第十章 自校正控制(一)

1、第十章 自校正控制（一）10.1 概述自校正控制系统是用电子数字计算机来实现的。它的一个主要特点是具有对象数学模型的在线辩识环节。在每个控制周期，计算机首先对被控对象进行辩识，然后根据辩识得到的模型参数和事先指定的性能指标，在线综合出控制作用。因此自校正控制系统是一种把参数的在线辩识与控制器的在线设计有机结合在一起的控制系统。通常这类控制系统在设计辩识算法和控制算法时考虑了随机干扰的影响，因此属于随机自适应控制系统。控制器参数计算控 制 器参数估计器被控对象图10.1 自校正控制系统框图自校正控制系统的框图如图10.1所示。图中为输出，为控制量，为参考输入(给定值)，为随机干扰。图中的“被控对

2、象”为考虑了采样器和零阶保持器在内的离散化了的离散时间系统。图中其余虚线框内各部分实际上均为计算机的程序。由图可见，自校正控制系统是在常规反馈控制（称为内环）的基础上增加了一个由“参数估计器”和“控制器参数计算”两框所组成的外环而构成的。正是这一外环的存在，使系统具有了自适应能力。“参数估计器”根据输入、输出得到对象模型未知参数的估计值,“控制器参数计算”根据值计算控制器参数。“控制器”再用新的控制参数计算控制量。系统开始运行时，由于参数估计值与其真值的差别可能很大，控制效果可能很差。但随着过程的进行，参数估计值会越来越精确，控制效果也会越来越好。当对象特性发生变化时，会发生相应的改变。从而使

3、控制器参数也发生相应的变化，自动适应变化了的对象。自校正控制系统的设计通常采用了确定性等价原理，即认为对象的所有未知参数用它们的相应的估计值代替后，其控制规律（即计算的函数式）的形式恰好与对象参数已知时的随机最优控制规律的形式相同。因此在设计控制器的时候，先假设被控对象的所有参数是已知的，并且根据给定的性能指标综合出控制律，然后将控制律中的未知参数用它们的估计值来代替。显然，这里没有考虑参数估计精度的影响，因此一般来讲，这时的自校正控制律不一定是渐近最优的。自校正控制系统可分为显式（间接）自校正控制系统和隐式（直接）自校正控制系统两类。图10.1所示为显式自校正控制系统。若“参数辨识器”直接估

4、计控制器参数，则可省去“控制器参数计算”这一框，这时就成了隐式自校正控制系统。显然，显式算法的计算量比隐式算法大。自校正控制系统中的参数辩识方法有多种，控制器的设计方法也有多种，不同的辩识器与控制器一一结合，可以构成多种多样的自校正控制算法。第一个把最小二乘辨识与控制结合起来的是Kalman（1958）。1970年Peterka重新研究了这个问题。1973年Astrom和Wittenmark发展了Peterka的工作，证明了自校正调节器在一定条件下收敛到某种意义最优的控制器，为自校正调节器奠定了理论基础。从此，自校正控制系统成为自适应控制中蓬勃发展的一个分枝。本章仅就几种常用的自校正控制系统加

5、以介绍。10.2单步输出预测自校正控制单步输出预测(简称单步预测)自校正控制是自校正控制中最基本、最简单的一种。整个算法的关键是预测。本节首先介绍最小方差控制的基本概念，然后推导被控对象的预测模型，在此基础上得到预测控制律，然后讨论对象参数不确定时的自校正算法。10.2.1 最小方差控制20世纪60年代中期，Astrom在IBM的北欧实验室开展了造纸机过程控制的研究。最小方差控制的提出就是源于对造纸机控制问题的研究。纸的质量是用每平方米的重量来表示的，设纸的每平方米重量为，则造纸机的设定值应在，使得造出来的纸产生低于检验限的概率小于某一正数。如果的方差大，那么，为了满足“纸产生低于检验限的概率

