人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包30套新人教B版必修第一册 (1)
2020_2021学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用第2课时学案含解析新人教B版必修第一册202012051156.docx
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包30套新人教B版必修第一册 (1)
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2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包30套新人教b版必修第一册 (1),文本
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2.2.4均值不等式及其应用第2课时学习目标1.理解均值不等式,并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题;2.认识到数学是从实际中来的,体会思考与发现的过程.自主预习一、常见的不等式1.a2+b2(a,br).2.aba2+b22(a,br).二、均值定理1.均值定理的内容:.2.均值定理成立的条件:、.课堂探究1.问题探究(情境引入)判断以下解题过程的正误(1)已知x2,则x+4x-2的最小值为.变式训练已知x0,y0,且1x+9y=1,求x+y的最小值.变式训练已知正数x,y满足x+y=1,则1x+4y的最小值是.题型三均值不等式在实际问题中的应用例3(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?例3的结论可以表述为:要点归纳:两个正数的积为常数时,.两个正数的和为常数时,.变式训练将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是() a.6.5 mb.6.8 mc.7 md.7.2 m题型四证明不等式例4已知a,b是实数,求证:a2+b22ab.并说明等号成立的条件.变式训练已知a,br,求证:(1)(a+b)24ab;(2)2(a2+b2)(a+b)2.核心素养专练1.(多选)若a,br,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()a.a2+b22abb.a+b2abc.1a+1b2abd.ba+ab22.求函数y=1x-3+x(x3)的最小值.3.已知x0,y0,且1x+1y=1,求x+y的最小值.参考答案自主预习略课堂探究例1解:x+4x-2=x-2+4x-2+2,x-20,x-2+4x-2+224+2=4+2=6.当且仅当x-2=2,即x=4时取“=”.变式训练解:4x-50,y0,1x+9y=1,x+y=1x+9y(x+y)=yx+9xy+106+10=16,当且仅当yx=9xy,即x=4,y=12时,上式取等号.变式训练解:x+y=1,1x+4y=(x+y)1x+4y=5+yx+4xy.yx+4xy2yx4xy=4,5+yx+4xy9.当且仅当x+y=1,yx=4xy,即x=13,y=23时等号成立.1x+4ymin=9.例3解:(1)设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得xy=100.因为x0,y0,所以x+y2xy=100=10,所以2(x+y)40.当且仅当x=y时,等号成立,由x=y,xy=100可知此时x=y=10.因此,当矩形的长和宽都是10时,它的周长最短,最短周长为40.(2)设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得2(x+y)=36,即x+y=18.因为x0,y0,所以182=x+y2xy,因此xy9,即xy81.当且仅当x=y时,等号成立,此时x=y=9.因此,当矩形的长和宽都是9时,它的面积最大,最大面积为81.例3的结论表述略要点归纳:略变式训练c解析:设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则12ab=2,ab=4,l=a+b+a2+b22ab+2ab=4+226.828(m).要求够用且浪费最少,故选c.例4证明:因为a2+b2-2ab=(a-b)20,所以a2+b2-2ab0,即a2+b22ab,等号成立时,当且仅当(a-b)2=0,即a=b.变式训练证明:(1)因为(a+b)2-4ab=(a-b)20,所以(a+b)24ab,当且仅当a=b时等号成立.(2)因为2(a2+b2)-(a+b)2=(a-b)20,当且仅当a=b时等号成立.核心素养专练1.ad2.53.4学习目标1.能够熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.自主预习知识点一均值不等式及变形均值不等式的常见变形,试用不等号连接,并说明等号成立的条件.当a0,b0时,有21a+1baba+b2a2+b22.当且仅当时,以上三个等号同时成立.知识点二用均值不等式求最值用均值不等式x+y2xy求最值应注意:(1)x,y是否是;(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为;求和x+y的时,应看积xy是否为定值;(3)等号成立的条件是否满足.课堂探究题型一利用均值不等式求最值例1(1)已知x2,求x+4x-2的最小值;(2)设0x32,求函数y=4x(3-2x)的最大值.跟踪训练1函数y=2x+2x(x0,则y=3-3x-1x的最大值是()a.3b.3-22c.-1d.3-232.设a0,b0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为()a.8b.4c.1d.143.设a,b,cr,ab=2,且ca2+b2恒成立,则c的最大值是()a.12b.2c.14d.4核心素养专练核心素养之数学建模一种常见的函数模型y=x+ax(a0)某市实施机动车单双号限行,新能源汽车不在限行范围内,某人为了出行方便,准备购买某种新能源汽车.假设购车费用为14.4万元,每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元,汽车的保养维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,依等差数列逐年递增.(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)?年平均费用的最小值是多少?参考答案自主预习略课堂探究例1解:(1)x2,x-20,x+4x-2=x-2+4x-2+22(x-2)4x-2+2=6,当且仅当x-2=4x-2,即x=4时,等号成立.x+4x-2的最小值为6.(2)0x0,y=4x(3-2x)=22x(3-2x)22x+(3-2x)22=92.当且仅当2x=3-2x,即x=34时,等号成立.340,32,函数y=4x(3-2x)0x0),即t222t+6,(t-32)(t+2)0,t32,则xy18.当且仅当2x=y且2x+y+6=xy,即x=3,y=6时等号成立,故xy的最小值为18.(2)根据题意,得1=(x+y)2-xy(x+y)2-x+y22=34(x+y)2,所以43(x+y)2,所以x+y233,当且仅当x=y0且x2+y2+xy=1,即x=y=33时等号成立.跟踪训练29解析:x+y=1,1x+4y=(x+y)1x+4y=5+yx+4xy.x0,y0,yx0,4xy0,yx+4xy2yx4xy=4,5+yx+4xy9.当且仅当x+y=1,yx=4xy,即x=13,y=23时等号成立.1x+4ymin=9.例3解:设该厂每x天购买一次面粉,其购买量为6x吨.由题意可知,面粉的保管及其他费用为36x+6(x-1)+6(x-2)+61=9x(x+1).设平均每天所支付的总费用为y元,则y=1x9x(x+1)+900+61 800=9x+900x+10 8092 9x900x+10 809=10 989(元),当且仅当9x=900x,即x=10时,等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉时,才能使平均每天所支付的总费用最少.跟踪训练3b解析:由题意知,教室在第n层楼时,同学们总的不满意度y=n+8n42,当且仅当n=8n,即n=22时,不满意度最小,又nn+,分别把n=2,3代入y=n+8n,易知n=3时,y最小.故最适宜的教室应在3楼.课堂练习1.d解析:x0,3x+1x23x1x=23,当且仅当x=33时取等号,-3x+1x-23,则y=3-3x-1x3-23,故选d.2.b解析:由题意知3a3b=3,即3a+b=3,所以a+b=1.因为a0,b0,所以1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab2+2 baab=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.3.d解析:ab=2,a2+b22ab=4.又ca2+b2恒成立,c4.故选d.核心素养专练解:(1)由题意,得f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+0.2n)+0.9n=14.4+0.2n(n+1)2+0.9n=0.1n2+n+14.4.(2)设该车的年平均费用为s万元,则有s=1n f (n)=1n(0.1n2+n+14.4)=n10+14.4n+
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