16微积分基本定理98475

1、从前面的学习中可以发现，虽然被积函数从前面的学习中可以发现，虽然被积函数 非常简单，但直接用定积分的定义计非常简单，但直接用定积分的定义计算算 的值却比较麻烦的值却比较麻烦. .而对于有些定而对于有些定积分，例如积分，例如 几乎不可能直接用定义计几乎不可能直接用定义计算。那么有没有更加简便，有效的方法求定算。那么有没有更加简便，有效的方法求定积分呢？我们已经学习了微积分学中两个最积分呢？我们已经学习了微积分学中两个最重要的概念重要的概念导数和定积分，这两个概念导数和定积分，这两个概念之间有无内在联系？我们能否利用这种联系之间有无内在联系？我们能否利用这种联系求定积分呢？求定积分呢？ 3f x

2、= x1 13 30 0 x xd d x x2 21 11 1d d x xx x一个作变速直线运动的物体的运动规律一个作变速直线运动的物体的运动规律s ss(t)s(t)。由导数的概念可以知道，它在。由导数的概念可以知道，它在任意时刻任意时刻t t的速度的速度v(t)v(t)s s（t)t)。设这个。设这个物体在时间段物体在时间段a a，b b内的位移为内的位移为s s，你，你能分别用能分别用s(t)s(t)，v(t)v(t)来表示来表示s s吗？吗？从中你从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？能发现导数和定积分的内在联系吗？问题问题从从导数导数角度来看：角度来看：如果已知该变速直线运动的

3、路程如果已知该变速直线运动的路程函数为函数为s=ss=s( (t t) )，则在时间区间，则在时间区间 a,ba,b 内物体的位移为内物体的位移为s s( (b b) )ss( (a a) )， 所以有所以有 ).()(d)(asbsttvba由于由于 ，即，即s s( (t t) )是是v v( (t t) )的原函数，这就是的原函数，这就是说，定积分说，定积分 等于被积函数等于被积函数v v( (t)t)的原函数的原函数s s( (t t) )在区间在区间 a,ba,b 上的增量上的增量s s( (b b) )s s( (a a).).s s ( (t t) )= = v v( (t t)

4、 )b ba av v( (t t) )d d t t 从从定积分定积分角度来看：角度来看：如果物体运动的速度函数为如果物体运动的速度函数为v=vv=v( (t t) )，那么在时间区间，那么在时间区间 a,ba,b 内物体的位移内物体的位移s s可以用定可以用定积分表示为积分表示为.d)(battvs 这个结论叫做这个结论叫做微积分基本定理微积分基本定理, ,又叫做牛顿又叫做牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式. .微积分基本定理：微积分基本定理： ,f xa bf xf x 如如果果是是区区间间上上的的连连续续函函数数并并且且则则baafbfxxf)()(d)( ( )d.)( )( )bbaaf

5、 xfbfaf x x或或 记记 作作说明：说明：牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的一种牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的一种简便，有效的基本方法，简便，有效的基本方法，即即求定积分的值，只求定积分的值，只要求出被积函数要求出被积函数 f f( (x x) )的一个原函数的一个原函数f f( (x x) )，然后，然后计算原函数在区间计算原函数在区间 a,ba,b 上的增量上的增量f f( (b b) )f f( (a a) )即即可可. .该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了导数与定积分之间的内在联系揭示了导数与定积分之间的内在联系nx1nn

6、x 1x1lnxasin xcos xsin x cos xxexalnxaaxec0函数函数f(x)导函数导函数f(x)回顾：基本初等函数的导数公式回顾：基本初等函数的导数公式logax ln x被积被积函数函数f(x)原函数原函数f(x)新知：基本初等函数的原函数公式新知：基本初等函数的原函数公式ccxnx111nxn sin xcosx sin x cos xxalnxaaxexe1xln x例例1 1： 计算下列定积分计算下列定积分 解解（）（）b bb ba aa af(x)dx =f(x)| =f(b)-f(a)f(x)dx =f(x)| =f(b)-f(a)找出找出f(x)f(x

7、)的原的原函数是关键函数是关键 dxx2111 3122xdx xx1ln 2ln1ln2lnln12121 xdxxb bb ba aa a1 1公公式式1 1： d dx x= =l ln nx x= =l ln nb b- -l ln na ax x 813222231312 xxdx练习练习1: _4_3_2_112131031010 dxxdxxxdxdx112141 54n n+ +1 1b bn nb ba aa ax x公公 式式 2 2： x x d dx x = =n n + +1 1例计算定积分例计算定积分 解解:3 32 22 21 11 13 3 x x- -d d

8、x xx x 22311,3xxxx dxxdxxdxxdxx 3123123123121313原原式式7633 3 3 33 33 33 31 11 11 11 1 1 1= =x x+ += = 3 3 - -1 1 + +- -x x3 3 1 1 _14_1233_12_2312121221102 dxedxxxdxxxdttx13 3+ + l ln n 2 22 2921ee 练习练习2:例例3 3： 求求 2 20 0( (2 2c co os sx x+ +s si in nx x- -1 1) )d dx x. .例例4 4：设：设 , 求求 . 215102)(xxxxf

9、20)(dxxf原式原式 2 20 0= =( (2 2s si in nx x- -c co os sx x- -x x) )| |.23 解：解：解解: 102120)()()(dxxfdxxfdxxfxyo12 102152dxxdx原式原式. 6 21201x | +5x|1 10 01 1、已已知知f f( (x x) )是是一一次次函函数数，其其图图象象过过点点( (3 3, ,4 4) ), ,且且f f( (x x) )d dx x = =1 1, ,求求f f( (x x) )的的解解析析式式微积分与其他函数知识综合举例：微积分与其他函数知识综合举例：1 12 22 20 0

10、2 2、已已知知f f( (a a) )= =( (2 2a ax x - -a a x x) )d dx x, ,求求f f( (a a) )的的最最大大值值。练一练：练一练：已知已知f(x)=ax+bx+c,且且f(-1)=2,f(0)=0,的值求cbadxxf, 2)(10教材练习答案教材练习答案5252004xdx = 2x= 2 5 -0 = 505232500321x - 2x dx =x - x3150=5 - 5- 0 =331、2、 322211322x -1 dx =x -x3224 2 -5=2 -2 -1 =33332323-1-1323x -2x+1 dx = x -