2022届高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第8节曲线与方程教师用书教案理新人教版202103081249.doc
2022届高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何教案打包12套理新人教版
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2022届高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何教案打包12套理新人教版,2022,高考,数学,统考,一轮,复习,平面,解析几何,教案,打包,12,新人
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命题探秘二高考中的圆锥曲线问题第1课时圆锥曲线中的定点、定值问题技法阐释求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf (x，y)g(x，y)0的形式(k是原方程中的常量)；根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组以中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决. 技法一直接推理解决直线过定点问题典例1(2020临沂、枣庄二模联考)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，其左、右焦点分别为f1，f2，点p为坐标平面内的一点，且|，o为坐标原点(1)求椭圆c的方程；(2)设m为椭圆c的左顶点，a，b是椭圆c上两个不同的点，直线ma，mb的倾斜角分别为，且.证明：直线ab恒过定点，并求出该定点的坐标思维流程解(1)设p点坐标为(x0，y0)，f1(c,0)，f2(c,0)，则(cx0，y0)，(cx0，y0)由题意得解得c23，c.又e，a2.b2a2c21.所求椭圆c的方程为y21.(2)设直线ab方程为ykxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)联立方程消去y得(4k21)x28kmx4m240.x1x2，x1x2.又由，tan tan 1，设直线ma，mb斜率分别为k1，k2，则k1k21，1，即(x12)(x22)y1y2.(x12)(x22)(kx1m)(kx2m)，(k21)x1x2(km2)(x1x2)m240，(k21)(km2)m240，化简得20k216km3m20，解得m2k，或mk.当m2k时，ykx2k，过定点(2,0)，不合题意(舍去)当mk时，ykxk，过定点，直线ab恒过定点.点评：动直线l过定点问题的基本思路设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0) 技法二直接推理解决曲线过定点问题典例2(2019北京高考)已知抛物线c：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线c的方程及其准线方程；(2)设o为原点，过抛物线c的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线c于两点m，n，直线y1分别交直线om，on于点a和点b求证：以ab为直径的圆经过y轴上的两个定点思维流程解(1)由抛物线c：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线c的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明：抛物线c的焦点为f(0，1)，设直线l的方程为ykx1(k0)由 得x24kx40.设m，n，则x1x24.直线om的方程为yx.令y1，得点a的横坐标xa.同理得点b的横坐标xb.设点d(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，则n1或n3.综上，以ab为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)点评：抓住圆的几何特征：“直径所对的圆周角为90”，巧用向量0求得定点坐标，学习中应体会向量解题的工具性 技法三定直线的方程问题典例3已知抛物线c：x22py(p0)的焦点为f，过f且斜率为1的直线与c交于a，b两点，|ab|8.(1)求抛物线c的方程；(2)过点d(1,2)的直线l交c于点m，n，点q为mn的中点，qrx轴交c于点r，且.证明：动点t在定直线上思维流程解(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)因为f，所以过f且斜率为1的直线的方程为yx.由消去y并整理，得x22pxp20，易知0.则x1x22p，y1y2x1x2p3p，所以|ab|y1y2p4p8，解得p2.于是抛物线c的方程为x24y.(2)证明：法一：易知直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x1)2，q(x0，y0)，m，n.由消去y并整理，得x24kx4k80.则(4k)24(4k8)16(k2k2)0，x3x44k，x3x44k8，所以x02k，y0k(x01)22k2k2，即q(2k,2k2k2)由点r在曲线c上，qrx轴，且，得r(2k，k2)，r为qt的中点，所以t(2k，k2)因为2k2(k2)40，所以动点t在定直线x2y40上法二：设t(x，y)，m，n.由得(x3x4)(x3x4)4(y3y4)，所以.设q(x，y5)，则直线mn的斜率k，又k，点q的横坐标x，所以，所以y5x(x1)2.由知点r为qt的中点，所以r.又点r在c上，将代入c的方程得x22(y5y)，即x42y0，所以动点t在定直线x2y40上点评：本题第(2)问给出了探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点t的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点t在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点t的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点r的坐标，再将动点r的坐标代入已知的曲线方程，即得动点t在定直线上 技法四直接推理解决定值问题典例4在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：y21，点p(x1，y1)，q(x2，y2)是椭圆c上两个动点，直线op，oq的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求opq的面积s是不是为定值，并说明理由思维流程解(1)证明：k1，k2均存在，x1x20.