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2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法第1课时学案含解析新人教B版必修第一册202012051169.docx
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2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包30套新人教b版必修第一册 (1),文本
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1.1.1 集合及其表示方法第1课时学习目标1.借助生活和数学实例了解集合的含义,并理解集合中元素的三个特性.2.理解元素与集合的关系,掌握特殊数集的符号表示,培养数学抽象素养.3.理解集合相等的概念.自主预习1.集合(深刻理解集合的有关概念是我们正确运用集合知识的基础)(1)集合与元素的概念集合与元素概念及数学符号表示.思考1:集合的元素特点有哪些?思考2:怎样判断两个集合相等?(2)元素与集合的关系集合与元素之间的关系只能用“”或“”表示,对一个确定的对象和一个给定的集合,这两种关系有且只有一个成立.知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于a是集合a的元素不属于a不是集合a的元素2.几种常见的数集及表示符号(务必记忆数学符号,学会用数学语言去表达)名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法课堂探究一、情境问题在生活与学习中,我们经常要对事物进行分类.最典型的是图书馆中的书籍就是按照一定规律分类摆放储藏的.在数学知识中,同样也存在着许多分类,例如整数可以分为正整数、负整数和零,三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等.思考1:你能说出数学中其他的分类实例吗?思考2:是否可以借助袋子、抽屉等来直观地理解集合?思考3:方程x+1=x+2的所有解组成的集合是什么?思考4:我们班所有的“追梦人”能否构成一个集合?我们班身高不低于175 cm的同学能否构成一个集合?我们班的高个子同学能否构成一个集合?不等式x-21的所有解能否构成一个集合?【小试牛刀】例1(1)(多选)下列每组对象,能构成集合的是()a.中国各地的美丽乡村b.直角坐标系中横、纵坐标相等的点c.不小于3的自然数d.截止到2019年1月1日,参加“一带一路”的国家(2)下列说法中,正确的有.(填序号)单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个;集合m中有3个元素a,b,c,如果a,b,c是abc的三边长,则abc不可能是等腰三角形;将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.跟踪训练(1)下列各组对象可以构成集合的是()a.数学必修第一册课本中所有的难题b.小于8的所有素数c.直角坐标平面内第一象限的一些点d.所有小的正数(2)下列每组对象能否构成一个集合?不超过20的非负数;方程x2-9=0在实数范围内的解;某校2020年在校的所有矮个子同学;3的近似值的全体.二、特殊数集思考5:若an,bn,则a+b,ab,a-b,ab是否属于n呢?思考6:若az,bz,则a+b,ab,a-b,ab是否属于z呢?思考7:若aq,bq,则a+b,ab,a-b,ab是否属于q呢?拓展:无限循环小数可以表示成分数吗?举例解释.任何一个无限循环小数都是q中的元素吗?思考8:若ar,br,则a+b,ab,a-b,ab是否属于r呢?【学以致用】例2(1)(多选)下列关系中正确的有() a.2qb.-1nc.rd.|-4|z(2)下列说法中正确的有.集合n与集合n+是同一个集合;集合n中的元素都是集合z中的元素;集合q中的元素都是集合z中的元素;集合q中的元素都是集合r中的元素.跟踪训练(多选)给出下列关系,其中不正确的有()a.12rb.|-3|nc.|-3|qd.0n例3已知集合a是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3a,求实数a.跟踪训练已知集合a含有两个元素a-3和2a-1,若-3a,试求实数a的值.延伸探究:若将“-3a”换成“aa”,求实数a的值.课堂练习1.(多选)下列给出的对象中,能组成集合的是()a.方程x2-4=0在实数范围内的解b.不超过30的所有非负整数c.平面直角坐标系中第一象限内的点d.方程x2=-1的实数根2.下列结论不正确的是()a.|-1|nb.2qc.0qd.r3.若以集合a的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是()a.梯形b.平行四边形c.菱形d.矩形4.一个小书架上有十个不同品种的书各3本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有个元素.5.已知集合a中的元素x满足x2,若aa,则实数a的取值范围是.课后巩固1.以下各组对象不能组成集合的是()a.中国古代四大发明b.地球上的小河流c.方程x2-7=0的实数解d.周长为10 cm的三角形2.若a是r中的元素,但不是q中的元素,则a可以是()a.3.14b.-5c.37d.73.(多选)下列说法中,不正确的是()a.集合n中最小的数为1b.若-an,则anc.若an,bn,则a+b的最小值为2d.所有小的正数组成一个集合4.(多选)下列关系中正确的有()a.13rb.5qc.-3zd.-3n5.集合a中含有三个元素2,4,6,若aa,且6-aa,那么a为()a.2b.2或4c.4d.06.(多选)已知x,y为非零实数,代数式x|x|+y|y|+xy|xy|的值所组成的集合是m,则下列判断正确的是()a.-1mb.1mc.2md.3m7.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合a,且集合a中含有3个元素,则实数a的取值可以是()a.1b.-2c.-1d.38.已知集合a是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2a,则实数m=.9.由实数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合,最多含个元素.10.设a是由满足不等式x6的自然数组成的集合,若aa且3aa,求a的值.11.设xr,集合a中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求元素x应满足的条件;(2)若-2a,求实数x的值.核心素养专练1.已知集合m有两个元素x,2-x,若-1m,则下列说法一定错误的是.2m;1m;x3.2.设集合a中的元素均为实数,且满足条件:若aa,则11-aa(a1).求证:(1)若2a,则a中必还有另外两个元素;(2)集合a不可能是单元素集.参考答案自主预习略课堂探究思考:略例1(1)bcd(2)跟踪训练(1)b(2)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;能构成集合;“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;“3的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.