第七章有限单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法10级通信

1、第七章 FIR滤波器的设计主要内容主要内容 概述概述 线性相位线性相位 FIR DF FIR DF 约束条件和频率响应约束条件和频率响应 窗函数法窗函数法 频率取样法频率取样法7.1 7.1 概述：概述：IIR IIR 和和 FIR FIR 比较比较nIIR与与FIR性能特性比较性能特性比较nIIR数字滤波器：数字滤波器：n幅频特性较好；但相频特性较差；幅频特性较好；但相频特性较差； n有稳定性问题；有稳定性问题；nFIR数字滤波器：数字滤波器：n可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性n因果稳定系统因果稳定系统n可用可用 FFT 计算计算n但阶次比但阶次比 IIR

2、 滤波器要高得多滤波器要高得多nIIR 与与 FIR 设计方法比较设计方法比较nIIR DF：n无限冲激响应，无限冲激响应，H(Z) 是是 z-1 的有理分式，的有理分式，借助于模拟滤波器借助于模拟滤波器设计方法设计方法，阶数低（同样性能要求）。其优异的幅频特性是，阶数低（同样性能要求）。其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。以非线性相位为代价的。n缺点：缺点：只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。 nFIR DF：n有限冲激响应，系统函数有限冲激响应，系统函数 H(Z) 是是 z-1 的多项式，的多项式，采用直采用直接逼近要求的频率响应

3、接逼近要求的频率响应。设计灵活性强。设计灵活性强n缺点：缺点： 设计方法复杂；设计方法复杂； 延迟大；延迟大； 阶数高。阶数高。nFIR DF 的技术要求：的技术要求：n通带频率通带频率p，阻带频率，阻带频率s 及最大衰减及最大衰减p，最小衰减，最小衰减sn很重要的一条是保证很重要的一条是保证 H(z) 具有具有线性相位线性相位。7.1 7.1 概述：概述：IIR IIR 和和 FIR FIR 比较比较7.1 7.1 概述：概述：FIR DF FIR DF 设计方法设计方法nFIR 数字滤波器数字滤波器n设计设计 FIR 滤波器的任务：滤波器的任务：n给定要求的频率特性，按一定的最佳逼近准则，

4、选给定要求的频率特性，按一定的最佳逼近准则，选定定 h(n) 及阶数及阶数 N。n两种设计方法：两种设计方法： 窗函数加权法窗函数加权法 频率采样法频率采样法7.1 7.1 概述：概述：FIR DF FIR DF 零极点零极点n FIR滤波器的滤波器的I/O 关系：关系：10Nry(n)h(r)x(nr) 0 1 21( ), , , ,., h nnNn FIR 滤波器的系统传递函数：滤波器的系统传递函数：12110011NNNrNrh( )zh( )z.h(N)H(z)h(r)zz 在在 Z 平面上有平面上有 N-1 个零点；在原点处有一个（个零点；在原点处有一个（N-1）阶极点，永）阶极

5、点，永远稳定。远稳定。n FIR 系统定义：系统定义：一个数字滤波器一个数字滤波器 DF 的输出的输出 y(n)，如果仅取决于，如果仅取决于有限有限个过去的输入和现在的输入个过去的输入和现在的输入x(n), x(n-1),. ., x(n-N+1)，则称之，则称之为为 FIR DF。 n FIR 滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：n FIR DF 的频率响应为：的频率响应为：FIR 滤波器的最重要特点是能实现线性相位。滤波器的最重要特点是能实现线性相位。具有线性具有线性相移特性的相移特性的 FIR 滤波器是滤波器是 FIR 滤波器中应用最广泛的滤波器中应用最广泛的一种。一种。1j (

6、)r0()( )H ()eNjj nnH eh n e H()：幅度函数，它是一个取值可正可负的实函数。：幅度函数，它是一个取值可正可负的实函数。 () = arg H(ejw) 为数字滤波器的相位函数。为数字滤波器的相位函数。 7.1 概述：概述：FIR DF 频率响应频率响应n信号通过信号通过线性滤波器线性滤波器时，其时，其幅度和相位可能会发生改变幅度和相位可能会发生改变，滤波器增益滤波器增益 |H()|和相位和相位 () 可能会随频率的变化而可能会随频率的变化而改变。改变。n如：如：输入正弦信号输入正弦信号 Acos(n0) 则：则：输出为输出为 |H(0)| Acos(n0)，其中相移

7、，其中相移(0) 输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化n输出信号比输入信号滞后的样点数输出信号比输入信号滞后的样点数 n (位移位移) 可由下式求得可由下式求得: 设：设：n00 000()n- 滤波器在数字频率滤波器在数字频率0 处的相位延迟（位移）处的相位延迟（位移） 由于相位延迟由于相位延迟 n 的不同，最终产生了相位失真。的不同，最终产生了相位失真。 确保不产生相位失真的办法：使确保不产生相位失真的办法：使不同频率不同频率的信号通过滤波器时有的信号通过滤波器时有相同的延迟相同的延迟 n。 7.1 概述：相位失真概述：相位失真n

