2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.2用二分法求方程的近似解学案含解析新人教A版必修第一册202103091181.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包48套新人教A版必修第一册
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45.2用二分法求方程的近似解内容标准学科素养1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程近似解数学运算数学抽象2.了解二分法的含义及近似思想、逼近思想及应用.授课提示：对应学生用书第71页教材提炼知识点二分法的概念及步骤我们已经知道，函数f(x)ln x2x6在区间(2,3)内存在一个零点进一步的问题是，如何求出这个零点呢？取区间(2,3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)0.084.因为f(2.5)f(3)0，那么零点在区间应该是哪个区间？ 知识梳理(1)对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)(2)给定精确度，用二分法求函数yf(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：确定零点x0的初始区间a，b，验证f(a)f(b)0.求区间(a，b)的中点c.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：a若f(c)0(此时x0c)，则c就是函数的零点；b若f(a)f(c)0(此时x0(a，c)，则令bc；c若f(c)f(b)0(此时x0(c，b)，则令ac.判断是否达到精确度：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤.自主检测1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案：a2用二分法求函数f(x)log2x的零点时，初始区间可选为()a(0,1)b(1,2)c(2,3) d(3,4)答案：c3用二分法求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_答案：(2,2.5)4用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(a，b)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)答案：(2,3)授课提示：对应学生用书第71页探究一用二分法求函数的零点近似值例1求函数f(x)x3x22x2的一个正数的零点(误差不超过0.1)解析由于f(1)20，可以取区间1,2作为计算的初始区间用二分法逐次计算，列表如下：中点横坐标计算中点的函数值区间|anbn|x01.5f(x0)0.62501,1.50.5x11.25f(x1)0.98401.25,1.50.25x21.375f(x2)0.26001.375,1.50.125x31.437 5由上表的计算可知，区间1.375,1.5的长度小于0.2，所以这个区间的中点x31.437 5可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值函数f(x)x3x22x2的图象如图所示实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点的精确度更高的近似值1用二分法求函数的近似零点，合理确定初始区间是关键，能够减少二分的次数2二分法是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，并根据所要求的精确度，用此区间的所有值均可表示零点的近似值3使用二分法所具备的条件：“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点求函数f(x)x32x23x6的一个正数零点(精确度为0.1)解析：由于f(1)60可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.52.625(1.5,2)1.750.234 4(1.5,1.75)1.6251.302 7 (1.625,1.75)1.687 50.561 8(1.687 5,1.75)1.718 750.170 7由于|1.751.687 5|0.062 50.1，可将1.687 5作为函数零点的近似值实际上，1.687 5,1.75内的任何一个值都可作为函数零点的近似值探究二利用二分法求方程的近似值例2教材p146例2拓展探究(1)证明方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)证明设函数f(x)2x3x6，f(1)10，又f(x)是增函数，函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一的零点，则方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解设该解为x0，则x01,2，取x01.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)，取x31.125，f(1.125)0.4440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1，1.187 5可作为这个方程的实数解(2)求方程x22x1的一个近似解(精确度为0.1)解析设f(x)x22x1.f(2)10，在区间(2,3)内，方程x22x10有一实数根，记为x0，取2与3的平均数2.5，f(2.5)0.250，2x02.5.再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5.如此继续下去，有f(2.375)0x0(2.375,2.5)；f(2.375)0x0(2.375,2.437 5)|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.用二分法求方程的近似解时应注意事项(1)先将方程形式转化为函数形式(2)准确计算区间中点的函数值，进而判断零点所在的区间(3)求近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.授课提示：对应学生用书第72页一、猜中有技巧，二分起作用生活中的二分法的应用1现实生活中，有很多问题可以用二分法来求解，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄露等故障的查找，实验设计，资料查询等2通过实际情景抽象出函数，将实际问题转化为用二分法求函数的最值典例中央电视台有一档娱乐节目，主持人会给选手在限定的时间内猜某一物品的售价机会如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标某次猜一种品牌的手机，手机价格在5001 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解析取价格区间500,1 000的中点750，如果主持人说低了，就再取750,1 000的中点875；否则取另一个区间500,750的中点625；若遇到小数取整数照这样的方案游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次即可猜中价格二、用二分法求方程的近似解因区间分得不够而致误典例用二分法求方程x250的一个近似正解(精确度0.1)为_解析令f(x)x25，因为f(2.2)0.160，f(2.4)0.760，所以f(2.2)f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0.取区间(2.2,2.4)的中点x12.3，f(2.3)0.29，因为f(2.2)f(2.3)0，所以x0(2.2,2.3)再取区间(2.2,2.3)的中点x
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