思考:略例2(1)bd(2)跟踪训练bcd例3解:由-3a,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,a=-1或a=-32.当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去.当a=-32时,a-2=-72,2a2+5a=-3,符合集合中元素的互异性.a=-32.【总结归纳】利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点:(1)策略:根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值,再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.(2)注意点:利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用.跟踪训练解:-3a,-3=a-3或-3=2a-1,若-3=a-3,则a=0,此时集合a中含有两个元素-3,-1,符合题意;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合a中含有两个元素-4,-3,符合题意;综上所述,a=0或a=-1.延伸探究解:aa,a=a-3或a=2a-1,解得a=1,此时集合a中有两个元素-2,1,符合题意.故所求a的值为1.课堂练习1.abcd2.c3.a4.105.a2课后巩固1.b2.d3.abcd4.ad5.b解析:若a=2,则6-2=4a;若a=4,则6-4=2a;若a=6,则6-6=0a,故选b.6.ad解析:当x,y均为正数时,代数式x|x|+y|y|+xy|xy|的值为3;当x,y为一正一负时,代数式x|x|+y|y|+xy|xy|的值为-1;当x,y均为负数时,代数式x|x|+y|y|+xy|xy|的值为-1,所以集合m的元素有-1,3,故选ad.7.cd解析:由题意知a24,2-a4,a22-a,解得a2,且a1,故选cd.8.3解析:由题意知,m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经验证,当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性,当m=3时,满足题意,故m=3.9.2解析:由于|x|=x,x2=|x|,-3x3=-x,并且x,-x,|x|之中至少有两个相等,所以最多含2个元素.10.解:aa且3aa,a6,3a6,解得a2.又an,a=0或1.11.解:(1)由集合元素的互异性可得x3,x2-2xx,且x2-2x3,解得x-1,x0,且x3.(2)若-2a,则x=-2或x2-2x=-2.由于方程x2-2x+2=0无实数解,所以x=-2.经检验,知x=-2时三个元素满足互异性.故x=-2.核心素养专练1.解析:依题意x-1,2-x-1,x2-x,解得x-1,x1且x3,当x=2或2-x=2,即x=2或x=0时,m中的元素为0,2,故可能正确;当x=1或2-x=1,即x=1时,m中两元素为1,1,不满足互异性,故不正确,显然正确.2.证明:(1)若aa,则11-aa.又因为2a,所以11-2=-1a.因为-1a,所以11-(-1)=12a.因为12a,所以11-12=2a.所以a中另外两个元素为-1,12.(2)若a为单元素集,则a=11-a,即a2-a+1=0,方程无实数解.所以a11-a,所以集合a不可能是单元素集.学习目标1.了解集合的含义,理解元素与集合的“属于”关系;2.理解集合的元素特点,体会数学符号语言的抽象性、简洁性和逻辑性.自主预习1.集合(1)元素与集合的概念把一些能够、对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集),组成集合的每个对象都是这个集合的元素.集合通常用英文大写字母表示,集合的元素通常用英文小写字母表示.一般地,我们把任何元素的集合称为空集,记作.(2)元素与集合的关系属于:如果a是集合a的元素,就记作,读作“aa”.不属于:如果a不是集合a中的元素,就记作,读作“aa”.(3)集合中元素的特点:集合的元素必须是确定的.互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是的.:集合中的元素可以任意排列,与次序无关.(4)集合相等:给定两个集合a和b,如果组成它们的元素,就称这两个集合相等,记作.(5)集合的分类根据集合含有的元素个数分为两类:有限集:含有元素的集合(空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集).:含有无限个元素的集合.2.几种常见的数集及表示符号名称自然数集正整数集有理数集记法zr课堂探究一集合概念的理解例1下列每组对象能否构成一个集合:(1)不超过20的非负数;(2)方程x2-9=0在实数范围内的解;(3)某校2020年在校的所有矮个子同学;(4)3的近似值的全体.规律方法:训练1(1)下列给出的对象中能构成集合的是() a.著名物理家b.很大的数c.聪明的人d.小于3的实数(2)下列各组对象可以构成集合的是()a.数学必修第一册课本中所有的难题b.小于8的所有素数c.平面直角坐标系内第一象限的一些点d.所有小的正数二元素与集合的关系、集合的元素特点及应用例2(1)给出下列关系:12r;|-3|n;|-3|q;0n.其中正确的个数为()a.1b.2c.3d.4(2)已知集合a是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3a,求实数a.规律方法:训练2(1)设集合m是由不小于23的数组成的集合,若a=11,则下列关系中正确的是()a.amb.amc.a=md.am(2)已知集合a含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合a中的元素,试求实数a的值.核心素养专练1.用符号“”或“”填空.(1)-15q;(2)0n.(2)3q;(4)3r;(5)sin 45z;(6)cos 30q.2.下列条件所指对象能构成集合的是()a.与0非常接近的数b.我班喜欢唱歌的同学c.我校学生中的团员d.我班的高个子学生3.已知由数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合中元素的个数最多可以是() a.2b.3c.4d.54.已知2a且a中元素有1,x,x2+x,求实数x的值.5.设集合a中的元素x满足6+3x10.(1)a是有限集还是无限集?(2)53是不是a中的元素?参考答案自主预习略课堂探究例1解:(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;(2)能构成集合;(3)“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;(4)“3的近似值”没有明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.训练1解析:(1)只有选项d有明确的标准,能构成一个集合.(2)a中“难题”的标准不确定,不能构成集合;b能构成集合;c中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合;d中没有明确的标准,所以不能构成集合.答案:(1)d(2)b例2(1)解析:正确;不正确.答案:a(2)解:由-3a,可得-3=a-2或-3=2a2+
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