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2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性第2课时学案含解析新人教B版必修第一册202012051163.docx
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2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包30套新人教b版必修第一册 (1),文本
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3.1.3函数的奇偶性第2课时学习目标1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.自主预习1.函数的奇偶性与单调性的性质(1)若f(x)为奇函数且在区间a,b(ab)上为增函数(减函数),则f(x)在-b,-a上为(函数),即在关于原点对称的区间上单调性.(2)若f(x)为偶函数且在区间a,b(ab)上为增函数(减函数),则f(x)在-b,-a上为(函数),即在关于原点对称的区间上单调性.2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内:(1)两个奇函数的和函数是函数,积函数是函数;(2)两个偶函数的和函数、积函数都是函数;(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是函数.3.函数的对称轴与对称中心(1)若函数f(x)的定义域为d,对xd都有f(t+x)=f(t-x)(t为常数),则x=是f(x)的对称轴.(2)若函数f(x)的定义域为d,对xd都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则是f(x)的对称中心.课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1(1)函数f(x)是r上的偶函数,且当x0时,f(x)=.(2)函数f(x)为r上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=.【训练1】(1)设函数f(x)是定义在r上的奇函数,当x0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式;(2)已知f(x)是r上的偶函数,当x(0,+)时,f(x)=x2+x-1,当x(-,0)时,求f(x)的解析式.题型二利用奇偶性研究函数的性质例2研究函数f(x)=x2-2|x|+1的单调性,并求出f(x)的最值.【训练2】研究函数f(x)=x+1x的单调性,并写出函数的值域.题型三证明函数图像的对称性例3求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图像关于x=-1对称.【训练3】证明函数f(x)=xx+1的图像关于点(-1,1)对称.课堂练习1.已知函数y=f(x)在r上为奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x,则当x0时,f(x)的解析式是() a.f(x)=-x(x+2)b.f(x)=x(x-2)c.f(x)=-x(x-2)d.f(x)=x(x+2)2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()a.1b.2c.3d.43.设函数y=f(x)是偶函数,若f(-3)+f(-1)-5=f(3)+f(1)+a,则a=.4.若f(x)在(-,0)(0,+)上为奇函数,且在(0,+)上为增函数,f(-2)=0,则不等式xf(x)0,f(x),x0是奇函数,则f(x)=.2.若函数f(x)是定义在r上的偶函数,在(-,0)上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)0).(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明.(2)若a=4,证明:函数f(x)在区间(2,+)上是增函数.5.设定义在-2,2上的奇函数f(x)=x5+x3+b.(1)求b值;(2)若f(x)在0,2上单调递增,且f(m)+f(m-1)0,求实数m的取值范围.参考答案自主预习略课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1解析:(1)设x0,则-x0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),即x0时,f(x)=x(x+1).(2)设x0,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是r上的奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,即当x0,0,x=0,2x2+3x-1,x0,0,x=0,2x2+3x-1,x0,则-x0,f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.又f(x)是r上的奇函数,f(x)=-f(-x)=x2-x.又函数定义域为r,f(0)=0,综上可知f(x)=-x2-x,x0,x2-x,x0.(2)设x0,f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,又f(x)在r上为偶函数,当x0时,f(x)=f(-x)=x2-x-1,即x(-,0)时,f(x)=x2-x-1.题型二利用奇偶性研究函数的性质例2解:f(x)的定义域为r,f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),f(x)为偶函数,且f(x)=(x-1)2,x0,(x+1)2,x0.当x0时,f(x)=(x-1)2,由二次函数的性质易得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.f(x)为偶函数,f(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,f(x)min=f(-1)=f(1)=0,f(x)max不存在.