2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十四圆锥曲线的最值问题含解析新人教B版202012011255.doc
2021版高考数学一轮复习核心素养测评含解析打包69套新人教B版
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2021版高考数学一轮复习核心素养测评含解析打包69套新人教b版,文本
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核心素养测评 五十四圆锥曲线的最值问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知f1,f2分别为椭圆c的两个焦点,p为椭圆上任意一点.若的最大值为3,则椭圆c的离心率为()a.b.c. d.【解析】选b.p点到椭圆c的焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,又的最大值为3,所以=3,所以e=.2.直线l是抛物线x2=2y在点(-2,2)处的切线,点p是圆x2-4x+y2=0上的动点,则点p到直线l的距离的最小值等于()a.0b. c.-2d.【解析】选c.抛物线x2=2y,即y=,y=x,在点(-2,2)处的切线斜率为-2,则切线l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0,所以圆心(2,0)到l的距离是=,圆的半径为2,则点p到直线的距离的最小值是-2.3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点p变轨进入以月球球心f为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在p点第二次变轨进入仍然以f为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在p点第三次变轨进入以f为圆心的圆形轨道绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长,给出下列式子: a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2;c1a2a1c2;a2+c2,所以错误;对于,因为椭圆中的a-c是椭圆上的点到焦点的最小距离,所以a1-c1=a2-c2,所以正确;对于,因为由图可以看出椭圆比的离心率大,所以是错误的,正确.4.已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,准线为l,a,b是c上两动点,且afb=(为常数),线段ab中点为m,过点m作l的垂线,垂足为n,若的最小值为1,则=()a.b.c.d.【解析】选c.如图,过点a,b分别作准线的垂线aq,bp,垂足分别是q,p.设|af|=a,|bf|=b,由抛物线定义得|af|=|aq|,|bf|=|bp|.在梯形abpq中,2|mn|=|aq|+|bp|=a+b.在afb中,由余弦定理得|ab|2=a2+b2-2abcos .所以=4=44=2-2cos ,当且仅当=,即a=b时等号成立.因为的最小值为1,所以2-2cos =1,解得cos =,所以=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,已知抛物线c1的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点(3,6),圆c2:x2+y2-6x+8=0,过圆心c2的直线l与抛物线和圆分别交于p,q,m,n,则|pn|+3|qm|的最小值为_.【解析】由题意,抛物线过点(3,6),得抛物线方程y2=12x,设焦点为f(3,0),圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心为(3,0),与抛物线焦点重合.半径r=1.由于直线过焦点,所以有+=,又|pn|+3|qm|=(|pf|+1)+(3|qf|+3)=|pf|+3|qf|+4=3(|pf|+3|qf|)+4=3+416+6.当且仅当|pf|=|qf|时取等号.答案:16+66.已知直线l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点a,b,点p在椭圆+y2=1上运动,则pab面积的最大值为_.【解析】因为l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点a,b,所以a(3,0),b(0,3),因此|ab|=3,又点p在椭圆+y2=1上运动,所以可设p(cos ,sin ),所以点p到直线l的距离为d=(其中tan =),所以spab=|ab|d.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,且长轴长是短轴长的倍.世纪金榜导学号(1)求椭圆的标准方程.(2)设p(2,0),过椭圆左焦点f的直线l交于a、b两点,若对满足条件的任意直线l,不等式(r)恒成立,求的最小值.【解析】(1)依题意,a=b,c=1,a2-b2=c2,解得a2=2,b2=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),则=(x1-2,y1)(x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2.当直线l垂直于x轴时,x1=x2=-1,y1=-y2且=,此时=(-3,y1),=(-3,y2)=(-3,-y1),所以=(-3)2-=;当直线l不垂直于x轴时,由题意设直线l:y=k(x+1),由整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以=x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2=(1+k2)-(k2-2)+4+k2=-0),因为|oa|=,所以=,又因为点a在椭圆上,所以+=1,由解得:或所以a的坐标为或,又因为f的坐标为(0,),所以直线af的方程为y=-x+或y=x+.(2)当a在第一象限时,直线af:y=-x+,设m(x1,y1),n(x2,y2),则两式相减得+=0,因为mn不过原点,所以=-,即kmnkop=-,同理:kabkoq=-,又因为o,p,q在同一条直线上,所以kop=koq,所以kmn=kab=-,设直线mn:y=-x+m,由得5x2-2mx+2m2-18=0,由0,得-m.由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,所以|mn|=|x1-x2|=.又因
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