8、 对对不同的频率不同的频率有有恒定的相移恒定的相移，会产生相位失真，会产生相位失真. 如：方波如：方波 y(t) 可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到： 41111y(t)sin( t)sin(3 t)sin(5 t)sin(7 t)sin(9 t)3579 若每个正弦波相移若每个正弦波相移/2 弧度：弧度： 确保所有频率具有相同相位延迟的简单方法：确保所有频率具有相同相位延迟的简单方法： 随着频率的变化而改变相位，使滤波器具有随着频率的变化而改变相位，使滤波器具有线性相位特性，线性相位特性，即使所有频率的相位延迟保持恒即使所有频率的相位延迟保持恒定，

9、这种方法可通过使系统的相位函数定，这种方法可通过使系统的相位函数()为频为频率率的的线性函数线性函数来实现。来实现。 7.1 概述：相位失真概述：相位失真p41111y (t)=cos( t)cos(3 t)cos(5 t)cos(7 t)cos(9 t)3579 可见相移之后正弦波之和已不再是方波。可见相移之后正弦波之和已不再是方波。7.2 线性相移线性相移FIR DF 约束条件和频率响应约束条件和频率响应n三个内容：三个内容： 约束条件约束条件n恒延时滤波恒延时滤波n偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立 n奇对称：仅恒群延时成立奇对称：仅恒群延时成立 频率响

10、应频率响应nType I：h(n) 偶对称、偶对称、N 为奇数为奇数nType II：h(n) 偶对称、偶对称、N 为偶数为偶数nType III：h(n) 奇对称、奇对称、N 为奇数为奇数nType IV：h(n) 奇对称、奇对称、N 为偶数为偶数 FIR DF 零极点分布零极点分布相延时：相延时： ( )( )p 群延时：群延时： ()()gdd .1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：恒延时滤波约束条件：恒延时滤波n恒延时滤波恒延时滤波 n滤波器的延时有相延时和群延时两种滤波器的延时有相延时和群延时两种10()()()( )|()|( )NjjnjjjnH eh n

11、 eH eeHe 令令j( )= arg H(e) 恒延时滤波器：恒延时滤波器：p() 或或g() 是是不随不随变化的常量，变化的常量，这这时滤波器具有线性相位特性。时滤波器具有线性相位特性。( ) （负号是因为系统必有时延）（负号是因为系统必有时延） 由于由于 FIR 滤波器的频率响应为滤波器的频率响应为 :1010()( )( )cossinNjj nnNnH eh n eh nnjn w(w)01010( )sin( )arg()arctan( )cosNjnNnh nnH eh nn 故故: n恒相延时和恒群延时同时成立恒相延时和恒群延时同时成立n要使要使p、g 都不随都不随 变化变化

12、,() 必须是一条过原点直线必须是一条过原点直线.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：恒延时滤波约束条件：恒延时滤波于是于是: 1010( )sinsintan()cos( )cosNnNnh nnh nn 1100( )sincos( )cossinNNnnh nnh nn 100( ) in()Nnh n sn h(0)sin()h(N-1)sinh(n)sin-nh(N-0 h(1)sinh(0)sin()h(N-1 h (1 1 -( hN-1)(N-2)s)s)sinin-(-n)si(nN(N-1-n-2) N-1in 0) .1 线性相移线

13、性相移FIR DF 约束条件：恒延时约束条件：恒延时可以证明，当可以证明，当 112 ( )() (0nN-1)Nh nh Nn 且且 12( )( )pgN 上式成立，此时上式成立，此时恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位滤波器的滤波器的必要条件必要条件是：是： 不管不管 N 为偶数，还是为偶数，还是 N 为奇数，系统为奇数，系统冲激响应冲激响应 h(n) 都关于中心点都关于中心点 (N-1)/2 偶偶对称对称。当。当 N 为奇数时对称中心轴位于整数为奇数时对称中心轴位于整数样点上样点上; 当当 N 为偶数时对称中心轴位于非整为偶数时对称中心轴位于非整

14、数样点上。数样点上。h(n) 为偶对称，为偶对称，N 为偶数为偶数012N 7nh(n)h(n) 为偶对称，为偶对称，N 为奇数为奇数012N 6nh(n).1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：恒延时约束条件：恒延时02( ) 于是有：于是有： 1010( )sincos()tancot2sin()( )cosNnNnh nnh nn 1100j ( )()H( )e( )( )cossinNNjj nnnH eh n eh nnjn n只要求恒群延时成立只要求恒群延时成立 若只要求群延时若只要求群延时g() 为一常数，则为一常数，则相移特性为不过原相移特性为不过原点的

