第十五章分式与分式方程

1、第 15 章 分式【知识精讲】15.1.1 从分数到分式分式的概念： 拓展：分式与分数的区别： 分式有意义的条件： 分式有意义的条件： 分式无意义的条件： 分式值为 0的条件：变形考察： 分式值不为 0的情况：15.1.2 分式的基本性质1. 分式的基本性质： 2. 分式的符号法则： 3. 分式的约分： 4. 分数的通分： 15.2 分式的运算1. 分式的乘除运算： 2. 分式的乘方： 3. 分式的加减运算： 4. 分式的混合运算： 6.科学计数法： 15.3 分式方程1. 分式方程基础概念： 2. 解分式方程的基本步骤： 3. 无解与增根： 15.1.1 从分数到分式1. 分式的概念： 拓展

2、：分式与分数的区别： 2. 分式有意义的条件： 分式有意义的条件： 分式无意义的条件： 分式值为 0的条件：变形考察： 分式值不为 0的情况： 【典例分析】考点一：分式的识别（注意： ）例 1.在有理式 2ab, x ,1x2y 3xy, 3 , x2 y2, x 1, x ,y 中，分式有 y 2 2 2 y x2 y2 59 2 5 y个.练习：1. 判断下列各式，哪些是整式，哪些是分式？22 , y x,3a2 x y x ax 1,9x 4,7, x 12 x 2，2(a b)2, 1ab2 1a2b,， , ab a b,a b 2 3902x 12a4 , 2a2ba2 , 3 1

3、考点二：分式有(无意义的条件)及值为零需满足的条件题型一： 分式有意义的条件注意“且”“或”；注意：不能化简)例 1 、当 x 取什么值时，下列分式有意义：(1)xx2(2)3x2 54x 1(3)3xx4x24)xx2 235)x1(x 1)(x 2)x2x 1【练习】1. 下列分式中，x 取何值时，分式有意义？(1) x 1( 2) 22x(3) x 1(4)x(5)2x 3x9x1x32. 下列各式中，不论 x 取何值时都有意义的是()xy xyA 13x 12xB C1x124x 22 D 2x2 13x 12 x题型二：分式无意义的条件例 1 、当x取什么值时，分式 2 2x 1无意

4、义？x 4x 5例 2、当 x 取何值时，分式(x 1)(x 2) 有意义？当x取何值时，分式x1(x 1)(x 2)无意义？练习】当 x 取何值时，下列分式无意义？2x 1x2(x 4)(x 1)题型三：分式的值为 0 的条件例 1 、当x取何值时 ,下列分式的值为零x3x2 7 x 3x2 1 x m1x3(2) (3) 2(4)( 5)x 7 x 9 x 1 x m【练习】x11. 若分式 x 1的值为零，则 x得值等于 x12. 如果分式 x 9的值为 0，那么 x的值为x33. 当x取何值时，分式x 4 的值为 0？(x 4)(x 1)4. 已知分式x2 25x5的值为 0，求 x

5、的值.题型四：分式值为正、负的条件例 1.当 x取何值时，分式 x 3 的值为正？x1例 2. 当 x 取何值时，分式 x 4 的值为负？3x 6【练习】3 4x1、使分式 32 4x的值为正数的 x的取值范围是 x2 12、若分式 x 1 的值为负数，则 x 得取值范围是 3x 2题型五 综合考察例 1. 已知当 x=-2 时，分式 x b 无意义，当 x 4 时，此分式的值为零，求 a b xa2例 2. 若 5 xm m 0 ，求代数式 x m 的值.3x 21 m x m15.1.2 分式的基本性质15.1.2 分式的基本性质1 分式的基本性质： 2. 分式的符号法则： 3. 分式的约

6、分： 4. 分数的通分： 题型一 分式的基本性质例 1. 当 d时，等式 m m d 4 成立n n d 4例 2. 下列分式变形错误的是()A. c bcab ab2B. xxy2x xy22xy132C.D. x 3x 1 x2例3.若 x x(m n) 成立，则 m, n的关系是y y(m n)例 4. 分式 xy 中 x 和 y 都扩大到原来的 6 倍，那么分式的值（ ） xyA. 扩大为原来的 6 倍B.不变1C. 缩小为原来的 6 倍D. 无法确定例 5. 不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数0.2x 12 y1）12xy432) 0.1x 0.3y0.5x