【训练2】解:f(x)的定义域为(-,0)(0,+),f(-x)=-x-1x=-x+1x=-f(x),故f(x)为奇函数.当x(0,+)时,由均值不等式可知f(x)=x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时等号成立,即f(x)2,+),同理可知当x(-,0)时,f(x)(-,-2.下面证明当x(0,1时,f(x)单调递减.任取x1,x2(0,1且x1x2,则fx=f(x2)-f(x1)x2-x1=x2+1x2-x1+1x1x2-x1=(x2-x1)1-1x1x2x2-x1=1-1x1x2.x1,x2(0,1且x1x2,0x1x21,1-1x1x20,即fx0,f(x)在(0,1上单调递减.类似地,可以证明f(x)在1,+)上单调递增.f(x)为奇函数,f(x)在(-,-1上单调递增,在(-1,0)上单调递减.综上,f(x)在(-,-11,+)上单调递增,在-1,0)(0,1上单调递减,f(x)的值域为(-,-22,+).题型三证明函数图像的对称性例3证明:任取xr,f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,f(-1+x)=f(-1-x),f(x)的图像关于x=-1对称.【训练3】证明:函数f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+).任取x(-,-1)(-1,+),f(-1+x)+f(-1-x)=-1+x-1+x+1+-1-x-1-x+1=-1+xx+1+xx=-1x+1+1x+1=2,即f(-1+x)+f(-1-x)=2,f(x)的图像关于点(-1,1)对称.课堂练习1.解析:设x0,所以f(-x)=x2+2x,又f(x)为r上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2),故选a.答案:a2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.答案:b3.解析:f(x)是偶函数,f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),故由题意知a=-5.答案:-54.解析:根据题意画出f(x)的大致图像:由图像可知-2x0或0x2时,xf(x)0)的定义域为(-,0)(0,+)且关于原点对称.又因为f(-x)=-x+a-x=-x+ax=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.(2)证明:f(x)=x+4x(a0),设x1,x2是区间(2,+)上的任意两个实数且x1x2,f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2+4x2=x1-x2+4x1-4x2=(x1-x2)1-4x1x2=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2,因为x1x2,所以x1-x24,x1x2-40,f(x1)-f(x2)0,所以f(m-1)-f(m)=f(-m),所以m-1-m,又需要不等式f(m)+f(m-1)0,在函数f(x)定义域范围内有意义.所以-2m2,-2m-12,解,得12m2,所以m的取值范围为12,2.学习目标课标要求1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.素养要求1.通过函数奇偶性的应用,使学生熟悉转化、对称等思考方法,提升逻辑推理素养.2.通过函数图像的对称轴、对称中心等条件,提升学生的直观想象能力,培养数学抽象素养.自主预习情境引入问题1图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图像,你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗?(1)(2)问题2就图(1)而言,函数在区间(-,-2与2,+)上的单调性是否相同?就图(2)而言,函数在区间-52,0与0,52上的单调性是否相同?新知梳理1.函数的奇偶性与单调性的性质(1)若f(x)为奇函数且在区间a,b(ab)上为增函数(减函数),则f(x)在-b,-a上为(),即在关于原点对称的区间上单调性.(2)若f(x)为偶函数且在区间a,b(ab)上为增函数(减函数),则f(x)在-b,-a上为(),即在关于原点对称的区间上单调性.2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内:(1)两个奇函数的和函数是奇函数,积函数是偶函数;(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.3.函数的对称轴与对称中心(1)若函数f(x)的定义域为d,对xd都有f(t+x)=f(t-x)(t为常数),则是f(x)的对称轴.(2)若函数f(x)的定义域为d,对xd都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则是f(x)的对称中心.自主判断1.若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).()2.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于x=a+b2对称.()自主训练已知f(x)是定义在r上的奇函数,当x0时,f(x)=.思考1.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像关于y轴对称,则f(x),g(x)是偶函数吗?2.函数y=xx-1的图像有对称中心吗?若有,指出对称中心.课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1(1)函数f(x)是r上的偶函数,且当x0时,f(x)=.(2)函数f(x)为r上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=.