15、直线。点的直线。0()2 1010( )sin( )arg()arctan2( )cosNjnNnh nnH eh nn 故故.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：恒群延时约束条件：恒群延时1100( )coscos( )sinsinNNnnh nnh nn 10( )cos()0Nnh nn 可以证明，当可以证明，当 112 ( )() (0nN-1)Nh nh Nn 且且 12( )gN 上式成立，此时上式成立，此时故故.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：恒群延时约束条件：恒群延时FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：滤波器单独满足恒

16、定群延时的必要条件为： 冲激响应冲激响应 h(n) 对中心点对中心点 (N-1)/2 成成奇对称奇对称。此时，无论。此时，无论 N 为奇为奇数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有/2 的固定相移：的固定相移： 因此，信号通过此类滤波器时不仅产生因此，信号通过此类滤波器时不仅产生 (N-1)/2 个取样点的延迟，还将个取样点的延迟，还将产生产生 90o 的相移，通常这类滤波器又被称为的相移，通常这类滤波器又被称为 90o 移相器，并具有很好的移相器，并具有很好的应用价值。应用价值。N-1( )22 1111222NNNhh Nh 当当 N 为奇数

17、时为奇数时，故，故102Nh 012N 7h(n) 为奇对称，为奇对称，N 为偶数为偶数nh(n)012N 6h(n) 为奇对称，为奇对称，N 为奇数为奇数nh(n).1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：恒群延时约束条件：恒群延时00,()1 2( )(1) N h nh Nn 相相时时延延和和群群时时延延同同时时成成立立n 奇对称：奇对称：() 对所有的频率成分都有一个对所有的频率成分都有一个 90相移。相移。因此，因此，有四种类型的有四种类型的 FIR DF： 7.2.1 7.2.1 线性相移线性相移 FIR DF FIR DF 约束条件约束条件n线性相位约束条件线

18、性相位约束条件n对于任意给定的值对于任意给定的值 N，当，当 FIR 滤波器的滤波器的 h(n) 相对其中心点相对其中心点 (N-1)/2 是对称时，不管是偶对称还是奇对称，是对称时，不管是偶对称还是奇对称，此时滤波器的此时滤波器的相移特性是线性的，且群延时都是相移特性是线性的，且群延时都是 = (N-1)/2 。n偶对称偶对称 ： () 为过原点的，斜率为为过原点的，斜率为 - 的一条直线的一条直线0,()221 2()(1) N h nh Nn 仅仅 群群 时时 延延 同同 时时 成成 立立INIINIIINIVN 类类型型 ： h(n) h(n)偶偶对对称称， 为为奇奇数数类类型型 ：

19、h(n) h(n)偶偶对对称称， 为为偶偶数数类类型型： h(n) h(n)奇奇对对称称， 为为奇奇数数类类型型： h(n) h(n)奇奇对对称称， 为为偶偶数数7.2.2 7.2.2 线性相移线性相移 FIR DF FIR DF 频率响应：频率响应：Type IType Inh(n) 偶对称，偶对称，N 为奇数（恒相时延、恒群时延为奇数（恒相时延、恒群时延n此时，由于此时，由于 h(n) 序列的长度为奇数，因此滤波器的频率序列的长度为奇数，因此滤波器的频率响应函数可进行以下响应函数可进行以下拆分（前后对称部分、中心点）拆分（前后对称部分、中心点）：1111121200121()( )( )(

20、 )2NNNNjwjwjnwjNnnwjnwnnNH eh n eh n eh n ehe h(n) 为偶对称，为偶对称，N 为奇数为奇数012N 6nh(n)对上式的第二和式作变量替换（对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m) 后得到后得到:1111122(1)2001()( )(1)2NNNjwjwjnwj NwjnwnnNH eh n eh Nn eehe 由对称条件由对称条件1( )()h nh Nn 则则 H(ej) 表示为：表示为：111220111220111220(1)11221()( )21( )21( )12c s2o2NNjjnNNjnNNjnj NjnNNjjjjw

21、jnnnNH eh nheNehh nNehheeeeeneeNn 令令 12Nnn 则上式为则上式为 1 11221120()211()2 ()cos 22( )cos( )NNnnjjNNjjNNH eehhnnea nneH 7.2.2 7.2.2 线性相移线性相移 FIR DF FIR DF 频率响应：频率响应：Type IType I 由此可以看出其线性相位特性。由于由此可以看出其线性相位特性。由于 cos(n) 对于对于 =0、2都是偶对称，所以都是偶对称，所以幅度函数幅度函数H() 对对=0、2也是偶对称也是偶对称。其中其中1( )()21( )2 ()2Na nh n0Na n

22、hn n0 幅度函数：幅度函数：120H( )( )cosNna nn 相位函数：相位函数：N-1( )-2 0246800.81h(n)0246800.81a(n)0120123frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-100frequency Unit:piPhasePhase ResponseN=9H(w)7.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type Inh(n) 偶对称，偶对称，N 为偶数（恒相时延、恒群时延为偶数（恒相时延、恒群时延n由于由于h(n) 序列

