（人教B版必修5）3.2均值不等式（1）学案（含答案）

1、§3.2均值不等式(一)自主学习 知识梳理1如果a，bR，那么a2b2_2ab(当且仅当_时取“”号)2若a，b都为_数，那么_(当且仅当a_b时，等号成立)，称上述不等式为_不等式，其中_称为a，b的算术平均值，_称为a，b的几何平均值3均值不等式的常用推论(1)ab2 (a，bR)；(2)当x>0时，x_；当x<0时，x_.(3)当ab>0时，_；当ab<0时，_.(4)a2b2c2_abbcca，(a，b，cR) 自主探究1.下面是均值不等式的一种几何解释，请你补充完整如图所示，AB为O的直径，ACa，CBb，过点C作CDAB交O上半圆于D，连结AD，B

2、D.由射影定理可知，CD_，而OD_，因为OD_CD，所以_，当且仅当C与O_，即_时，等号成立2当a>0，b>0时， 这是一条重要的均值不等式链，请你给出证明对点讲练知识点一利用均值不等式比较大小例1已知正数0<a<1,0<b<1，且ab，则ab，2，2ab，a2b2，其中最大的一个是()Aa2b2 B2 C2ab Dab总结(1)大小比较除了用比较法，也可利用已知的不等式(2)本题是选择题，因此也可以采用赋值法，取特殊值解决2 / 9变式训练1设0<a<b，且ab1，在下列四个数中最大的是()A. Bb C2ab Da2b2知识点二利用均值不

3、等式证明不等式例2设a、b、c都是正数，求证：abc.总结在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式变式训练2已知a，b，c为不等正实数，且abc1.求证：<.知识点三利用均值不等式解含参数问题例3a>b>c，nM且，求n的最大值总结解决恒成立问题时，常用分离参数的方法求出参数的取值范围变式训练3已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A8 B6 C4 D21设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min

4、(a，b) max(a，b)当且仅当ab时，取到等号2两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取号”这句话的含义要有正确的理解一方面：当ab时，；另一方面：当时，也有ab. 课时作业一、选择题1已知a>0，b>0，则， ，中最小的是()A. B. C. D.2已知ma (a>2)，nx22 (x<0)，则m、n之间的大小关系是()Am>n Bm<n Cmn Dmn3设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1ab Bab<1<Cab<<1 D.<ab<14若不等式x2ax10对一切x恒成立，则a的最

5、小值为()A0 B2 C D35如果正数a，b，c，d满足abcd4，那么()Aabcd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Babcd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一Cabcd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一Dabcd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一二、填空题6若lg xlg y1，则的最小值为_7若a<1，则a有最_值，为_8设正数x，y满足a·恒成立，则a的最小值是_三、解答题9已知a、b、c都是实数，求证：a2b2c2.10已知x>y>0，xy1，求证：2.§3.2均值不等式(一)知识梳理1ab2正均值3(2)22(3)22(

6、4)自主探究1.重合ab2证明由于成立，只须证明和 成立即可0 ，即.220. ，即 .所以 .对点讲练例1D因为a、b(0,1)，ab，所以ab>2，a2b2>2ab，所以，最大的只能是a2b2与ab之一而a2b2(ab)a(a1)b(b1)，又0<a<1,0<b<1，所以a1<0，b1<0，因此a2b2<ab，所以ab最大变式训练1Bab<2，ab<，2ab<.>>0， >，a2b2>.b(a2b2)(bb2)a2b(1b)a2aba2a(ba)>0，b>a2b2，b最大例2证明a、

7、b、c都是正数，、也都是正数2c，2a，2b，三式相加得22(abc)，即abc.变式训练2证明22，22，2222()，即.a，b，c不全相等，<.例3解方法一，且a>b>c.n对a、b、c上式都成立，nmin4.n4，n的最大值为4.方法二a>b>c，2224.n4，n的最大值为4.变式训练3C只需求(xy)的最小值大于等于9即可，又(xy)1a·aa12 a2 1，等号成立仅当a·即可，所以()22 19，即()22 80求得2或4(舍去)，所以a4，即a的最小值为4.课时作业1D方法一特殊值法令a4，b2，则3，.最小方法二，由 .可知最小2Am(a2)2224，n22x2<224.m>n.3Bab2，ab，ab<1，又>1，>1，ab<1<.4Bx2ax10在x上恒成立axx21amaxx2，2，a2.5Aab2，ab24，当且仅当ab2时取等号cd2，cd24，当且仅当cd2时取等号故cdab，当且仅当abcd2时取等号62解析lg xlg y1，xy10，2.7大1解析a<1，a1<0，(1a)2，a12，a1.8.解析由已知amax， 成立，·max，a.9证明a2b