清华大学微积分高等数学课件第18讲定积分三

1、2021-11-141作业作业p176 习题习题6.3 16. 19. 20.p182 习题习题6.4 3(2)(6). 5. 7(3)(7). 9. p186 习题习题6.5 4. 5. 25. 预习预习: p1982102021-11-142第十八讲第十八讲 定积分定积分（三）（三） 一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法 （例题）（例题）二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法三、综合例题三、综合例题2021-11-143 dtttfdxxfbabtacttxbacxfba)()()(,)(,)()3(;)()2(; ,)()1(),(,)(1则则有有满满足足三三个个条条件件：

2、作作变变换换设设函函数数一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法定理定理1: (1: (定积分的换元积分法定积分的换元积分法) )2021-11-144有有为为偶偶函函数数时时当当则则上上连连续续在在对对称称区区间间若若例例,)()1(,)(1xfaaxf aaadxxfdxxf0)(2)(0)( aadxxf有有为为奇奇函函数数时时当当,)()2(xf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(为为偶偶函函数数知知又又由由作作变变换换对对于于右右端端第第一一项项)(:,xftx 证证(1)(1)()()(tftfxf 2021-11-145 000)()()(aaadttfdttf

3、dxxf为什麽为什麽? ? adxxf0)(定积分与积分变量定积分与积分变量 所用字母无关！所用字母无关！ aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( aaadxxfdxxfdxxf000)(2)()(0 2121221arcsindxxxx例如例如: :从而由换元公式，得从而由换元公式，得2021-11-146例例2 33291)3(dxxx计计算算 222sin1cossin dxxxx计计算算2 33291)3(dxxx例例3解解解解 332913dxx 3329dxx 202sin1cos2 dxxx 222sin1cossin dxxxx29 2021-11-147可可以以证证

4、明明：利利用用定定积积分分的的换换元元法法, ttaadxxfdxxfatxf0)()(,)(有有则则对对任任意意的的实实数数函函数数为为周周期期的的连连续续是是一一个个以以若若证证 tattataadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00（1）（2）（3）证证(1)+(3)=02021-11-148 202202sin4sin xdxxdx)()()(00为为正正整整数数ndxxfndxxftnt atatdtttfdxxf0)()( 000)()()(aaadxxfdxxfdttfdtdxttx ,作作变变换换 ttaadxxfdxxf0)()(所以所以例如例如2021-11-

5、149分分部部积积分分公公式式则则有有有有连连续续的的一一阶阶导导数数上上在在区区间间设设函函数数),(),(,)(),(xvxubaxvxu bababadxxuxvxvxudxxvxu)()()()()()(|二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法定理定理2: (2: (定积分的分部积分法定积分的分部积分法) )2021-11-1410)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 得得公公式式利利用用是是连连续续函函数数从从而而左左端端函函数数由由条条件件上上式式右右端端是是连连续续,. )()(,lnxvxu |)()( )()(babaxvxudxxvxu bababadx

6、xvxudxxvxudxxvxuxvxu)()()()()()()()(而而右右端端的的积积分分为为 证证 利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式2021-11-1411|)()()()()()(bababaxvxudxxvxudxxvxu 于于是是得得到到 bababadxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(| )()()()()()(| bababaxudxvxvxuxvdxu成成分分部部积积分分公公式式也也可可以以写写注注意意即即2021-11-1412 411lnln41dxxxdxxx原原式式 441ln1dxxx计计算算例例)2ln2(114141| dxxxxx

7、|41141)4ln2()4ln2(xxxxxx 22ln6 )2ln2(4141| dxxxxx 解解 2021-11-1413dxxxn 102)1(2计计算算例例dxxxnxxndxxxnnn 1011021102)1 (12)1 (11)1 (|dxxnnxxnnnn 102102)1()2)(1(2)1()2)(1(2| 解解 )3)(2)(1(2)1 ()3)(2)(1(2|103 nnnxnnnn2021-11-1414)(sin320nndxxinn 计计算算：例例21200 dxi1cossin|20201 xdxxi 解解 201)cos(sin xxdinndxxxnn

8、2022cossin)1( 201201)(sin)cos(sin)cos(| xdxxxnndxxxnn 2022)sin1(sin)1( nnninini)1()1(2 2021-11-1415得得到到时时当当,2kn 2! ! )2(! ! ) 12(sin2022 kkdxxikk)2(12 ninninn得得到到时时当当,12 kn1! ! ) 12(! ! ) 22(sin201212 kkdxxikk 2021-11-1416例例如如： 3252246135sin206 dxx35161357246sin207 dxx )(sincos2020nndxxdxxnn 可可以以证证明