23、的长度为偶数，因此滤波器的频率响应函数可拆分序列的长度为偶数，因此滤波器的频率响应函数可拆分成如下成如下两部分（前后对称部分，中心点处无值）两部分（前后对称部分，中心点处无值）：7.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type IIh(n) 为偶对称，为偶对称，N 为偶数为偶数012N 7nh(n)对上式的第二和式作变量替换（对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m) 后得到后得到:由对称条件由对称条件1( )()h nh Nn 则则 H(ej) 表示为：表示为：1112200()( )( )( )NnNNNjjnjnjnnnH eh n eh n eh n e112

24、21001()()( )()NNjjnj NjnnnH eh n eh Nn ee 令令 2Nnn，则上式为：，则上式为： 120112120122()cos ()(jnj NwjjnnnNNNjH eh neneeNnhe 11212212122212()()()cos() ( )cos() ( )NNjwjwnNNjwjnrNH eehnnweb nnweH 其中其中22212( )(), ,.,/Nb nhn nN（注意（注意 n 从从1 开始，即开始，即 b(0)=0或或没有定义）没有定义） 7.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type II7.2.2 线性

25、相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type II 与所设计的与所设计的 b(n) 或或 h(n) 无关，恒为无关，恒为 0。这种类型（即。这种类型（即 h(n) 偶对偶对称，称，N为偶数）为偶数）不能用于高通或带阻滤波器不能用于高通或带阻滤波器。 2）由于）由于 cos(n-1/2) 对于对于 =是奇对称是奇对称，所以，所以，H(w) 对对 =也是奇对称；也是奇对称；以以 =0 =0、22为偶对称为偶对称。 幅度函数幅度函数：N2rn 11H ( )b(n) cos (n-)2 相位函数：相位函数：N-1( )-2 024600.81h(n)0246800.20

26、.40.60.81b(n)01200.511.52frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-100frequency Unit:piPhasePhase ResponseN=8n 从从1开始开始Hr (w)注意：注意： 1) 在在 = 处，有：处，有：21102( )( )cosNrnHb nn 111111222(1)(1)0001111112222001()22()( )(1)( )11( )2 sin() 2 ( )sin() 2212 ( )sin2NNNjjnj Njnjnj NjnnnnNNNNjjnnNjH eh

27、n eh Nn eeh n eeeNNeh njneh nnnjNehn 1120Nn nh(n) 奇对称，奇对称，N 为奇数（恒群时延为奇数（恒群时延nh(n) 长度为奇数，拆分成前后两部分：长度为奇数，拆分成前后两部分：7.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type III对上式的第二和式作变量替换，并利用对称条件对上式的第二和式作变量替换，并利用对称条件 h(n)=-h(N-1-n)，得，得:111121002()( )( )( )NNNjjnjnjnNnnnH eh n eh n eh n e012N 6h(n) 为奇对称，为奇对称，N 为奇数为奇数nh(n)

28、Hr (w)7.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type III12Nnn ，则上式为：，则上式为： 111222()()( )sin( )NNjjn jH eec nneH 其中其中1212212( ), ,.,()/Nc nhnnN令令幅度函数幅度函数：121( )( )sinNrnHc nn （）相位函数：相位函数：2N-1( )-2 02468-0.4-0.6h(n)0246800.81c(n)01200.511.5frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20

29、-10010frequency Unit:piPhasePhase Response0.5pi n 从从1开始开始与与 c(n) 或或 h(n) 的值无关，因此，这种类型的滤波器的值无关，因此，这种类型的滤波器不适用于低通、不适用于低通、带阻或高通滤波器设计带阻或高通滤波器设计 2）由于）由于 sin(n) 对于对于 =0、2 都是奇对称，所以，都是奇对称，所以，H(w) 以以 =0、 、2为奇对称为奇对称。 注意：注意： 1) 在在 =0 和和 处，有：处，有：1210()( )sinNjnH ec nn 7.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type III7.2

30、.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type IVnh(n) 奇对称，奇对称，N 为偶数（恒群时延为偶数（恒群时延1122212()()()( )sin()( )nNNjwjjH eed nneH 012N 7h(n) 为奇对称，为奇对称，N 为偶数为偶数nh(n)其中其中21 2 322( ), , ,.,NNd nhnn211( )d( )sin-2NrnHnn 122N （ ）7.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type IV02468-0.4-0.6h(n)0246800.81d(n)01200.5

31、11.5frequency Unit:piMagnitudeMagnitude Response012-30-20-10010frequency Unit:piPhasePhase Response0.5pi Hr (w)与与 d(n) 或或 h(n) 的取值无关，因此传输函数的取值无关，因此传输函数 H(z) 在在 z = 1 处为零点。处为零点。显然，这种类型显然，这种类型不能用于实现低通滤波器不能用于实现低通滤波器。2）由于）由于 sin(n-1/2) 在在 =处偶对称，在处偶对称，在0、2 是奇对称，所以，是奇对称，所以，H(w) 以以 = 偶对称，偶对称，0、2为奇对称为奇对称。 注

