极限的概念全课件

1、极限的概念全PPT课件第一章函数极限连续第一章函数极限连续第二节极限的概念第二节极限的概念一、数列的极限一、数列的极限二、函数的极限二、函数的极限三、无穷大量三、无穷大量极限的概念全PPT课件定义定义设函数设函数 un = f (n), 其中其中 n 为正整数为正整数, 一、数列的极限一、数列的极限那么按自变量那么按自变量 n 增大的顺序排列的一串数增大的顺序排列的一串数 f (1), f (2), f (3), , f (n), , 称为数列称为数列, 记作记作 un 或数列或数列 un . 极限的概念全PPT课件若存在一个常数若存在一个常数 M 0 ，使得，使得 | un | M ( (n

2、 = 1, 2, ) )恒成立，恒成立， 或存在两个数或存在两个数 M 和和 m，使得，使得 m un M ( (M 称为上界称为上界, m 称为下界称为下界) )，若数列若数列 un 满足满足 un un+1 ( (n = 1, 2, ) )或或 un un+1 ( (n = 1, 2, ) )则分别称则分别称 un 为为单调递增数列或单调递减数列单调递增数列或单调递减数列，则称数列则称数列 un 为为有界数列，或称有界数列，或称数列有界数列有界； 这两种数这两种数列统称为列统称为单调数列单调数列.极限的概念全PPT课件例如例如 un : 1134232，n 为单调递减数列为单调递减数列;

3、，nun114332210 : 为单调递增数列；为单调递增数列； )1(11123121:，nunn 是有界数列，是有界数列， 但不是单调数列但不是单调数列 .又如又如而而极限的概念全PPT课件前面三个数列都有一种共同的现象，即当前面三个数列都有一种共同的现象，即当 n 无限变大时，它们都无限地接近于无限变大时，它们都无限地接近于 1，这就是极，这就是极限现象限现象. 显然，数列显然，数列 un 无限地接近于无限地接近于 1，可用数列，可用数列 un与与 1 之差的绝对值可以任意地小来描述之差的绝对值可以任意地小来描述 . 如果用符号如果用符号 e e 表示任意小的正数，表示任意小的正数， 那

4、么就可那么就可用用 | un 1 | e e 表示表示 . . 于是于是, 数列数列 un 的极限现象的极限现象可表述为：当可表述为：当 n 无限变大时，就有无限变大时，就有 | un 1 | e e . . 一般地，当一般地，当 n 无限变大时，数列无限变大时，数列 un 无限接近无限接近于一个常数于一个常数 A 的极限现象可定义如下：的极限现象可定义如下： 极限的概念全PPT课件定义定义如果如果当当 n 无限变大时无限变大时，数数列列 un 与与 A 之之差的绝对值小于任意小正数差的绝对值小于任意小正数 e e ，即即 | un A| N 就表示了这个意思，就表示了这个意思， N 表示了表

5、示了n 无限变大无限变大的程度，的程度，时，时，就是指：当就是指：当这样这样 lim NnAunn 恒有恒有 | un A | N 时，点时，点 un 都落在点都落在点 A 的的 e e 邻域内，而不管邻域内，而不管 e e 有多么小有多么小( (如图如图) )，形 象 一形 象 一点讲，数列点讲，数列 un 会密集在点会密集在点 A 的周围的周围.AA e eA + +e euN+1uN+2Ox如果把数列如果把数列 un 中每一项都用数轴中每一项都用数轴 Ox 上一个上一个点来表示，那么数列点来表示，那么数列 un 趋向于趋向于 A 可解释为可解释为: 极限的概念全PPT课件定理定理若数列收

6、敛若数列收敛，则数列有界则数列有界 .并非所有数列都是有极限的，并非所有数列都是有极限的， 例如例如当当 n 时时, 它们均不与一个常数它们均不与一个常数 A 无限接近，无限接近，所以这些数列没有极限所以这些数列没有极限 , 没有极限的数列称为没有极限的数列称为发散发散数列或称数列发散数列或称数列发散 .,)1( ,1, 1, 1 :)1(11 nnnu数列数列, 3, 2, 1 :nnun 数数列列,)1( , 9, 4 , 1 :)1( 2121nnunnn 数数列列极限的概念全PPT课件二、函数的极限二、函数的极限当当 x 无限接近于无限接近于 1 时，时，. 4 )1(21)1(2)(