7、 0.02y【练习】1、写出下列等式中的未知分子或分母21）18m n 3m224mn22）ab ab2、若分式a2ab中a，b 的值同时扩大到原来的10 倍，则此分式的值（不变A 是原来的 20 倍 B 是原来的 10 倍 C 是原来的 1 D 105x3、如果把 5x 的 x与 y都扩大 10倍，那么这个代数式的值（）xy1 A 不变 B扩大 10 倍C 扩大 50 倍D 缩小为原来的 1104、若分式 mn 中的 m，n的值同时扩大到原来的 2 倍，则此分式的值（）mn1 A 不变 B 是原来的 C 是原来的 2 倍 D 是原来的 4 倍223x5、不改变分式的值，把分式 5 10 中的

8、分子、分母的各项系数化为整数，然 0.4x 0.5后选着一个你喜欢的数代入求值题型二 分式符号的变化例 1. 不改变分数的值，使下列各分式的分子和分母中都不含“1 2x b（ 1） 1（2） 2x（ 3）b2a2a4）3ab练习】1. 不改变分式的值，使下列各分式本身的符号位正1)x yxy2) 32yx3) 2ab3c4）2x yxy2. 不改变分式的值，使分子和分母中最高次项的系数都是正数1 2x x21)11 2xx 3xx2；2) 11 2x2x.题型三 分式的约分4m3n212a3 y x2x2 4x 4362m n27 x yx2 4例 2. 下列各式中，是最简分式的是（）m2 4

9、n2A. 2m 2n 22B. mn3 mCx1 x2 1例 1. 约分：22 ab a2 abx2 2xy y23x 3yx2 2xy y23x 3yxyxy例 3.要使式子 1 2x 2 从左到右变形成立， x 应满足的条件是（x 3 x x 6x 2 D x 2例 4. 若1 x 2，化简 x 1 x 21x x 2例5.先化简，再求值： x2x 8x1616 ，其中 x=3.例 6. 已知m 3, 求42(m 1)(m 3)(2m m2)(m3 m2)(m 2)(m 3)的值题型四 分式的通分例 1. 求下列各式的最简公分母：(1) c2 , a2 2, b 2 ；(1) 6a2b,8

10、b2c2,3ac2 ；( 2) x 2 , 2 , zx22x 2 x2 2x 1 8 4x例 2. 通分：1)1,42x2 y,3xy42)22 m 2m 1 1 m3)4)11x2 x x2 +2+15)1, 1x x 16)7)a 2, 4a,2a 2 a2 2a1 , 1 , 1x 1, 2x 2, x2 2x 1题型五 分式的综合运用例 1. 函数 y 1 中，自变量 x 的取值范围是.x3a b c 2 2例 2. 若 2 3 4 0，求 2a2 3bc c2 的值. 22 a2 2ab c2例 3. 若整数 a 使 6 为正整数，试求 a 的值 . 1a例 4. 加工一批零件，甲

11、乙两人合作需要 a h 完成，甲单独完成需 b h，则乙单 独完成需多少小时？例 5. 已知 1 1 4, 求 a 3ab b 的值； a b 2a 2b 7ab22例5. 已知 x 3，求 x22 2xy 3y22 的值. y x2 xy y 2例 6.如果分式x21 x3的值是负数，求 x 的取值范围 .32 , 93 , 274 ,815 , , 则第 10 个分式是什么？第 n x x x x1例 7. 观察下面一组分式： 1x个分式是什么？（ n 为正整数）15.2 分式的运算1. 分式的乘法 : 3. 分式的乘方： 题型一 分式的乘法(2) 2xyyz8yz39x3z2 例1. 计

12、算： (1)43mn 2 ( 6mn );练习】例 1. 计算：(1)x 3 1x 3 x2 3x22(2) a3ab42b3ab2aba 2b3)2x2 9 x 12x2 1 x 34)2a 1 a2 4a 422a2 4 a 2 2a 12a2 4 a 3(1)3x 6x2 4x2 4x 4x2226) a3a a 2a题型二 分式的除法2 2 2 例1. 计算： (1)2acb2 34adbc ;(2)332a c 4ac2 b3b2例 2. 计算：1)1 1 m m2 1 1 m2)x2 2xy y2xy(xy x2).22例 3. 化简求值： x 22xy y 1 ，其中 x 2,y

13、 1 x2 xy x例4. 求使式子 xx 65 xx 34有意义的 x的取值范围.题型三：分式的乘方2 4 3 例1.计算( 1)( 3a )2；(2)( 2b)2；(3)( 2x 3y )2；(4)(3x4)3 a b a 5z 5y题型四 分式的乘除混合运算例1计算：1)2)36 a22a2 10a 25 2a 106 a a+52a2 6a3)32a 2a 3 b 2( ) ( ) ( )2bb 24)22x y 2 2( )2 (x y)2 ( xyx )3xy例 2. 先化简 2x2 4 2x (x2 1)，再任选一个你喜欢的数代入求值 .x2 4 x 2例 3. 已知 a 3,x