6、小于某一正数”的要求，设定值就应该定在远离检验限的地方（见图10.2）。这时，所用的原材料（纸浆）多，能耗也大。如果的方差很小，那么我们可以把的设定值定在接近检验限的地方，这时所用的纸浆少，能耗低，且能获得高的经济效益。检验限y0 y0低方差时的设定值高方差时的设定值密度函数图10.2 方差与设定值的关系因此，减小的方差可以降低每平方米纸的重量，以此为目标，也即提高了系统控制的品质。自然地，提出了以输出方差最小为性能指标，设计最小方差控制系统的要求。由于是线性系统，为了讨论问题方便，我们将以为设定值的恒值控制问题，转化为以0为设定值的恒值控制问题，即转化为调节器的设计问题。假设是下列系统的输出

7、：要设计系统的最小方差控制器。由过程模型可知，与， 相关，且与无关（或独立）。于是，上式可改写为：因此，方差为上述不等式中的等号只有在时成立。由此，可得最小方差控制律即推广一下，对于系统这时可用上述方法来解，使满足如果考虑一般的随机线性系统问题就要复杂一些。10.2.2 单步预测控制的基本思想设对象用线性差分模型描述： (10.1)式中为延时，为干扰。由于系统输出响应存在步滞后，即时刻施加的控制量只能在时刻才开始对输出产生影响。因此，我们设想，如果能在时刻根据已获得的以前系统输入输出数据预测时刻的输出，则可适当施加控制，使尽可能接近给定值。这一点再进一步解释如下。根据上述思想，由时刻及其以前的

8、输入输出数据对的预测律(预测器)可以表示为： (10.2)其中表示在时刻对时刻输出的预测，它是的函数。若用表示预测误差，则： (10.3)该式即为对象的预测模型。由于在时刻采样后，已知，为过去的输入输出数据已知，这样，式(10.2)中只有未知。从而根据控制的要求，可以令由此，可以解出时刻的控制量。是的函数，该函数式即为控制律。在的控制作用下，时刻的输出与给定值之差即为预测误差由此可见，控制效果的好坏关键在于预测是否精确，即式(10.2)的模型是否精确。10.2.3 被控对象的预测模型下面我们根据给定的多项式来求预测模型的一般形式。代表了关于噪声的先验知识，称为滤波多项式，又叫观测多项式，预测模

9、型的品质依赖于的选取。又设 (10.4)为的阶商（）， (10.5)为的余式（），则得恒等式 (10.6a)或 (10.6b)这类恒等式在自校正控制中非常重要，常称Diophantine方程。将分解为两个部分的目的是：把分解成与 独立和与 不独立的两个部分。独立部分 不独立的部分 多项式和可以通过长除法得到，也可以通过解恒等式(10.6b)，即令等式量边的同次幂的系数相等，然后解线性方程组而求得。例10.1 设，m=2，求,。解：，(1). 用长除法(2).解Diophantine方程比较方程两边的同次幂的系数，有解此方程组，得在引入了多项式、以后，就可以导出对象的预测模型：用乘式(10.1)

10、两边，得将用式(10.6b)的Diophantine方程代入，得于是有：令 则上式化为： (10.7)上式中，和分别为和经过线性系统滤波后的值，称为滤波数据。式(10.7)称为对象的m步超前预测模型，预测律为 (10.8)预测误差为： (10.9)前面曾提到，的选择将决定预测模型的品质。下面我们将看到，若对象用CAMRA模型描述，即： (10.10)为零均值白噪声，方差为。则当取时，便得到最小方差预测，即预测误差的方差最小。下面分析为什么这时预测误差的方差最小。由式(10.7)的预测模型，有 (10.11)其中，。设时刻对时刻输出的预测为，则预测误差的方差为：式中，由时刻以前（包括时刻）的输入

11、输出数据组成，而由时刻到时刻的白噪声组成，这两部分是统计独立的。且具有零均值，即，因此于是由于由时刻以前(包括时刻)的输入，输出数据组成，而上式中的第二项决定于未来时刻的白噪声干扰，与无关，因此当时，最小，即预测误差的方差最小。从而最优预测律也就是最小方差预测律，最小方差预测模型为： (10.12)预测误差为： (10.13)为未来m-1阶白噪声的移动平均。预测误差的方差为： (10.14)从式(10.14)可以看出，由于其由未来的白噪声组成，不可控制，因而这时的预测为最小方差预测。当噪声不能写成时，的预测律(10.12)不是最优的，但还是比较好的。例10.2 已知动态系统模型为求最小方差预测