又mn0，y1y20，即y1y2，k1k2.(2)当直线pq的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0.点p(x1，y1)在椭圆上，y1，|x1|，|y1|.spoq|x1|y1y2|1.当直线pq的斜率存在时，设直线pq的方程为ykxb.联立得方程组 消去y并整理得(4k21)x28kbx4b240，其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即b20)spoq|pq|b|2|b|1.综合知poq的面积s为定值1.点评：圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得第2课时圆锥曲线中的范围、最值问题技法阐释圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解.(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的范围.高考示例思维过程(2019全国卷)已知点a(2,0)，b(2,0)，动点m(x，y)满足直线am与bm的斜率之积为.记m的轨迹为曲线c(1)求c的方程，并说明c是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pex轴，垂足为e，连接qe并延长交c于点g.证明：pqg是直角三角形；求pqg面积的最大值. 技法一判别式法求范围典例1已知椭圆的一个顶点a(0，1)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点m，n.当|am|an|时，求m的取值范围思维流程解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，联立解得故椭圆的标准方程为y21.(2)设p(x0，y0)为弦mn的中点，m(x1，y1)，n(x2，y2)联立得(4k21)x28kmx4(m21)0.则x1x2，x1x2.(8km)216(4k21)(m21)0，所以m214k2.所以x0，y0kx0m.所以kap.又|am|an|，所以apmn，则，即3m4k21.把代入得m23m，解得0m3.由得k20，解得m.综上可知，m的取值范围为.点评：本例在求解中巧用|am|an|得出apmn，从而建立m与k的等量关系，回代由判别式0得出的m与k的不等关系，进而得出参数m的取值范围 技法二利用函数性质法求最值(范围)典例2已知直线l：xy10与焦点为f的抛物线c：y22px(p0)相切(1)求抛物线c的方程；(2)过焦点f的直线m与抛物线c分别相交于a，b两点，求a，b两点到直线l的距离之和的最小值思维流程解(1)直线l：xy10与抛物线c：y22px(p0)相切，联立消去x得y22py2p0，从而4p28p0，解得p2或p0(舍)抛物线c的方程为y24x.(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为tyx1，a(x1，y1)，b(x2，y2)联立消去x得y24ty40，0，y1y24t，即x1x24t22，线段ab的中点m的坐标为(2t21,2t)设点a到直线l的距离为da，点b到直线l的距离为db，点m到直线l的距离为d，则dadb2d22|t2t1|2，当t时，a，b两点到直线l的距离之和最小，最小值为.点评：本例的求解有两大亮点，一是直线m的设法：tyx1，避免了讨论斜率不存在的情形；另一个是将dadb的最值问题巧妙的转化为ab的中点m到直线l的最值问题，在转化中抛物线的定义及梯形中位线的性质起了关键性作用 技法三利用不等式法求最值(范围)典例3已知点a(0，2)，椭圆e：1(ab0)的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点(1)求e的方程；(2)设过点a的动直线l与e相交于p，q两点，当opq的面积最大时，求l的方程思维流程解(1)设f(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故e的方程为y21.(2)当lx轴时，不合题意，故设l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|pq|x1x2|.又点o到直线pq的距离d.所以opq的面积sopqd|pq|.设t，则t0，sopq1.当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当opq的面积最大时，l的方程为2yx40.点评：基本不等式求最值的五种典型情况分析(1)s(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)(2)s(基本不等式)(3)s(基本不等式)(4)s(先分离参数，再利用基本不等式)(5)s(上下同时除以k2，令tk换元，再利用基本不等式)第3课时圆锥曲线中的证明、探索性问题技法阐释1.圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.2.“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立).高考示例思维过程(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆c：1交于a，b两点，线段ab的中点为m(1，m)(m0).(1)证明：k0)，直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m.(1)证明：直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段om与c交于点p，四边形oapb能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由思维流程解(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xm，ymkxmb.于是直线om的斜率kom，即komk9.所以直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形oapb能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与c有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得om的方程为yx.设点p的横坐标为xp.由得x，即xp.将点的坐标代入直线l的方程得b，因此xm.四边形oapb为平行四边形，当且仅当线段ab与线段op互相平分，即xp2xm.