32、意：注意： 1) 在在 =0 处，有：处，有：21102()( )sin()NjnH ed nn 表表7-1 四种线性相位四种线性相位FIR滤波器特性滤波器特性n 一般的一般的 FIR DF 的零、极点：的零、极点：1111100()()( )( )( )( )NNnNNnNnnf zH zh n zzh n zz 在在z=0处，有一个（处，有一个（N-1）阶的极点，故滤波器稳定；）阶的极点，故滤波器稳定； 其零点要求其零点要求 f(z)=0，根据代数理论，它为，根据代数理论，它为 N-1阶多阶多项式，应有项式，应有 N-1 个根，所以有个根，所以有 N-1 个零点。如果个零点。如果 h(n)

33、 为实数值，其根肯定是共轭对称的。为实数值，其根肯定是共轭对称的。7.2.3 线性相移线性相移 FIR DF 零极点分布零极点分布1( )()h nh Nn 1,.,0Nn11001( )( )()NNnnnnH zh n zh Nn z 令：令：m=N-1-n)()()()(1)1(10)1(10)1( zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN于是：于是： )()(1)1( zHzzHN7.2.3 线性相移线性相移 FIR DF 零极点分布零极点分布n线性相移线性相移 FIR DF 的零极点：的零极点： 如果如果 zi 是是 H(z) 的零点，即的零点，即 H(zi) = 0 则则 H(z

34、-1) =0，即，即 zi-1 亦为亦为 H(z) 的零点。的零点。 n 上面提到上面提到 Zi 肯定是共轭的，故肯定是共轭的，故 Zi* 亦必为其零点亦必为其零点n 于是零点有：于是零点有：11,*,*iiiiz z zz1-1Za1Za21/bb7.2.3 线性相移线性相移 FIR DF 零极点分布零极点分布总结总结: :1) 一般情况，一般情况， ijiierz ，有四个零点，有四个零点： ijiierz ijiierz *ijiierz 11ijiierz 11*)( 2) r=1，单位圆上的零点：，单位圆上的零点： iijijiezez - (共轭对共轭对) 3) 位于实轴上的实数：

35、位于实轴上的实数：b, 1/b (实轴上的倒数对实轴上的倒数对)。4) zi =1：单零点：单零点 11*iiiizzzz思路：思路：理想数字滤波器理想数字滤波器设计的设计的 FIR 数字滤波器数字滤波器()( )jjnddnHeh n e 10()( )NjjnnH eh n e窗窗函函数数截截短短( )( )dh nh n 要求：要求：7.3 FIR DF 窗函数设计法窗函数设计法hd(n) 无限长，且非因果无限长，且非因果 h(n) 有限长，且因果有限长，且因果 n设所要求的设所要求的 DF 的频率响应是的频率响应是 Hd(ejw)，需要注需要注意：意：它可能是低通、高通、带通和带阻它可

36、能是低通、高通、带通和带阻 FIR DF，没有特指某种类型的数字滤波器。没有特指某种类型的数字滤波器。n不管是何种不管是何种 FIR DF，它的频率响应是频域中的，它的频率响应是频域中的周期函数，周期为周期函数，周期为 2，所以它可以展开为傅氏，所以它可以展开为傅氏级数形式：级数形式：()( )jjnddnHehn e 12( )()jjnddh nHeed 7.3.1 7.3.1 窗函数设计法：窗函数设计法：基本原理基本原理 式中式中 hd(n) 是傅里叶系数，也是单位取样响应序列。是傅里叶系数，也是单位取样响应序列。 由傅里叶级数理论可得：由傅里叶级数理论可得： 7.3.1 窗函数设计法：

37、基本原理窗函数设计法：基本原理因此，所要求的因此，所要求的 DF 的系统函数便可求得：的系统函数便可求得：n显然，显然，Hd(z) 是非因果的，且是非因果的，且 hd(n) 的持续时间为的持续时间为 - +，物理上不可实现。物理上不可实现。n我们可以采用我们可以采用逼近逼近 Hd(ejw) 的方法的方法 首先把首先把 hd(n) 先截短为有限项先截短为有限项，把，把 hd(n) 截为截为2N+1项，得：项，得：( )( )nddnHzhn z ( )( )nddnHzh n z MNnndznhzH)()(1然后把截短后的然后把截短后的 hd(n) 右移，使之变成因果性的右移，使之变成因果性的

38、序列。序列。 令令 H(z) 等于等于 H1(z) 乘以乘以 z-M 得：得：令令 h(n)= hd (n-M), n=0, 1, 2, ., 2M，则则 210()( )( )MMMn MndnndMhH zzH zhnMn zz 20( )( )MnnH zh n z 20()( )MjjnnH eh n e 频率响应频率响应 z=ejn显然显然nH(z) 是是物理可实现物理可实现的的n其冲激响应其冲激响应 h(n) 的的持续持续时间时间也是也是有限有限的的n选择选择 hd(n) = hd(N-1-n)，保证，保证H(z) 具有线性具有线性相位相位。 7.3.1 窗函数设计法：基本原理窗函