【训练1】(1)设函数f(x)是定义在r上的奇函数,当x0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式;(2)已知f(x)是r上的偶函数,当x(0,+)时,f(x)=x2+x-1,当x(-,0)时,求f(x)的解析式.题型二证明函数图像的对称性例2求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图像关于x=-1对称.【训练2】证明函数f(x)=xx+1的图像关于点(-1,1)对称.核心素养一、素养落地1.通过本节课的学习,提升直观想象和逻辑推理素养.2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.3.如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,那么一定有f(0)=0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).二、素养训练1.已知函数y=f(x)在r上为奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x,则当x0时,f(x)的解析式是() a.f(x)=-x(x+2)b.f(x)=x(x-2)c.f(x)=-x(x-2)d.f(x)=x(x+2)2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()a.1b.2c.3d.43.证明函数f(x)=1x+1的图像关于(-1,0)对称.课堂练习1.设函数f(x)=x2+x,x0,g(x),x0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=.5.已知函数y=f(x)的图像关于原点对称,且当x0时,f(x)=x2-2x+3.(1)试求f(x)在r上的解析式;(2)画出函数的图像,根据图像写出它的单调区间.核心素养专练基础达标一、选择题1.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上是()a.增函数b.减函数c.有增有减d.增减性不确定2.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则f(2)等于()a.-26b.-18c.-10d.103.设奇函数f(x)在(0,+)上为减函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x0,则-x0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),即x0时,f(x)=x(x+1).(2)设x0,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是r上的奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,即当x0,0,x=0,2x2+3x-1,x0,0,x=0,2x2+3x-1,x0,则-x0,f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.又f(x)是r上的奇函数,f(x)=-f(-x)=x2-x.又函数定义域为r,f(0)=0,综上可知f(x)=-x2-x,x0,x2-x,x0.(2)设x0,f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1.又f(x)在r上为偶函数,当x0时,f(x)=f(-x)=x2-x-1,即x(-,0)时,f(x)=x2-x-1.题型二证明函数图像的对称性例2证明:任取xr,f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,f(-1+x)=f(-1-x),f(x)的图像关于x=-1对称.【训练2】证明:函数f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+).任取x(-,-1)(-1,+),f(-1+x)+f(-1-x)=-1+x-1+x+1+-1-x-1-x+1=-1+xx+1+xx=-1x+1+1x+1=2,即f(-1+x)+f(-1-x)=2,f(x)的图像关于点(-1,1)对称.核心素养素养训练1.解析:设x0,所以f(-x)=x2+2x,又f(x)为r上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2).答案:a2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.答案:b3.证明:要证f(x)的图像关于(-1,0)对称,只需证明f(x)对任意的x(-,-1)(-1,+),满足f(-1+x)=-f(-1-x).f(-1+x)=1-1+x+1=1x,f(-1-x)=1-1-x+1=-1x,f(-1+x)=-f(-1-x),故y=1x+1的图像关于(-1,0)对称.课堂练习1.解析:g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.答案:a2.解析:y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)的图像关于y轴对称,所以f(x)=0的所有实根之和为0.答案:d3.解析:f(x)为偶函数,m=0,f(x)=-x2+3,f(x)的对称轴为y轴,故f(x)在区间(-5,-2)上是增函数.答案:a4.解析:由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,f(-2)+f(0)=-5.答案:-55.解:(1)因为函数f(x)的图像关于原点对称,所以f(x)为奇函数,则f(0)=0.设x0,因为当x0时,f(x)=x2-2x+3.所以当x0,0,x=0,-x2-2x-3,x0.(2)先画出函数在y轴右侧的图像,再根据对称性画出y轴左侧的图像,如图.由图像可知函数f(x)的单调递增区间是(-,-1,1,+),单调递减区间是-1,0),(0,1.核心素养专练基础达标一、选择题1.解析:由f(x)是偶函数,即f(-x)=f(
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