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形oapb为平行四边形点评：本例题干信息中涉及几何图形：平行四边形，把几何关系用数量关系等价转化是求解此类问题的关键几种常见几何条件的转化如下：(1)平行四边形条件的转化几何性质代数实现对边平行斜率相等，或向量平行对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等对角线互相平分中点重合(2)圆条件的转化几何性质代数实现点在圆上点与直径端点向量数量积为零点在圆外点与直径端点向量数量积为正数点在圆内点与直径端点向量数量积为负数(3)角条件的转化几何性质代数实现锐角、直角、钝角角的余弦(向量数量积)的符号倍角、半角、平分角角平分线性质、定理等角(相等或相似)比例线段或斜率两条直线的位置关系考试要求1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20(a1，b1，c1，a2，b2，c2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式(1)平面上的两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的距离公式|p1p2|.特别地，原点o(0,0)与任一点p(x，y)的距离|op|.(2)点p(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d.(3)两条平行线axbyc10与axbyc20间的距离d.直线系方程的常见类型(1)过定点p(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线axbyc0的直线系方程是：axby0(是参数且c)；(3)垂直于已知直线axbyc0的直线系方程是：bxay0(是参数)；(4)过两条已知直线l1：a1xb1yc10和l2：a2xb2yc20的交点的直线系方程是：a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r，但不包括l2)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案(1)(2)(3) (4)二、教材习题衍生1已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()a b2 c1 d1c由题意得1，即|a1|，又a0，a1.2已知p(2，m)，q(m,4)，且直线pq垂直于直线xy10，则m .1由题意知1，所以m42m，所以m1.3若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为 9由得所以点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，所以m9.4已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是 2由两直线平行可知，即m8.两直线方程分别为3x4y30和3x4y70，则它们之间的距离d2. 考点一两条直线的位置关系 由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：a1xb1yc10(ab0)l2：a2xb2yc20(ab0)l1与l2平行的充要条件a1b2a2b10且a1c2a2c1l1与l2垂直的充要条件a1a2b1b20l1与l2相交的充要条件a1b2a2b1l1与l2重合的充要条件a1b2a2b1且a1c2a2c11设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件a当a1时，显然l1l2，若l1l2，则a(a1)210，所以a1或a2.所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件2若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()a b c dd由已知得3(a1)a0，解得a.3已知三条直线l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为()a bc dd三条直线不能构成一个三角形，当l1l3时，m；当l2l3时，m；当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，由得交点为，代入mxy10，得m.故选d点评：解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 考点二两条直线的交点与距离问题 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程2点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等典例1(1)(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()a1 b c d2(2)直线l过点p(1,2)且到点a(2,3)和点b(4,5)的距离相等，则直线l的方程为 (3)已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为p(2,3)，则过两点q1(a1，b1)，q2(a2，b2)的直线方程为 (1)b(2)x3y50或x1(3)2x3y10(1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，1)到直线yk(x1)的距离d.当k0时，d1；当k0时，d，要使d最大，需k0且k最小，当k1时，dmax，故选b法二：记点a(0，1)，直线yk(x1)恒过点b(1,0)，当ab垂直于直线yk(x1)时，点a(0，1)到直线yk(x1)的距离最大，且最大值为|ab|，故选b(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意(3)p(2,3)在已知的两条直线上，点q1(a1，b1)，q2(a2，b2)是直线2x3y1上的两个点，故过q1，q2两点的直线方程为2x3y1.点评：本例(3)在求解中巧妙应用了两点确定一条直线的原理，学习中应反思这个解题要点1若p，q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|pq|的最小值为()a b c dc因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|pq|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|pq|的最小值为.2经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为 x2y70由得l1与l2的交点坐标为(1,3)设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，c7.