39、数设计法：基本原理n 将将 hd(n) 截短：截短： 0( ),|( ),dh n nMh n else相当于将相当于将 hd(n ) 与一窗函数与一窗函数 wR(n) 相乘，即相乘，即( )( )( )dRh nh n wn7.3.2 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs Gibbs 效应效应其中其中10,|( ),R nMwn else 在一定意义上来看，窗函数决定了我们能够在一定意义上来看，窗函数决定了我们能够 “看到看到” 多多少个原来的冲激响应，少个原来的冲激响应，“窗窗” 这个用词的含义也就在此。这个用词的含义也就在此。n 窗函数的频谱：窗函数的频谱： jM-jM-jMjjnjn

40、RR-jnn -M2M+12M+1-jj-j222-jj-j222e-eeW (e )w (n)ee1-e(2M1)Nee-esinsin22sinsinee-e22 = =此矩形窗谱为一钟形偶函数，此矩形窗谱为一钟形偶函数，在在 +2/N 之间为其主之间为其主瓣，主瓣宽度瓣，主瓣宽度 = 4/N，在主瓣两侧有无数幅度逐渐在主瓣两侧有无数幅度逐渐减小的旁瓣减小的旁瓣, 见图所示。见图所示。22sin(/ )()sin(/ )jRNWe 2/N-2/N主瓣主瓣第第1个旁瓣个旁瓣第第2个旁瓣个旁瓣7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应1212()()()()()jjjdRjjdRH eH

41、eWeHeWed n 截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：为便于分析，我们假定为便于分析，我们假定 |Hd(ejw)| 是理想低通滤波器是理想低通滤波器 LPF。式中积分等于式中积分等于由由 c 到到 c 区间内区间内 WNej(w-) 下的面积，随着下的面积，随着变化，变化，窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区间间，使得此面积发生变化，使得此面积发生变化， 也即也即 |H(ejw)| 的大小产生波动。的大小产生波动。-wc0wc()jRWe 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs

42、效应效应02N2NWR()-c0cHd()8950.08950.04680.0468卷积卷积-wc0wc-Hd()7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应n现在分析几个特殊频率点的滤波器性能：现在分析几个特殊频率点的滤波器性能： = 0 时：时： 由于一般情况下都满足由于一般情况下都满足 c 2 / N，因此，因此，H(0) 的值近似等于窗谱函数的值近似等于窗谱函数 WR(ejw) 与与轴围出的轴围出的整个面整个面积积。 02N 2N WR()-wc0wc-Hd()ccj01R1H (e )W ( )d2 =c 时时： 此时窗谱主瓣一半在积分区间内一半在区间外，因此，

43、窗谱曲线围出此时窗谱主瓣一半在积分区间内一半在区间外，因此，窗谱曲线围出的面积，近似为的面积，近似为=0 时时所围面积的一半所围面积的一半，即，即 。011122()()() cccjjRcH eH ewd 111()H (0)2cH -wc0wcHd()w =wcWR(w-)7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应=c - 2/N 时，正肩峰时，正肩峰 此时窗谱主瓣全部处于积分区间内，而其中一个最大负瓣刚好移出积分此时窗谱主瓣全部处于积分区间内，而其中一个最大负瓣刚好移出积分区间，这时得到最大值，形成正肩峰。之后，随着区间，这时得到最大值，形成正肩峰。之后，随着值的不断增大，值的不断

44、增大，H(ejw) 的值迅速减小，此时进入滤波器过渡带。的值迅速减小，此时进入滤波器过渡带。=c + 2/N 时，负肩峰时，负肩峰 此时窗谱主瓣刚好全部移出积分区间，而其中一个最大负瓣仍全部处于区此时窗谱主瓣刚好全部移出积分区间，而其中一个最大负瓣仍全部处于区间内，因此得到最小值，形成负肩峰。之后，随着间内，因此得到最小值，形成负肩峰。之后，随着值的继续增大，值的继续增大， H(ejw) 的值振荡并不断减小，形成滤波器阻带波动。的值振荡并不断减小，形成滤波器阻带波动。112121 089502()().( )cccRcHwdHMaxNN 1120 08950().( )cHHMinN -wc0