14、 1 ，求代数式22 ax22 axa2 42ax4 x2 2 2 1 2 2的a4 x4a 2 2ax x21 x y x y x2 y2 (x y)2 x y值.例4. aa 12 a2a 2a4 1 a21 1，其中 a满足a2 a 0题型四 分式的加减例1 计算：22(1)(x y)2 (x y)2 ;(2)xy xym 2n n 2n n m m n n m例2 计算：1)5 7a b2 2 26a2b 8b2c 12a2c2)m 2 12m 4m 4 2m 43)a2b2a b a b4)2a 1a2 4 2 a5) xx+32 x22 x45)m n 2mnm n m n m2

15、n2例3已知2x 3x(x 1)(x 2)A,B,C是常数)，求 A,B,C的值.例 4. 计算 a abbcc所有可能的值题型五 分式的混合运算例 1.(1)(1 2xx 1)x 2)x42x 2x;(2) 21x2x1xy(x y( 2xx y)例 2. 已知 3x2 xy 2y2 0 ，求22x y 4xy x 2xy 3y 的值2 2 2 2x y y x x 9y例 3. 先化简，再求值：2x 2x2y22x 22 ，其中 x,y满足方程组x2y3.x22xyy2xyx yxy5223344aa例 4. 已知2222,3333,4444,若 a10a10（a,b都112233bb是正

16、整数） .a2 a2b aa2 b2 a2 b2 ab b2a2 ababa2 2ab b2的值.例 5. 有一道题：“先化简， 再求值： x 3 26x21 ，其中 x2011”，x 3 x2 9 x2 9小亮同学做时把 “ x2011 ”抄错成了“ x 2011”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事 .15.2.3 整数指数幂1. 整数指数幂： 2. 科学计数法： 题型一 负整数指数幂例1 计算： (1) 2 ;(2) a1b2c3 3；(3) ( 2m2n3) 3例2 计算：(1) a2b 3 a 1bab ;(2) a 2b3 a2b2 3;(3) 3 0 1 32 34;

17、3(4) 1 2 1225 (2004 )0.1(5) 3 (5 )0 (14)-1+(-1)例 3. 已知 3x y 5 0，试求 8x 2y的值.2x例4. 已知 312,31n 5，求92m n的值.2x例 5.已知 ax 3 ，求xxaa的值.例 6. 若(x 4)0 2(4x 8) 3有意义，求 x的取值范围 .例 7. 若 a 0.32 ， b 32 ， c ( 1) 2 ，d ( 1)0 ，则 a,b,c,d 的大小关系是33题型二：科学记数法例 1. 用科学计数法表示下列各数（1）0.0000963；（2）0.000168；（3）-0.00000094 ；（4）-0.00000

18、023例 2. 用小数表示（1） 3.17 10 5；（ 2） 5.62 10 8；（3） 5 10 4；（4） 2.68 10 5例 3. 计算：53(1) (4.2 105) (5 10 3);3)(2 10 6)2 (10 4)3；32 2 22)(6 10 3)2 (3 102)2.4) 2.2 10 9 (4.4 10 11)例 4. 计算1）22x y ；11xy2）2x2xxxaa例 5. 在某次飞行特技表演中，飞行员需要在空中作一个以 a 1015m 为半径的圆，飞行的速度为 b 1050 m/s ，那么完成这个动作所需的时间为多少？例 6. 一根长 1m ，直径为 80mm

19、的光纤预制棒，可均匀拉成至少 400km 长的光纤， 试问： 1cm2 是这种光纤的横截面面积的多少倍（结果保留两位有效数字）？难题总结题型一：整体思想1 例 1.已知 3x 3y xy ，则x11 的值 y【练习】331. 若a3 a 2 0 ，则 aa a 的值是a222. 已知 1 1 3, 求 2a 3ab 2b 的值 a b a 2ab b ab3. 已知ab 1，求 a b 的值 a 1 b 114. 已知 m1，求 2m2 2m 1 的值m题型二：完全平方公式变形11 例 2 已知 a 1 5,求 a2 12 的值aa2【练习】1.若a a 1 3 ，求（ 1） a2 a 2；（

20、2）a4 a 4的值2a2 124 42.已知a2 3a 1 0 ，求(1)a2 的值;(2) a4 a 43. 已知 x2 3x 1 0 ，求x8 x34x4 1 x题型三：巧设 k 值例 3. 已知 a b c k ，求 k 的值 b c a c a b【练习】2 2 21. 已知 x y z ，求 x 2 y 3z 的值2 3 4 xy 2 yz 3xz2.已知x:y 2:3，求 x 2y 5x 6y 的值3x 4y 6x 7 y3.已知 xyz（a,b,c 互不相等），求 x y z 的值abbccaxyxzyzxyz4.已知(x y z 0) ，求x y z 的值zyxxyz题型四：