9、明dxx 4082cos tx 2令令dtt 208cos21 153610522468135721 2021-11-1417三、综合例题三、综合例题并并作作出出几几何何解解释释。证证明明，且且上上二二阶阶可可导导非非负负在在设设),2()(0)(, 0)(0aafdxxfxfaxfa 证明证明 处处展展成成泰泰勒勒公公式式在在将将2)(axxf )2, 0(,)2(! 2)()2)(2()2()(2aaxfaxafafxf , 0)( xf)2)(2()2()(axafafxf 两边积分两边积分dxaxafafdxxfaa)2)(2()2()(00 例例112021-11-1418)2()2

10、)(2(21)2(02aafaxafaafa dxxfa0)(几何解释：几何解释：下下凸凸，)(, 0)(xfxf ,)2)(2()2(2)(在在曲曲线线的的下下方方处处的的切切线线在在axafafyaxf 梯梯形形面面积积曲曲边边梯梯形形的的面面积积时时当当 ,), 0(0axy即即2021-11-1419 bababadxxgdxxfdxxgxfbacxgxf)()()()(,)(),(2222证证明明设设例例柯西柯西-许瓦兹不等式许瓦兹不等式证证为为参参变变量量研研究究txtgxf,)()(2 0)()()(2)(222 xgtxgxtfxf两边积分两边积分0)()()(2)(222 b

11、ababadxxfdxxgxftdxxgt关于关于t 的二次三项式的判别式的二次三项式的判别式, 0 即即 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(2222021-11-1420 xxuduufuxdudttfxf000)()()(,)(3证证明明连连续续设设例例证证分析：右边是一次积分，左边是两次积分，分析：右边是一次积分，左边是两次积分， 左边算出一次。左边算出一次。 xuuxdttfuddttfu0000)()(左左右右 xduufux0)()( xxduuufdttfx00)()(2021-11-1421.,)1(baxa的的某某个个区区间间自自变变量量依依赖赖于于不不

12、均均匀匀变变化化的的整整体体量量 niiaa1,.)2( 即即具具有有可可加加性性iiiixfaa )()3(求求得得近近似似值值可可“以以不不变变代代变变”部部分分量量可以应用定积分计算的量有如下特点可以应用定积分计算的量有如下特点:1、微元分析法、微元分析法四、定积分应用四、定积分应用2021-11-1422x)(xaxx a xyab)(xfy o xadttfxa)()(dxxfad)( )()(xfxa ,)(bacxf dxxfada)( )0()()( xxodxxfa 关键是关键是部分量部分量的近似的近似)()(badttfba 2021-11-1423局局部部量量的的近近似似

13、值值写写出出“不不变变代代变变”的的小小区区间间取取具具有有代代表表性性第第一一步步：分分割割区区间间,xxxba xxfa )(得得定定积积分分就就是是整整体体量量无无限限积积累累上上微微元元在在区区间间第第二二步步：令令, 0bax badxxfa)(微分近似微分近似)()(xxxfa 要要求求：微元分析法微元分析法2021-11-14242、几何应用几何应用（一）平面图形的面积（一）平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算axfyxbxax所所围围曲曲边边梯梯形形的的面面积积曲曲线线轴轴和和连连续续及及由由直直线线)(,)1( 根据定积分的定义和几

14、何意义知根据定积分的定义和几何意义知 badxxfa)(2021-11-1425,)()(,baxxfxg 先先看看abxaxxgyxfy所所围围成成的的面面积积和和直直线线由由曲曲线线 ,)(),()2( badxxgxfa)()(面积微元面积微元xdxx dxxgxfda)()( badxxgxfa)()(xabyo)(xfy )(xgy 2021-11-1426xyxy 1 xy2 xo21)1, 1(.2,11axxyxy所所围围成成的的面面积积及及直直线线求求由由曲曲线线例例 xyyx1解解方方程程组组 1121xx解解 21)1(dxxxa2ln23)ln2(|212 xx2021

15、-11-1427满满足足设设连连续续函函数数)(),(yy ,)()(0dcyyy adycyyxyx所所围围成成的的面面积积和和直直线线求求由由曲曲线线 ,),(),( 面面积积公公式式： dcdyyya)()( x)(yx cd)(yx yoydyy 2021-11-1428.1,5222ayxyx的的面面积积所所围围成成求求由由曲曲线线例例 2215yxyx 212121yy解解方方程程组组解解oxy21yx 25yx 210221)51(22dyyyaa32)34(2|2103 yy211a 2102)41(2dyy2021-11-1429面面积积微微元元：小小圆圆扇扇形形 dda)(212 d面积微元面积微元 )( o2. 极坐标系下平面图形面积的计算极坐标系下平面图形面积的计算.,)(所所围围成成的的面面积积及及射射线线求求曲曲线线 da)(2122021-11-1430.)cos1(3aa的的面面积积所所围围成成求求心心脏脏线线例例 利利用用对对称