12、模型及预测误差方差。为零均值白噪声，。解：，先求和 最小方差预测模型为预测误差方差事实上，对于噪声项为白噪声（即）的对象模型，可以直接经过简单的推导，得到最小方差预测模型。以本题为例：合并两式，可消去，即得例10.3 已知动态系统模型为求及时的预测模型及预测误差方差。为零均值白噪声，。解：，(1). 时，为最小方差预测。先求和 预测模型为或预测误差方差(2). 时，。先求和 预测模型为预测误差方差比较及时的预测误差方差可见，当取预测误差方差更大。其原因在于预测模型的误差项中，含有与相关的项，即中含有的信息。对的影响本来是可以预测的，但由于选为1，就未能对这一影响作出预测。10.2.4 单步预测

13、控制律根据控制系统的要求，我们令预测值等于给定值即可解得控制律。对于一般步预测模型(10.8)，令，得：或于是控制律为 (10.15)此时，闭环系统的输出误差即等于预测误差如果被控对象可以表达为式(10.10)的CARMA模型，取，则可令式(10.12)的最小方差预测等于得最小方差控制律： (10.16)这时，闭环系统输出误差等于最小方差预测的预测误差：为阶未来时刻的白噪声的移动平均。输出误差方差等于最小方差预测的预测误差方差：由于预测误差由未来的白噪声组成，故与无关，是不可控制的，因而这时输出误差的方差最小。在(10.16)中，若，则转化为给定值为零的调节问题，得最小方差调节器 (10.17

14、)例10.4 设动态系统模型为求最小方差控制律。为零均值白噪声，。解：，由式(10.6)，。于是有比较方程两边的同次幂的系数，有最小方差控制律为或事实上，由于该例对象没有纯延迟，我们可以直接从对象模型得到最小方差控制律，由对象模型。将被控对象模型改写为：由于为未来的白噪声，与无关，不可控制，故当时，输出误差方差为最小，于是控制律为例10.5 当例10.4中时，观察不同纯时延和下，最小方差控制器的效果。（1）时由式(10.6)，。于是有比较方程两边的同次幂的系数，有最小方差控制律为或输出控制误差输出误差的最小方差为（2）时，由式(10.6)，。于是有由此解得最小方差控制律为或输出控制误差输出误差

15、的最小方差为该例表明，随着系统纯时延的增大，输出误差的最小方差将大幅度增大。这是因为的增大导致了中不可控的项数增多的原因。控制器对象+下面我们来看最小方差系统的闭环特性和局限性。最小方差控制系统的闭环框图如图10.3所示。图10.3 最小方差控制系统闭环框图从干扰到输出的闭环传递函数即。从输入到输出的闭环传递函数即。由上述传递函数可以看出，最小方差闭环控制系统的最优性能：其输出误差为阶白噪声的移动平均，且方差最小；输出在步后就立刻跟上参考输入(给定值)。但最小方差控制也有它的不足：(1). 不适用于非最小相位系统如果有单位圆外的零点，则被控对象称为非最小相位系统。由于最小方差控制器传递函数分母

16、含有因子，因此对于非最小相位系统，控制器不稳定。另一方面，在闭环传递函数推导中，控制器的不稳定极点和对象的非最小相位零点进行了对消。实现这种极零点相消，要求控制律必须按系统的精确模型导出。然而绝对精确的数学模型实际上是得不到的；即使能得到精确的数学模型，系统的参数也不可能总保持不变。所以控制器与对象之间精确地实现极零点相消是不可能的。对于最小相位系统，这种不完全的极零点相消是可行的；但对于非最小相位系统，闭环系统理论上是稳定的，但由于控制器的不稳定极点和对象的非最小相位零点对消不完全，因此中那指数增长的不稳定分量仍旧会传递到输出，造成输出或整个系统不稳定。(2). 由于最小方差控制器对控制量未

17、加任何约束，所以，的变化幅度会很大，这在有些实际系统中是不允许的。10.2.5 单步预测自校正控制算法当模型参数已知时，我们可以直接使用前述方法来设计控制律（或最小方差控制器），即设定一个多项式，可以通过解Diophantine方程，求得多项式，和，然后由式(10.15)得到控制律，计算控制量。当对象用CARMA模型描述时，选择，则由式(10.16)得到最小方差控制律。当对象模型参数不确定(未知或者时变)时，我们可以用递推辨识的方法来估计这些参数，然后根据确定性等价原理，获得的自校正控制算法。自校正算法的基本思想是：用递推(实时)最小二乘法在线估计预测模型(10.7)中和的系数，得到和，然后用