45、wcHd()WR(w-)2cw wN -wc0wcHd()WR(w-)2cw wN 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应过渡带：过渡带：正负肩峰之间的频带正负肩峰之间的频带。其宽度等于窗口频谱的主瓣宽度。其宽度等于窗口频谱的主瓣宽度。 对于矩形窗对于矩形窗 WR(ejw), 此宽度为此宽度为 4/N。 肩峰及波动：这是由窗函数的旁瓣引起的肩峰及波动：这是由窗函数的旁瓣引起的。旁瓣越多，波动越快、越多。相对值越大，波动越厉害，肩峰越强。旁瓣越多，波动越快、越多。相对值越大，波动越厉害，肩峰越强。肩峰肩峰和波动与所选窗函数的形状有关，要改善阻带的衰减特性只能通过改变窗和波动与所选窗函数

46、的形状有关，要改善阻带的衰减特性只能通过改变窗函数的形状。函数的形状。 在对在对 hd(n) 截短时，由于窗函数的频谱具有旁瓣，这些旁瓣在与截短时，由于窗函数的频谱具有旁瓣，这些旁瓣在与 Hd(ejw) 卷积时产生了通带内与阻带内的波动，称为卷积时产生了通带内与阻带内的波动，称为吉布斯现象吉布斯现象。长度长度 N 的改变只能改变的改变只能改变 坐标的比例及窗函数坐标的比例及窗函数 WR(ejw) 的绝对大小，但不的绝对大小，但不能改变肩峰和波动的相对大小（因为不能改变窗函数主瓣和旁瓣的相对比能改变肩峰和波动的相对大小（因为不能改变窗函数主瓣和旁瓣的相对比例，波动是由旁瓣引起的），例，波动是由旁

47、瓣引起的），即增加即增加 N，只能使通、阻带内振荡加快，过，只能使通、阻带内振荡加快，过渡带减小，但相对振荡幅度却不减小。渡带减小，但相对振荡幅度却不减小。n 加窗处理对理想矩形频率响应的影响：加窗处理对理想矩形频率响应的影响：结论：结论：过渡带宽度与窗的宽度过渡带宽度与窗的宽度 N 有关，随之增减而变化。有关，随之增减而变化。 阻带最小衰减（与旁瓣的阻带最小衰减（与旁瓣的相对幅度相对幅度有关）只由窗函数决定，与有关）只由窗函数决定，与 N 无关。无关。 7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应n设计设计FIR DF时，窗函数不仅可以时，

48、窗函数不仅可以影响过渡带宽影响过渡带宽度度，还能，还能影响肩峰和波动的大小影响肩峰和波动的大小，因此，选择窗，因此，选择窗函数应使其频谱：函数应使其频谱：主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡。主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡。旁瓣相对于主瓣越小越好旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减小，这样可使肩峰和波动减小，即能量尽可能集中于主瓣内。即能量尽可能集中于主瓣内。n对于窗函数，对于窗函数，这两个要求是相互矛盾的这两个要求是相互矛盾的，要根据需要，要根据需要进行折衷的选择，进行折衷的选择，7.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应.3、各种窗函数。、各种窗函数。 1. 矩

49、形窗矩形窗(Rectangle Window) 前面已分析过，其频率响应为前面已分析过，其频率响应为1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee 2. 三角形窗三角形窗(Bartlett Window)21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN其频率响应为：其频率响应为： 1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee 3. 汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗1211222( )0.51cos()( )1()( )()2()( )0.5()0.25()12 ()()1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNW

50、eFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN当当N1时，时，N-1N， 22( )0.5( )0.25()()HnRRRWWWWNN旁瓣相互抵消，能量更加集中在主瓣，但主瓣宽度增加一倍 4. 汉明汉明(Hamming)窗窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN其频域函数其频域函数WHm (e j)为为22()()11()0.54() 0.23() 0.23()22( )0.54() 0.23() 0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeW eW eW eWW eWWNN其幅度函数其幅度函数WHm()为为当当N1时，可近似表示为时，

51、可近似表示为22( )0.54( )0.23()0.23()BlRRRnWWWNN 5. 布莱克曼布莱克曼(Blackman)窗窗24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNN其频域响应为其频域响应为22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe其幅度函数为其幅度函数为22( )0.42( )0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN图图 常用的窗函数常用的窗函数 图图 常用窗函数的幅频特性常用窗函数的幅频特性(a)矩形窗；矩形窗；(b)巴

52、特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布莱克曼窗布莱克曼窗 图图 理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗； (d)哈明窗；哈明窗；(e)布莱克曼窗布莱克曼窗 6. 凯塞凯塞贝塞尔窗贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window) 002201( )( ),01( )21 (1)11( )1( ) )! 2 kkkInnNInNxIxk式中式中 I I0 0(x)(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，是零阶第一类修正贝塞尔

53、函数， 可用下面级数计算：可用下面级数计算： 一般一般I0(x)取取1525项，便可以满足精度要项，便可以满足精度要求。求。参数可以控制窗的形状。一般参数可以控制窗的形状。一般加大，加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为49。当。当=5.44时，窗函数接近哈明窗。时，窗函数接近哈明窗。=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为：窗的幅度函数为：(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn表表 六种窗函数的基本参数六种窗函数的基本参数 下面总结用窗函数设计下面总结用窗函数设计FIR滤波器的步骤。滤波器的步骤