7、2趋趋向向于于 xxxxf显然，当显然，当 x 1 时时,1)1(2)(2 xxxf函函数数趋向于什么？趋向于什么？函数函数极限的概念全PPT课件一般地，当一般地，当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，函数时，函数 f ( (x) ) 趋向于趋向于 A 的定义如下：的定义如下：定义定义如果当如果当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，时，恒有恒有| f (x) - - A| e e ( (e e 是任意小的正数是任意小的正数) )， 则则称当自称当自变量变量 x 趋向于趋向于 x0 时时，函数函数 f (x) 趋向于趋向于 A ，记作记作).)(,(0Axfxx时时或或当当Axfxx )(l

8、im0极限的概念全PPT课件几点说明：几点说明：( (1) )与数列极限相似，与数列极限相似， f ( (x) ) 趋向于趋向于 A 的过程的过程中中，可以有大于可以有大于 A 的，可以有小于的，可以有小于 A 的，也可以的，也可以有等于有等于 A 的的 .( (2) )中中看看到到从从上上面面例例子子1)1(2)(2 xxxf x 是不是不能等于能等于 1 的，因为的，因为 x = 1 处函数没有定义处函数没有定义 . 一般地，一般地，在自变量在自变量 xx0 过程中是不能等于过程中是不能等于 x0 的的.极限的概念全PPT课件( (3) )自变量自变量 x x0 也可以用不等式表示也可以用

9、不等式表示. 如如果用果用 d d 记作充分小的正数记作充分小的正数. 那么那么 x 无限接近无限接近 x0 ，可由可由 x0 的的 d d 空心邻域表示，即空心邻域表示，即 0 | x x 0| d d . . d d 表示表示 x 与与 x0 接近的程度接近的程度.这样这样 ，Axfxx )(lim0就是指，当就是指，当 0 | x - - x 0| d d 时时恒有恒有 | f (x) ) - - A | e e . .极限的概念全PPT课件A A e e f ( (x) ) A e e( (4) ) 几何解释几何解释 . . Axfxx )(lim0AA e eA A e ey = f

10、 (x)x0 d dx0 + d dx0yxO 不管它们之不管它们之间的距离有多么小间的距离有多么小. 只要只要 x 进入进入 U( ( ,0 x 是指：当是指：当 0 |x x0| d d 时，时， 恒有恒有 | f (x) A | N ( ( N 是充分大的正数是充分大的正数 ) )时，恒有时，恒有 | f (x) A | N 时，曲线时，曲线 y = f (x) 落在这两条直线之间落在这两条直线之间.极限的概念全PPT课件.)(lim,)(limAxfAxfxx 还还有有前者是指当前者是指当 x 无限变大时，无限变大时， f ( x ) 趋向于趋向于 A ，.)(lim )(limAxf

11、Axfxx 同同时时，而后者是指而后者是指极限的概念全PPT课件例如例如;02lim ;01lim xxxx;011lim1lim2 xxxxxx. arctanlim,2arctanlim,2arctanlim不不存存在在所所以以xxxxxx 极限的概念全PPT课件.223lim22 xxxx求求例例 3解解223lim22 xxxx2)1)(2(lim2 xxxx.1)1(lim2 xx. )(lim 22xxx 求求例例 4解解. 622)(lim222 xxx极限的概念全PPT课件解解例例 5).(lim , 0,0, 0,)(02xfxxxxxxfx 求求设设函函数数.1)1(lim

12、lim)(lim0200 xxxxxfxxx极限的概念全PPT课件例例 3, 4 和和 5 说明了下列几种重要现象：说明了下列几种重要现象：( (1) ) 函数函数 f (x) 在在 x0 处极限存在，但函数处极限存在，但函数 f (x) 在在 x0 处可以没有定义处可以没有定义( (如例如例 3) ) .( (2) ) 函数函数 f (x) 在在 x0 处虽然有定义，且在处虽然有定义，且在 x0 处有处有极限，极限， 但两者不等，但两者不等，. )5()()(lim00如如例例即即xfxfxx ( (3) ) 函数函数 f (x) 在在 x0 处有定义，也有极限且两者处有定义，也有极限且两者

13、相等相等 .极限的概念全PPT课件定理定理 若若 x x0 ( (或或 x ) )时时，函数函数 f ( x )的极限存在的极限存在, 则函数则函数 f ( x ) 在在 x0 的一个的一个空心小邻域内空心小邻域内( (或或 | x | 充分大范围内充分大范围内) )有界有界.极限的概念全PPT课件三、无穷大量三、无穷大量若函数若函数 y = f ( x ) 的绝对值的绝对值 | f ( x )| 在在 x 的某的某种趋向下无限增大种趋向下无限增大，则称则称 y = f ( x ) 为在为在 x 的这的这种趋向下的无穷大量种趋向下的无穷大量，简称为无穷大简称为无穷大.当当 x x0 时，时， f ( x ) 为无穷大量，为无穷大量， 记作记作,)(lim 0 xfx