所求直线方程为x2y70. 考点三对称问题 对称问题的求解方法(1)点关于点：点p(x，y)关于点q(a，b)的对称点p(x，y)满足(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(3)点关于线：点a(a，b)关于直线axbyc0(b0)的对称点a(m，n)，则有(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决中心对称问题典例21过点p(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点p平分，则直线l的方程为 x4y40设l1与l的交点为a(a,82a)，则由题意知，点a关于点p的对称点b(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点a(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.点评：点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解轴对称问题典例22(1)已知直线y2x是abc中角c的平分线所在的直线，若点a，b的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点c的坐标为()a(2,4) b(2，4)c(2,4) d(2，4)(2)已知入射光线经过点m(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点n(2,6)，则反射光线所在直线的方程为 (1)c(2)6xy60(1)设a(4,2)关于直线y2x的对称点为a(x，y)，则解得a(4，2)，由题意知，a在直线bc上，bc所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得则c(2,4)(2)设点m(3,4)关于直线l：xy30的对称点为m(a，b)，则反射光线所在直线过点m，所以解得a1，b0.即m (1,0)又反射光线经过点n(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.点评：在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解1.如图，已知a(4,0)，b(0,4)，从点p(2，0)射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到p点，则光线所经过的路程是()a3 b6 c2 d2c直线ab的方程为xy4，点p(2,0)关于直线ab的对称点为d(4,2)，关于y轴的对称点为c(2，0)，则光线经过的路程为|cd|2.2若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn .由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.圆的方程考试要求1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)圆心，半径提醒：当d2e24f0时，方程x2y2dxeyf0表示一个点；当d2e24f0时，方程x2y2dxeyf0没有意义，不表示任何图形2点与圆的位置关系点m(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若m(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若m(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若m(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线2以a(x1，y1)，b(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tr)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()(3)方程x2y24mx2y0不一定表示圆()(4)若点m(x0，y0)在圆x2y2dxeyf0外，则xydx0ey0f0.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()a(2,3)，3 b(2,3)，c(2，3)，13 d(2，3)，d圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径r.2已知点a(1，1)，b(1,1)，则以线段ab为直径的圆的方程是()ax2y22 bx2y2cx2y21 dx2y24aab的中点坐标为(0,0)，|ab|2，所以圆的方程为x2y22.3过点a(1，1)，b(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()a(x3)2(y1)24 b(x3)2(y1)24c(x1)2(y1)24 d(x1)2(y1)24c设圆心c的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心c在直线xy20上，所以b2a.又|ca|2|cb|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1，b1.所以r2.所以方程为(x1)2(y1)24.4在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为 x2y22x0设圆的方程为x2y2dxeyf0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)， 解得 圆的方程为x2y22x0. 考点一圆的方程 求圆的方程的两种方法1若不同的四点a(5,0)，b(1,0)，c(3,3)，d(a,3)共圆，则a的值为 7设圆的方程为x2y2dxeyf0(d2e24f0)，分别代入a，b，c三点坐标，得解得所以a，b，c三点确定的圆的方程为x2y24xy50.因为d(a,3)也在此圆上，所以a294a2550.所以a7或a3(舍去)即a的值为7.2(2020包头青山区模拟)已知圆c过点a(6,0)，b(1,5)，且圆心在直线l：2x7y80上，则圆c的方程为 (x3)2(y2)213法一：(几何法)kab1，则ab的垂直平分线方程为yx，即xy10，联立方程解得r，故圆c的方程为(x3)2(y2)213.法二：(待定系数法)设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2.