等差数列-文档资料

1、2.22.2 等差数列等差数列 等差数列等差数列(2(2课时）课时）姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数：一周训练罚球的个数：第一天：第一天：6 0006 000，第二天：第二天：6 5006 500，第三天：第三天：7 0007 000，第四天：第四天：7 5007 500，第五天：第五天：8 0008 000，第六天：第六天：8 5008 500，第七天：第七天：9 000.9 000.得到数列：得到数列：6 0006 000，6 5006 500，7 0007 000，7 5007 500，8 0008 000，8 5008 500，9 000.9 000.情境情境1 1：1.

2、趣味情境趣味情境情境情境2 2：某名牌运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是某名牌运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cmcm）得到数列：得到数列：1122,23,23,24,221124,25,25,26.226 000，6 500，7 000，7 500，8 000，8 500，9 000.数列数列1 1111122,23,23,24,24,25,25,26.2222数列数列2 2问题问题1 1：请你说出这两个数列的后面一项是多少？你请你说出这两个数列的后面一项是多少？你的依据是什么？的依据是什么？问题问题2 2：这两个数列的共同特征是什么？这两个数列的共同特征是什么？提示：提示：9500950

3、0， 等差。等差。提示：都是等差数列。提示：都是等差数列。126;2等差数列的定义等差数列的定义探究探究1 1 ：等差数列的概念：等差数列的概念3.问题探究问题探究探究性问题探究性问题1 1：以上数列是否是等差数列？以上数列是否是等差数列？若是，公差是多少？若是，公差是多少？ 问题问题1 1 6 6，4 4，2 2，0 0，-2-2，-4-4，问题问题2 24 4，7 7，1010，1313，1616，19,19,问题问题3 30 0，1 1，0 0，1 1，0 0，1 1, ,问题问题4 4常数列常数列, , , , ,a a a a a 公差可以是正数公差可以是正数, ,负数，负数，也可以

4、是也可以是0. 0. 每一项与它的前每一项与它的前一项的差必须是一项的差必须是同一个常数同一个常数( (因因为同一个常数体为同一个常数体现了等差数列的现了等差数列的基本特征）基本特征）. .公差公差d d是每一项是每一项（从第（从第2 2项起）项起）与它的前一项的与它的前一项的差，不要把被减差，不要把被减数与减数弄颠倒数与减数弄颠倒. .“从第从第2 2项起项起”探究性问题探究性问题1 1 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做列就叫做等差数列等差数列，这个常数叫

5、做等差数列的，这个常数叫做等差数列的公公差差，公差通常用字母，公差通常用字母d d表示表示. .1.1.数学表达式数学表达式:a:an n-a-an-1n-1=d (n2).=d (n2).3.3.取值取值范围：范围：dR.R.2. 2. d为同一个为同一个常数，如常数，如2 2，3 3，5 5，9 9，1111就就不是等差数列不是等差数列. .4.等差数列的理解等差数列的理解下列数列是不是等差数列？如果是，求出公差下列数列是不是等差数列？如果是，求出公差d.d.（1 1）1 1，4 4，7,107,10；（2 2）1,1.5,2,2.5,3,3.51,1.5,2,2.5,3,3.5；（3 3

6、）1515，1212，1010，8 8，6 6，【解析解析】（1 1）是等差数列，公差）是等差数列，公差d=3d=3；（2 2）是等差数列，公差）是等差数列，公差d=0.5.d=0.5.（3 3）不是等差数列，相邻两项的差不相同）不是等差数列，相邻两项的差不相同. .【即时练习即时练习】 探究性问题探究性问题2 2： 在如下的两个数之间，在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：就会成为一个等差数列：（1 1）2 2， ，4 4； （2 2）-8-8， ，0 0；（3 3）a a， ，b b等差中项的等差中项的相关知识相关知识3 3-4-4？探究

7、探究2 2 ：等差中项：等差中项 由三个数由三个数a a，A A，b b组成的等差数列可以看成组成的等差数列可以看成最简单的等差数列最简单的等差数列. .这时，这时，A A叫做叫做a a与与b b的的等差中项等差中项. .2abA 探究：探究：（1 1）等差数列）等差数列8 8，5 5，2,2,的第的第1010项，第项，第3030项，第项，第4040项？项？（2 2）已知等差数列的首项为）已知等差数列的首项为 ，公差为，公差为 ，请根据，请根据等差数列的特点，猜想等差数列的特点，猜想 ？ ？1ad40a na 等差数列的通项公式：等差数列的通项公式： 迭加法迭加法观察，发现观察，发现上上面面各

8、各式式两两边边分分别别相相加加得得：211132431,(1),.,1.() ,nnnnaaaandaadaadaaaanddd 通项公式的变式通项公式的变式nmaanm d 求等差数列求等差数列3 3，7 7，1111，的第的第4 4项与第项与第1010项项. .【即时练习即时练习】【解析解析】（1 1）根据题意得：）根据题意得： a a1 1=3,d=7-3=4, =3,d=7-3=4, 例例1 1 （1 1）求等差数列）求等差数列8 8，5 5，2,2,的第的第2 20 0项项. .（2 2）-401-401是不是等差数列是不是等差数列-5-5，-9-9，-13-13，的的项？如果是，是