18、和代替(10.15)中的和，则得到自校正控制器 (10.18)如果给定值，则得自校正调节器 (10.19)下面讨论上述问题中的参数估计。预测模型(10.7) 可以改写为 (10.20)式中 (10.21)为残差，即预测模型的预测误差。式(10.20)为一个最小二乘估计（简称LSE模型），可以用最小二乘估计算法直接估计控制器参数，因而这是一种隐式算法。采用这种自校正算法必须事先确定预测模型的结构，即时滞，阶和。若已知对象的线性差分模型的结构，即已知，和，则和也可以确定： (10.22)滤波多项式也要事先选定，通常选使成为一低通滤波器。对于多数实际应用，为一阶多项式就够了，即式中为采样周期，为过程

19、阶跃响应达到63.2%的时间。由于自校正控制器运行在系统闭环的条件下，还必须考虑闭环可辨识问题。根据可辨识条件有，而这里，所以在时条件成立；，而这里，所以在时条件成立。故时闭环可辨识条件满足。时则必须先固定某个参数。对于自校正调节器：可以看出，上式右边的分子分母同乘以一常数，不变。因而，和的估计值可以不唯一，参数估计值位于线性流线上，可能会过大或过小，产生数值问题。解决的办法可以是先固定一个参数，让其不参加辨识。如令，则控制器的收敛速度与成正比。若太小，则增大。可以证明，选择为何值并不十分重要。整个自校正控制算法的计算过程如下：(1). 获取个时刻的输入、输出数据，分别填入，数据区、，并将，的

20、滤波数据，分别填入，数据区、。这些输入、输出数据的获取，一般是采用常规控制手段（如二位式控制、PID控制等）控制步后得到的。获取这些数据的目的是为了在第一步参数估计递推时能构造数据向量，也是为了在第一步实施自校正控制时能够计算出控制量。，的滤波值由即求出。初值取为0。(2). 置参数向量初值，矩阵初值。(3). ，数据区的数据右移一位，即原来时刻的数据变成时刻的数据，时刻的数据变成时刻的数据。(4). 采样，得，并填入数据区。(5). 计算滤波值，并填入区。(6). 按式(10.21)构造数据向量。(7). 依据递推最小二乘法公式，计算和(8). 由式(10.18)计算控制量：输出，计算，将、

21、分别放入、数据区。(9). 采样周期结束，转到(3)继续下一个采样周期，直到结束。若取，则数据向量直接由输入、输出数据组成，不需要滤波，式(10.21)变成 (10.23)自校正控制器(10.18)变为： (10.24)而自校正调节器(10.19)不变。Astrom曾从理论上证明，若对象用CARMA模型描述(即)，则在参数估计收敛，和没有公因子，的二阶矩遍历的条件下，即使不知道也不估计，取时的自校正调节器(10.19)，当时将收敛到参数已知时的最小方差调节器(10.17)。因此常常把时的自校正调节器称作最小方差自校正器。如前所述，最小方差控制系统的输出误差为阶白噪声的移动平均，即输出误差的相关

22、函数为可见，当时，我们可以利用这一特征来检验自校正控制系统是否收敛到了最小方差。虽然取时的自校正调节器在一定条件下能收敛到最小方差调节器，然而，实践表明，在许多情况下，适当选择，将获得更好的鲁棒性和抗负载扰动性能。例10.6 设对象用下面的CARMA模型描述：式中是方差为的零均值白噪声，未知并有缓慢时变，试设计一个最小方差控制器。解：(1). 预测模型(2). LSE模型(3). 估计器(4). 控制器(5). 程序框图YYN输入数据区、数据区 右移一个时刻采样，得，填入数据进行常规控制，将填入数据区采样周期到否？N置初值：，数据区右移一个时刻YN采样，得，填入数据区按步骤（2）LSE模型公式