由题意可得解得故所求圆c的方程为(x3)2(y2)213.3已知圆c的圆心在直线xy0上，圆c与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为，则圆c的方程为 (x1)2(y1)22法一：由圆c的圆心在直线xy0上，设圆c的圆心为(a，a)又圆c与直线xy0相切，半径r|a|.又圆c在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，d2r2，即2a2，解得a1，圆c的方程为(x1)2(y1)22.法二：设所求圆的方程为x2y2dxeyf0，则圆心为，半径r，圆心在直线xy0上，0，即de0，又圆c与直线xy0相切，即(de)22(d2e24f)，d2e22de8f0.又知圆心到直线xy30的距离d，由已知得d2r2，(de6)2122(d2e24f)，联立，解得故所求圆的方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.4已知ar，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 (2，4)5由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆点评：(1)几何法的关键是定圆心(2)已知圆心位置常设圆的标准形式，已知圆上三点常设圆的一般式(3)涉及圆的弦长问题，一般是利用半弦长、弦心距和半径构成直角三角形求解(4)方程ax2by2cxydxeyf0表示圆的充要条件为ab0，c0，d2e24af0. 考点二与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题斜率型、截距型、距离型最值问题典例11已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图)所以的最大值为，最小值为.图图图(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.点评： 与圆有关的斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解利用对称性求最值典例12已知圆c1：(x2)2(y3)21，圆c2：(x3)2(y4)29，m，n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm|pn|的最小值为()a54 b1 c62 dap是x轴上任意一点，则|pm|的最小值为|pc1|1，同理|pn|的最小值为|pc2|3(图略)，则|pm|pn|的最小值为|pc1|pc2|4.作c1关于x轴的对称点c1(2，3)所以|pc1|pc2|pc1|pc2|c1c2|5，即|pm|pn|pc1|pc2|454.点评：求解形如|pm|pn|(其中m，n均为动点)且与圆c有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决1(2018全国卷)直线xy20分别与x轴、y轴交于a，b两点，点p在圆(x2)2y22上，则abp面积的取值范围是()a2,6 b4,8c，3 d2，3a圆心(2,0)到直线的距离d2，所以点p到直线的距离d1，3根据直线的方程可知a，b两点的坐标分别为a(2,0)，b(0，2)，所以|ab|2，所以abp的面积s|ab|d1d1.因为d1，3，所以s2,6，即abp面积的取值范围是2,62(2020南宁模拟)一束光线从点a(3,2)出发，经x轴反射到圆c：(x2)2(y3)21上的最短路径的长度是()a4 b5 c51 d21c根据题意，设a与a关于x轴对称，且a(3,2)，则a的坐标为(3，2)，又由ac5，则a到圆c上的点的最短距离为51.故这束光线从点a(3,2)出发，经x轴反射到圆c：(x2)2(y3)21上的最短路径的长度是51，故选c 考点三与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解典例2已知直角三角形abc的斜边为ab，且a(1,0)，b(3,0)求：(1)直角顶点c的轨迹方程；(2)直角边bc的中点m的轨迹方程解(1)法一：(直接法)设c(x，y)，因为a，b，c三点不共线，所以y0.因为acbc，所以kackbc1，又kac，kbc，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点c的轨迹方程为x2y22x30(y0)法二：(定义法)设ab的中点为d，由中点坐标公式得d(1,0)，由直角三角形的性质知|cd|ab|2.由圆的定义知，动点c的轨迹是以d(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于a，b，c三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点c的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)(代入法)设m(x，y)，c(x0，y0)，因为b(3,0)，m是线段bc的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点c的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点m的轨迹方程为(x2)2y21(y0)点评：此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误1古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点a，b距离之比是常数(0，1)的点m的轨迹是圆若两定点a，b的距离为3，动点m满足|ma|2|mb|，则点m的轨迹围成区域的面积为()a b2 c3 d4d以a为原点，直线ab为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则b(3,0)设m(x，y)，依题意有2，化简整理得，x2y28x120，即(x4)2y24，则圆的面积为4.故选d2点p(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()a(x2)2(y1)21 b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24 d(x2)2(y1)21a设圆上任一点为q(x0，y0)，pq中点为m(x，y)，根据中点坐标公式得，因为q(x0，y0)在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化为(x2)2(y1)21，故选a直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法(1)三种位置关系：相交、相切、相离(2)两种判断方法：2圆与圆的位置关系设圆o1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆o2：(xa2)2(yb2)2r(r20)位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解1当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程2直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2d2.3圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点m(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(4)过圆o：x2y2r2外一点p(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为a，b，则o，p，a，b四点共圆且直线ab的方程是x0xy0yr2.