9、第几项？项？如果是，是第几项？1 12 20 0( (1 1) )由由a a = =8 8, ,d d = =5 5- -8 8= = - -3 3, ,n n = =2 20 0, ,得得a a= =8 8+ +( (2 20 0- -1 1) ) ( (- -3 3解解：) )= = - -4 49 9. . 1 1n n(2)由(2)由a = -5,d = -9- -5 = -4,得a = -5,d = -9- -5 = -4,得列列的的通通公公式式a = -5-4 n-1 = -4n-1.由a = -5-4 n-1 = -4n-1.由意意知知，本本是是要要回回答答是是否否存存在在正正整

10、整n，n，使使得得-401= -4n-1成-401= -4n-1成立立.解.解于于n的n的方方程程，得得n =100，n =100，即即-401是-401是列列的的第第100.100.这这个个数数项项为为题题题题数数这这个个关关这这个个数数项项判断判断102102是不是等差数列是不是等差数列2 2，9 9，1616，的项？如的项？如果是，第几项，如果不是，说明理由。果是，第几项，如果不是，说明理由。【解析解析】由题意得：由题意得： a1 1=2,d=9-2=7=2,d=9-2=7这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：an n=2+ (n-1) =2+ (n-1) 7 7=7n-5(n1)

11、=7n-5(n1)令令102=7n-5,102=7n-5,得得 n=107/7 N n=107/7 N 102102不是这个数列的项。不是这个数列的项。【变式练习变式练习】【解析解析】由题意，由题意，解之得解之得a a1 1=-2,d=3.=-2,d=3.即即51121aa4daa11d，得，1110a4d31a11d，代入公式代入公式例例2 2 在等差数列在等差数列a an n 中，已知中，已知a a5 5=10,a=10,a1212=31,=31,求首项求首项a a1 1与公差与公差d.d.【变式练习变式练习】B B1.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6a-6

12、，-3a-5-3a-5，-10a-1-10a-1，则则a等于（等于（ ）A. 1 B. -1 C. D.A. 1 B. -1 C. D.31115由由(-3a-5)-(a-6)=(-10)=(-10a-1)-(-3-1)-(-3a-5 )-5 )得得a=1.a=1.【解析解析】A A当堂检测当堂检测2.(20152.(2015北京高考北京高考改编改编) )已知等差数列已知等差数列aan n 满足满足 a a1 1+a+a2 2=10,a=10,a4 4-a-a3 3=2.=2.求求aan n 的通项公式的通项公式. .【解析】【解析】设等差数列公差为设等差数列公差为d,d,则则d=ad=a4

13、4-a-a3 3=2,a=2,a1 1+a+a2 2=2a=2a1 1+2 +2 =10,=10,所以所以a a1 1=4.=4.因此因此,a,an n=4+(n-1)=4+(n-1)2=2(n+1).2=2(n+1).3.3.在等差数列在等差数列a an n中，中，(1) (1) 已知已知a a1 1=2,d=3,=2,d=3,求求a a1010. .解：解：a a1010=a=a1 1+(10-1)d=2+9+(10-1)d=2+93=29.3=29.(2) (2) 已知已知a a1 1=3,a=3,an n=21,d=2,=21,d=2,求求n.n.解：解：21=3+(n-1)21=3+

14、(n-1)2, 2, 所以所以n=10.n=10.(3) (3) 已知已知a a1 1=12,a=12,a6 6=27,=27,求求d.d.解：解：a a6 6=a=a1 1+5d,+5d,即即27=12+5d, 27=12+5d, 所以所以d=3.d=3.(4) (4) 已知已知d= ad= a7 7=8,=8,求求a a1 1. .解：解：a a7 7=a=a1 1+6d, 8=a+6d, 8=a1 1+6+6( ), ( ), 所以所以a a1 1=10.=10.1,3134.-204.-20是不是等差数列是不是等差数列0,-3.5,-70,-3.5,-7，的项？如果的项？如果是，是第几

15、项？如果不是，说明理由是，是第几项？如果不是，说明理由. .【解析解析】不是，理由如下：不是，理由如下：a a1 1=0,d=-3.5.=0,d=-3.5.所以所以-20-20不是这个数列中的项不是这个数列中的项. .，因为，因为nNnN* *，-20=0+(n-1)-20=0+(n-1)(-3.5)(-3.5)，47n7P38页例页例3（证明等差数列的方法）（证明等差数列的方法）拓展探究拓展探究5.等差数列等差数列的主要质：的主要质：1.等距性等距性(对称性对称性)：a1+an= a2+an-1= ak+an-k+12.若若p+q=m+n，则，则aP+aq= am+an 3. 公差为公差为d

16、，则，则dnmaanm1.等差数列等差数列an中，若中，若a1+ a4+a7=39， a2+ a5+a8=33，求求 a3+ a6+a9的值。的值。当堂练习当堂练习2.一等差数列由三个数组成，三数之和为一等差数列由三个数组成，三数之和为9，三数的平方和为三数的平方和为35，求此三数。，求此三数。300 83+5（n-1）5003.3.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1， 则则 a 等于（等于（ ) ) A. 1 . 1 B. -1 . -1 C.- .- D.311154. 在数列在数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= .(-3a-5 )-(a-6-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )提示：提示：提示：提示：d=an+1- an=-45. 在等差数列在等差数列an中中a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？ -35提示：提示：52845244 nn=45，46，844082a = -130123426aaaa+=2340aa =2313aa+=2,5,8,1111,8,5,