c的焦点f在圆o上,且a为抛物线c和圆o的一个交点,求|af|.(2)若直线l与抛物线c和圆o分别相切于m,n两点,设m(x0,y0),当y03,4时,求|mn|的最小值.【解析】(1)依题意f在圆x2+y2=4上,所以0+=4,解得p=4,所以抛物线c的方程为:x2=8y,联立 消去x得y2+8y-4=0,解得y=-4+2(负值舍去),所以|af|=y-=-4+2+2=2-2.(2)依题意设切线l的方程为y-y0=(x-x0),得py-py0=x0x-,又因为=2py0,所以x0x-py-py0=0,由|on|=2,得|py0|=2=2,所以p=且4,所以|mn|2=|om|2-4=+-4=2py0+-4=+-4=-4+16,设t=-45,12,则|mn|2=t+16,所以t=8,即y0=2时,|mn|取得最小值为4.(15分钟35分)1.(5分)设抛物线y2=8x上一点p到y轴的距离是2,则点p到该抛物线焦点的距离是()a.1b.2c.3d.4【解析】选d.抛物线的标准方程为y2=8x,则抛物线的准线方程为x=-2.又因为点p到y轴的距离是2,则点p到准线的距离为4,根据抛物线的定义可得:点p到该抛物线焦点的距离是4.2.(5分)抛物线y=x2上一点m到x轴的距离为d1,到直线-=1的距离为d2,则d1+d2的最小值为()a.b.c.3d.2【解析】选d.因为点m到抛物线x2=4y的准线的距离为d1+1等于m到抛物线x2=4y的焦点的距离|mf|,则d1+d2+1的最小值即为焦点f到直线-=1的距离.由题意知f(0,1),所以(d1+d2)min=-1=2.【变式备选】已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,准线为l,p是l上一点,q是直线pf与c的一个交点,若=2,则|qf|=()a.8b.4c.6d.3【解析】选d.设q到l的距离为d,则|qf|=d,因为=2,所以|pq|=3d,所以直线pf的斜率为2,因为f(1,0),所以直线pf的方程为y=2(x-1),与y2=4x联立可得x=2(另一根舍去),所以|qf|=d=1+2=3.3.(5分)(2019葫芦岛模拟)已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,过点f分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线c交于a,b两点,直线l2与抛物线c交于m,n点,若l1与直线l2的斜率的乘积为-1,则|ab|+|mn|的最小值为()世纪金榜导学号a.14b.16c.18d.20【解析】选b.可得f(1,0),又可知l1,l2的斜率都存在.设直线l1的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),m(x3,y3),n(x4,y4),所以|ab|=x1+x2+p=+2=4+,因为l1与l2的斜率的乘积为-1,所以l2的斜率为-,同理可得|mn|=x3+x4+p=+2=4+4k2,所以|ab|+|mn|=4+4+4k2=8+4k28+2=16.当且仅当k=1时取等号.4.(10分)已知点m为直线l1:x=-1上的动点,n,过m作直线l1的垂线l,l交mn的中垂线于点p,记点p的轨迹为c.世纪金榜导学号(1)求曲线c的方程.(2)若直线l2:y=kx+m与圆e:+y2=6相切于点d,与曲线c交于a,b两点,且d为线段ab的中点,求直线l2的方程.【解析】(1)由已知可得,=,即点p到定点n的距离等于它到直线l1的距离,故点p的轨迹是以n为焦点,l1为准线的抛物线,所以曲线c的方程为y2=4x.(2)设a,b,d,由得k2x2+x+m2=0,所以x1+x2=,所以x0=,y0=kx0+m=,即d,因为直线l2与圆e:+y2=6相切于点d,又圆心e(3,0),所以=6,且del2,从而+=6,kde=-1,即:,整理可得=2,即k=,所以m=0,故直线l2的方程为y=x或y=-x.5.(10分)(2019保定模拟)已知抛物线e:y2=8x,直线l:y=kx-4.世纪金榜导学号(1)若直线l与抛物线e相切,求直线l的方程.(2)设q(4,0),k0,直线l与抛物线e交于不同的两点a(x1,y1),b(x2,y2),若存在点c,使得四边形oacb为平行四边形(o为原点),且acqc,求x2的取值范围.【解析】(1)根据题意,抛物线e:y2=8x,直线l:y=kx-4,联立可得 整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,若直线l与抛物线e相切,则k0且=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-,所以,所求的直线方程为y=-x-4.(2)根据题意,联立直线与抛物线的方程,有可得k2x2-8(k+1)x+16=0,因为k0,所以=64(k+1)2-64k20,则有x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)-8=,因为四边形oacb为平行四边形,则=+=(x1+x2,y1+y2)=,即c,因为acqc,则kackqc=-1.又kqc=,又kac=kob=k-,所以=-1,所以=k+2,又由k0,则=k+22+2=2(+1),当且仅当k=时等号成立,此时0x24(-1).故x2的取值范围为(0,4(-1).1.已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,p为抛物线c上一动点,m(3,2),则pmf的周长最小值为世纪金榜导学号()a.4b.1+2+c.3+2d.4+2【解析】选d.如图,抛物线c:y2=4x的焦点为f(1,0),准线方程为x=-1.过m作准线的垂线,交抛物线于p,则pmf的周长最小.最小值为4+=4+2.2.在直角坐标系xoy中,抛物线c:y2=4x的焦点为f,准线为l,p为c上一点,pq垂直l于点q,m,n分别为pq,pf的中点,直线mn与x轴交于点r,若nfr=60,则|nr|=()世纪金榜导学号a.2b.c.2d.3【解析】选a.根据题意,如图所示:连接mf,qf,抛物线的
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