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()a3，1 b1,3c3,1 d(，31，)c由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()a内切 b相交 c外切 d相离b两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d0，所以直线l与圆相交法二：(几何法)圆心(0,1)到直线l的距离d1r或dr建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解如图，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足drt.如图，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足drt.图 图由图可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足rtdrt.若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足drt.1已知点m(a，b)在圆o：x2y21外，则直线axby1与圆o的位置关系是()a相切 b相交 c相离 d不确定b因为m(a，b)在圆o：x2y21外，所以a2b21，而圆心o到直线axby1的距离d1，所以直线与圆相交2若直线l：xym与曲线c：y有且只有两个公共点，则m的取值范围是 1，)画出图象如图，当直线l经过点a，b时，m1，此时直线l与曲线y有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m，因此当1m时，直线l：xym与曲线y有且只有两个公共点 考点二圆与圆的位置关系 几何法判断圆与圆的位置的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1r2，|r1r2|的值(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论典例2已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.求(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为m(1,3)，n(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，.解得m2510.(2)法一：(作差法)由两式相减得8x6y1m0.又两圆相内切，5，m2510.所求公切线方程为4x3y5130.法二：(直接法)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值故有5，解得m2510.因为kmn，所以两圆公切线的斜率是.设切线方程为yxb，则有.解得b.容易验证，当b时，直线与圆x2y210x12ym0相交，舍去故所求公切线方程为yx，即4x3y5130.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为22.点评：求两圆的公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半径长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解1已知圆m：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆m与圆n：(x1)2(y1)21的位置关系是()a内切 b相交 c外切 d相离b由题意得圆m的标准方程为x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2，圆m，圆n的圆心距|mn|小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交2(2020南通模拟)已知点a(0,2)，o(0,0)，若圆c：(xa)2(ya2)21上存在点m，使3，则圆心c的横坐标a的取值范围为 0,3设m(x，y)，因为a(0,2)，o(0,0)，所以(x,2y)，(x，y)因为3，所以(x)(x)(2y)(y)3，化简得：x2(y1)24，所以m点的轨迹是以(0,1)为圆心，2为半径的圆因为m在c：(xa)2(ya2)21上，所以两圆必须相交或相切所以13，解得0a3.所以圆心c的横坐标a的取值范围为0,3 考点三直线、圆的综合问题 几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题切线问题典例31已知点p(1,2)，点m(3,1)，圆c：(x1)2(y2)24.(1)求过点p的圆c的切线方程；(2)求过点m的圆c的切线方程，并求出切线长解由题意得圆心c(1,2)，半径r2.(1)(11)2(22)24，点p在圆c上又kpc1，切线的斜率k1.过点p的圆c的切线方程是y(2)x(1)，即xy120.(2)(31)2(12)254，点m在圆c外部当过点m的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点c(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心c到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点m的圆c的切线方程为x30或3x4y50.|mc|，过点m的圆c的切线长为1.点评：(1)已知切点常用“圆心与切点的连线垂直于切线”这个条件求解，也可利用向量法求解：如图o是圆心，a是切点，p是切线l上任意一点，则0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程提醒：过圆上一点有且
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