23、，构造数据向量按步骤（3）估计器公式，计算，按步骤（4）控制器，计算并输出，填入数据区采样周期到否 ？10.3控制加权自校正控制前面讲的单步预测自校正器不能用于非最小相位系统，同时控制量的波动幅度也较大，本节介绍一种更具有一般性的自校正控制算法控制加权自校正控制算法，它不仅能控制非最小相位对象，而且还能限制控制量的波动幅度。10.3.1 辅助预测模型辅助预测是指对辅助变量 (10.25)进行预测。即预测经线性系统滤波后的输出。给定滤波多项式，并令的阶商为，余式为，的阶为，则得恒等式 (10.26)用乘以对象一般模型得将用式(10.26)代入，得令，有两边同时除以，且由，得记，得 (10.27)

24、式中 (10.28) (10.29)式(10.27)称为对象的辅助预测模型，式(10.28)为辅助预测，式(10.29)为辅助预测误差。当干扰项时，可选择，于是预测误差为 (10.30)即未来白噪声的阶移动平均，它与时刻以前的输入、输出数据统计独立，因而这时的辅助预测为最优预测（最小方差预测）： (10.31)式中和满足恒等式 (10.32)称为最小方差预测模型。10.3.2 控制加权控制规律控制加权控制规律是建立在辅助预测模型基础上的。它要求步之后的辅助预测输出与设定值之差等于控制量的某种加权，而不是象单步预测那样要求在步后的系统输出立即等于设定值。其控制规律由 (10.33)给出。为控制加

25、权多项式或有理分式。将式(10.28)代入式(10.33)，得控制规律为： (10.34)系统输出为 (10.35)在上式推导中，没有消去，因此该控制器可用于最小相位对象。在式(10.35)中，若置就会消去，这时控制加权律式(10.34)就退化为模型跟随控制律。从式(10.35)可见，闭环系统的特征方程为： (10.36)闭环极点不仅决定于对象动态特性和，还依赖于辅助输出传递函数有理分式与加权有理分式的选择。为了分析简单起见，现以，为例来说明的引入对闭环稳定性的影响。这时式(10.36)变为适当选择可以影响闭环极点的位置。对于大的，对闭环极点影响大，对于小的值，对闭环极点的影响大。因此对于开环

26、稳定的非最小相位对象（即对象的极点全部在单位圆内，而有零点在单位圆外），适当增大，闭环稳定。对于开环不稳定的最小相位对象（即对象零点全部在单位圆内，而有极点在单位圆外），适当减小，闭环稳定。由此可见，控制加权控制规律具有比较广的适应性。如果对象用CARMA模型描述，即，且取滤波多项式，则加权控制律变为： (10.37)通常称式(10.37)为广义最小方差控制律。我们知道，最小方差控制律极小化目标函数为下面将证明控制加权控制律的极小化目标函数为 (10.38)式中和分别是和的首项。推导过程如下：将辅助预测模型式(10.32)代入式(10.38)，得：由于是到时刻为止的输入、输出数据的线性组合，而

27、为到时刻的白噪声的线性组合，从而与统计独立，加之具有零均值，因此上式最后一项的数学期望值为0。又由于倒数第2项与无关，故对的极小化只需极小化前面两项即可。由于这两项是确定性的，故不用考虑数学期望符号。 (10.39)由式(10.31)得又代入式(10.39)并令其等于0，得即与式(10.37)完全相同。因此，控制律式(10.37)是以式(10.38)为目标函数的最优控制律，通常称为广义最小方差控制律。从式(10.38)可以看出，的引入是为了在对控制行为进行限制的条件下来处理模型跟随的紧密性。在许多情况下，这种权衡措施能收到很好的效果，即输出方差的微小增加可换得对控制行为的显著限制。10.3.3 控制加权自校正器当对象模型参数未知时，控制律式(10.34)中的、未知，这时我们可以用递推最小二乘法在线估计对象辅助预测模型的参数，得和。如果参数缓慢时变，则在递推估计公式中加入遗忘因子。用和代替式(10.34)中的和，即得控制加权自校正器： (10.40)辅助预测模型式(10.27)可改写为 (10.41)式(10.41)即为LSE模型。可用最小二乘法直接估计出控制器中的和参数。式中 (10.42) (10.43)为残差。时滞，阶和。若已知对象的线性差分模型的结构，即已知，和，则和也可以确定：