54、。 (1)根据技术要求，构造理想线性相位滤波器根据技术要求，构造理想线性相位滤波器的频率响应的频率响应Hd(ej) ，求出其单位取样响应，求出其单位取样响应hd(n)。1)()2jjddHeh ne d (2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗选择窗函数的形式函数的形式，并估计窗口长度，并估计窗口长度N。 设待求滤波器的过渡带用设待求滤波器的过渡带用表示，它近似表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。（可查表）等于窗函数主瓣宽度。（可查表） (3) 确定理想滤波器的确定理想滤波器的截止频率截止频率，求出实际，求出实际设计的滤波器的单位取样响应设计的滤波器的单位取样响应h

55、(n)： h(n)=hd(n)w(n) (4)验算技术指标是否满足要求。设计出的验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：滤波器频率响应用下式计算：10()( )Njj nnH eh n eP343 例例 7-1nnnnnnnheeHcccHPcjjHP,)()sin()()sin()(,)(10 其他，频率响应：频率响应：单位脉冲响应单位脉冲响应：理想高通滤波器理想高通滤波器nnnnnnnheeHccccBPccccjjBP1212111200)()(sin)()(sin)(,)(频率响应：频率响应：单位脉冲响应单位脉冲响应：理想带通滤波器理想带通滤波器nnnnnnnnnh

56、eeHccccBPccccjjBP12211221100)()(sin)()(sin)()(sin)(,)(频率响应频率响应：单位脉冲响应：单位脉冲响应：理想带阻滤波器理想带阻滤波器N12和低通时的情况一样，为了得到有限长的和低通时的情况一样，为了得到有限长的h(n)需用一长为需用一长为N的窗函数的窗函数w(n)截断截断 h d(n) 。 按照线性相位滤波器的要求，按照线性相位滤波器的要求，h(n)必须是必须是偶对偶对称称的，并且滤波器的时延常数的，并且滤波器的时延常数)(相位响应均为相位响应均为 同时为了保证同时为了保证高通、带阻滤波器高通、带阻滤波器的可实现性，的可实现性，N必须为奇数必须

57、为奇数.7.4 频率采样设计法频率采样设计法 窗函数法是从时域出发，把理想的窗函数法是从时域出发，把理想的hd(n)用一定形状的窗口函数截成有限长的用一定形状的窗口函数截成有限长的h(n),以以此此h(n)来近似理想的来近似理想的hd(n)，从而频率响应，从而频率响应H(ejw)也近似于理想的频率响应也近似于理想的频率响应Hd(ejw)。 频域采样法是从频域出发，对理想的频率响应频域采样法是从频域出发，对理想的频率响应Hd(ejw)加以等间隔采样，以采样值来近似逼近理想的加以等间隔采样，以采样值来近似逼近理想的Hd(ejw)。即：即：2()( )jddkNeHHk以此以此H Hd d(k(k)

58、 )作为实际作为实际FIRFIR滤波器的频率特性的抽样值滤波器的频率特性的抽样值H(kH(k) )： ( )( ), 0,1,.,1dH kHkkN由由DFTDFT定义，用有限长的序列定义，用有限长的序列H(kH(k) )可得：可得：21010 11( )( ), , ,.,NjnkNkh nH k ekNN10()( )NjwjwnnH eh n e10( )( )NnnH zh n z由由h(nh(n) )可求得实际滤波器的系统函数：可求得实际滤波器的系统函数：21110002110012011( )( )( )1 ( )11 ( )1NNNjnknnNnnkNNjnknNknNNjkkN

59、H zh n zH k ezNH kezNzH kNez则：该系统的频率响应为：则：该系统的频率响应为：12011()( )( )1j NNjjjkz ekjNeH eH zH kNee2jkNNNNezz经过推导，有：经过推导，有： (1)1N20sin()2()( )Nsin()2kj NNjjkwNH eeH k ewkN12011()( )( )1jNNjjjkz ekjNeH eH zH kNee称为内插函数称为内插函数(1)2sin2( )sin2NjNeN2,0,1,2,1;1, i=k 2 ( -k)0, ik wi iNNwN令101(1)()22()( ) (), sin

60、()212 ()sin2NjwkkNj NjwNH eH kwkNwkNNwkeew kNNN即：参考教材参考教材P126-128 由上面的分析知：由上面的分析知：h(n)的频率响应的频率响应H(ejw)在采在采样点上的值严格地等于所希望的值样点上的值严格地等于所希望的值Hd(k),而在采而在采样点之间的值样点之间的值H(ejw) 是由各采样值的内插函数是由各采样值的内插函数的叠加而成，因而会有一定的误差。的叠加而成，因而会有一定的误差。101(1)()22()( ) (), sin ()212 ()sin2NjwkkNj NjwNH eH kwkNwkNNwkeew kNNN即：频率采样的响