2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用学案含解析新人教A版必修第一册202103091199.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包48套新人教A版必修第一册
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57三角函数的应用内容标准学科素养1.会用三角函数解决一些简单的实际问题数学建模数学运算2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.授课提示：对应学生用书第116页教材提炼知识点科学试验、生活中的三角函数现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么可以考虑什么函数来描述？ 知识梳理简谐运动在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”a就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是t，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x称为相位；x0时的相位称为初相自主检测1函数ysin的周期、振幅、初相分别是()a3，b6，c3，3， d6，3，答案：b2已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期t和初相分别为()at6， bt6，ct6， dt6，答案：a3弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的()a频率为1.5 hzb周期为1.5 sc周期为6 sd频率为6 hz答案：b4如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置o的距离s cm和时间t s 的函数关系式为s6sin(2t)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为_答案：1 s授课提示：对应学生用书第117页探究一三角函数在物理中的应用例1教材p242拓展探究(1)已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题小球在开始振动(t0)时的位移是多少？小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？经过多长时间小球往复振动一次？(2)已知电流i与时间t的关系式为iasin(t).如图是iasin(t)在一个周期内的图象，根据图中数据求iasin(t)的解析式；如果t在任何一段秒的时间内，电流iasin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解析(1)列表如下：t2t02sin01010s04040描点、连线，图象如图所示将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.(2)由题图可知a300.设t1，t2，则周期t2(t2t1)2，150.又当t时，i0，即sin0，而|，.故所求函数的解析式为i300sin.依题意，周期t，即(0)，300942.48.又n*，故的最小正整数值为943.三角函数解决物理问题的三个关键量(1)物体运动的初始位置，即初相(2)完成一次运动需要的时间，即周期(3)离开平衡位置的最大位移，即振幅探究二三角函数在生活中的应用例2估计某一天的白昼时间的小时数d(t)的表达式是d(t)sin (t79)12，其中t(tz)表示某天的序号，t0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关(1)在波士顿，k6，试画出当0t365时函数的图象；(2)在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时解析(1)先用五点法作出f(t)3sin (t79)的简图，由(t79)0及(t79)2，得t79及t444.当t0时，f(0)3sin (79)3sin(1.36)2.9.f(x)的周期为365，f(365)2.9.将f(t)在0,365上的图象向上平移12个单位，就得d(t)的图象(如图所示)(2)白昼时间最长的一天，即d(t)取最大值的一天，此时t170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t353时d(t)取最小值，即12月20日(闰年除外)白昼最短(3)d(t)10.5，即3sin (t79)1210.5，sin (t79)，t0,365292t49,29249243.故约有243天的白昼时间超过10.5小时已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式并结合题中所提供信息即可求解某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？解析：(1)因为f(t)102sin，又0t24，所以t，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0,24上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，所以t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温探究三根据数据拟合函数例3某港口水深y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)，下面是某日水深的数据.t/小时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yasin tb的图象(1)试根据以上数据，求出函数yf(t)的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)解析(1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数yf(t)的周期t12，振幅a3，b10，y3sin t10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于56.511.5米，由y11.5，得3sin t1011.5，sin t.0t24，0t4.由得t或t.化简得1t5或13t17.该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0t24，记yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数yacos tb的图象(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：(1)由表中数据可知，t12，所以.又t0时，y1.5，所以ab1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以振幅为，函数解析式为ycos t1(0t24)(2)因为y1时，才对冲浪爱好者开放，所以ycos t11，cos t0,2kt2k，kz，即12k3t12k3(kz)又0t24，所以0t3或9t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9t15.授课提示：对应学生用书第118页一、“众人皆醉我独醒”三角换元的独特之用换元法又称辅助元素法，“三角换元”是其中一种换元方法，即把某个式子用某一三角函数表示，将问题转化为三角函数问题，也是三角函数的一种应用典例实数x、y满足1，若xyk0恒成立，求k的取值范围解析由1，设则代入不等式xyk0得3cos 4sin k0，即k3cos 4sin 5sin()，所以k5.二、因对yasin(x)表示的实际意义理解不清致误典例弹簧振子以o为平衡位置，在b，c两点间做简谐运动，b，c相距20 cm，某时刻振子处在b点，经0.5 s振子首次到达c点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移解析(1)设振幅为a，则2a20 cm，所以a10 cm.设周期为t，则0.5 s，所以t1，所以f1 hz.(2)振子在1 s内通过的距离为4a，故在5 s内通过的路程s54a20a2010200 (cm)5 s末物体处在b点，所以它的位移为0 cm.纠错心得1.本题易出现以
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