21、倒数、裂项变形例 1. 已知三个数 x, y, z ，满足xyxy2,yzyz3 zx4, z xxyz xy yz的 zx练习】1. 已知a,b, c为实数，且 abbcac 1abcbcab bc ac题型五：消元法化简分式例 4. 已知 2a 3b c 0,3a 2b 6c 0, abc 0，求3 3 3a 2b ca2 b 2b 2c 3ac2的值练习】1. 若x y z 0,3x 2y 6z 0，且 xyz 0 。2 2 2xyz222 2x y z的值15.3 分式方程1. 分式方程基础概念： 2. 解分式方程的基本步骤： 3. 出现“无解”的原因：出现“增根”的原因：考点一： 识

22、别分式方程例 1、下列关于 x 的方程中，是分式方程的是（）x32x 11A. 236x2x24B.x1x1xC. 2 1C. xx03D. x ax （ a，b 为非零实数）ab【练习】下列分式是分式方程的有（ ）11 ； 11x 6； 116； x y1.xy x3 xy 2 3A.1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个考点二： 解分式方程：题型一：解分式方程例 1. 解下列分式方程1)57x x 22)x52 x 5 5 2 x3)7 3 1 7 x2 x2 x x2 x 1 x2 1练习】1)3)5)1 1 xx 2 2 x2 x 13 3x 1 9 x 32)4)2x 1 1 2

23、 x5)x21 x212 2 12x2 9 x 3 x 3736x2 x x2 x x2 1题型二：无解例 1. 若关于 x的方程 关于 x的方程 x a 3 1无解，则 a 的值为x 1 x 2x 2 mx 1无解，求 m的值 x 3 3 x【练习】1. 若关于 x的分式方程 2 m 2无解，求常数 m的值x 3 x 32. 若关于 x的分式方程 x m x 无解，求 m的值x 1 x 1 x 1题型三：增根例 1.若关于 x的方程 2 x m 2 有增根，则 m的值是x 2 2 x【练习】1. 当a为何值时，方程 x 2 a 会产生增根？x 3 x 32. m 为何值时，关于 x 的方程

24、22mx已知关于 x 的方程 x 2 m 解为正数，求 m的取值范围 会产生增根？x 2 xx 3 x 3 4 x 23. 已知方程 1 2 2 k 有增根，求 k的值4 x2x 24. 当 m为何值时，去分式解方程 4x 1 1 5x m会产生增根？3x 6 2 x5. 已知关于 x的方程 3 6 x m 有增根，求 m的值？x x 1 x(x 1)6. 若解关于 x 的分式方程 22mx3 会产生增根，求 m 的值x 2 x 4 x 2题型四：求分式方程中字母取值范围例1.当a取何值时，关于 x的方程xx 21 xx3 (x 2x)(xa 3)的解为负数？【练习】 1.当m为何值时，关于

25、x的方程 m(x 2) 3(m 1) 1有负数解？x12.已知关于 x的分式方程 a 2 1的解是非正数，则 a的取值范围是x14.已知关于 x的分式方程 1 2xx x22m4的解也是不等式组1x2x22(x 3) x 8解，求 m 的取值范围题型五：特殊分式方程的解题技巧例 1. 解方程：1 1 1 1x(x 1) (x 1)(x 2) (2x 1) 2x 8例 2. 解关于 x 的分式方程： a b 1（b 1） xa题型六 分式方程的实际应用（1）工程问题 例 1 （2011?泰安）某工厂的甲车间承担了加工 2100 个机器零件的任务，甲车 间单独加工了 900个零件后，由于任务紧急，

26、 要求乙车间与甲车间同时加工， 结 果比原计划提前 12 天完成任务已知乙车间的工作效率是甲车间的 1.5 倍，求 甲、乙两车间每天加工零件各多少个？例 2 玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6 周完成，共需装修费为 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周才能完成， 共需装修费 4.8 万元玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单 独完成（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ （2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由例3 （2010?通化）某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承 包这个项目公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的 2 倍；甲、乙两 队合作完成工程需要 20 天；甲队每天的工作费用为 1000元，乙队每天的工作费 用为 550元根据以上信息， 从节约资金的角度考虑， 公司应选择哪个工程队？ 应付工程队费用多少元？（2）路程问题例 4 （2011?徐州）徐州至上海的铁路里程为 650km从徐州乘“ C ”字头列车 A，“D”字头列车 B 都可到达上海，已知 A 车的平均速度为 B 车的 2 倍，且行 驶时间比 B 车少 2.5h（1）设 A 车的平均速度是 x km/ h，根据题意，可列分式方程：（2）求