大学数学：ch5-3 多元数量值函数的导数与微分-5 梯度

1、2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系13.5方向导数与梯度方向导数与梯度 (Directional Derivatives and Gradients)1. 1.方向导数方向导数2.2.梯度梯度第第3节多元函数的导数与微分节多元函数的导数与微分2实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿

2、处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即负梯度方向）爬行向（即负梯度方向）爬行问题的提出问题的提出00:?MM函数在点沿哪一方向的速度最快函数在点沿哪一方向的速度最快 函数在点沿哪函数在点沿哪增加增加减少减少一方向的速一方向的速问问度最快度最快题题3,cos222zyxxaaaaaia , ,ax y za向量 与轴的夹角称为 的方向角。向量 与轴的夹角称为 的方向角。,cos222zyxyaaaaaja 222cos.zxyzaa kaaaa 方向

3、余弦方向余弦预备知识预备知识(,)xyzaaaa 4 讨论函数讨论函数 在一点在一点P0沿某一方沿某一方向的变化率问题向的变化率问题),(yxfz oyxl),(yxP ),(000yxPle0000000( , )(,)(),(cos,cos)cos,(0)cos,lzf x yPxyU PlxOyPellxxttyyt 设设函函数数在在点点的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，是是面面上上以以为为始始点点的的一一条条射射线线是是与与同同方方向向的的单单位位向向量量射射线线的的参参数数方方程程为为（如图）（如图）1、方向导数、方向导数(1) (1) 定义定义50|P Pt ,)()(22yx

4、 ),(),(0000yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P0Pl000000(,)(,)limlimttf xx yyf xyztt 若存在若存在,zt 考虑考虑定义定义 这极限为函数在点这极限为函数在点P0 沿方向沿方向l 的方向导数的方向导数 记为记为000000(,)(,)limtPf xx yyf xyflt cos ,xt cos,yt 6, 00 Plf若若.),(增增加加的的函函数数值值沿沿着着方方向向 lyxf注1000000(,)(,)limtPf xx yyf xyflt 0),(),(0000 yxfyyxxf则则7注2),()1, 0(),()0

5、 , 1(),()1 , 0(),()0 , 1(,),(),(00),(00),(00),(00),(000000000000yxflfjeyxflfieyxflfjeyxflfieyxfyxfyyxlxyxlyyxlxyxlyx 时时，当当时时，当当时时，当当时时，当当存存在在、由由定定义义知知，若若8注3偏导数不存在时偏导数不存在时,方向导数可能存在方向导数可能存在.1),()0 , 0(),0 , 0()0 , 0(22等于等于的方向导数均存在且的方向导数均存在且但沿任意方向的但沿任意方向的不存在，不存在，处处在点在点如如yxlffyxzyx 9xfxfxzx )0 , 0()0 ,(

6、lim0)0, 0(.|lim0 xxx 故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.例例(0,0)0(,)(0,0)limtzfxyflt 22220()()lim1()()txyxy 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.10且有且有导数都存在导数都存在的方向的方向方向方向那么函数在该点沿任意那么函数在该点沿任意处可微分处可微分在点在点设设,),(),(000lyxPyxfz .cos,cos的的方方向向余余弦弦是是方方向向其其中中l (2)(2)方向导数的存在性与计算方向导数的存在性与计算定理定理1)1(cos),(cos),(0000),(00 yxfyx

7、flfyxyx11证明证明由于函数由于函数 f (x , y) 在点在点(x0 , y0)可微，有可微，有00000000(,)(,)(,)(,)( )xyf xx yyf x yfx yxfx yyo t 0022(,)cos ,cos,()().xylxtytxyt 在以为始点的射线上，在以为始点的射线上，所以所以00000(,)(,)limtf xx yyf xyt cos),(cos),(0000yxfyxfyx cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx即即12解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向

8、导数所求方向导数112()221 0zl （ ，）（ ，）22 11, 12le (1,0)(1,0)coscosxyzz 0 2(1,0)yzxel 在点沿 方向是减少的在点沿 方向是减少的(1,0)zl 减少率即为减少率即为13解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 14),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;

9、（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0. sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 1500000000(,)(,)limtPf xx yy zzf xy zflt （3 3）. . 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义cos ,xt cos,yt cos .zt 16.cos),(cos),(cos),(000000000),(000 zyxfzyxfzyxflfzyxzyx17例例3 求函数求函数 )ln(22zyxu 在点在点A(1,0,1)处沿点处沿点A指向点指向点B（3,2,2) 方向的方向导数。方向的方向导

10、数。解解,coscoscos zuyuxulu 2, 2,1,lAB ,32cos 31cos,32cos (1,0,1)22(1,0,1)1uxxyz ，21 22(1,0,1)22(1,0,1)yyzuyxyz ，0 22(1,0,1)22(1,0,1)zyzuzxyz ，21 31213221)1 ,0, 1( lu。21 180:?P问问题题 函函数数在在点点沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度最最快快2. 梯度梯度( () ) 梯度的定义梯度的定义 ),(grad00yxfjyxfiyxfyx),(),(0000 ).,(grad00yxf00,:()f xy -Hamilton

11、算子算子(2)(2) 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系000( , )(,)(cos ,cos)lf x yP xyel 如果函数在点可微分，如果函数在点可微分，是与同方向的单位向量，则是与同方向的单位向量，则 cos),(),(cos),(cos),(00000000),(00 yxfgradeyxfgradyxfyxflflyxyx),(00leyxfgrad 其其中中函数的函数的方向导数方向导数为梯度在该方向上的投影为梯度在该方向上的投影.0000(,) ;Pfgradf xyl 当当时时，有有最最大大值值000(,)Pfgradf xyl 当时，有最小值当时，有最小值梯度的梯度

12、的方向是函数方向是函数f (x, y)在这一点增加最快的方向在这一点增加最快的方向.20结论结论当当xf 不不为为零零时时，gradfgradf P函数的函数的方向导数方向导数为梯度在该方向上的投影为梯度在该方向上的投影.21解解(1,1(1),1)(1,1)xyfff，（）（）(1,1)(1,1)(2)(2)xyyx（，）（，）11= =（ ， ）（ ， ）11112(1,1)2f（ ） 沿方向（ ， ）方向导数取得最大值（ ） 沿方向（ ， ）方向导数取得最大值12112(1,1)2f （ ） 沿方向（- ，）方向导数取得最小值（ ） 沿方向（- ，）方向导数取得最小值4 45 34 74

13、 22),(yxfz 在几何上在几何上 表示一张曲面表示一张曲面曲面被平面曲面被平面 所截，得曲线所截，得曲线cz .),(czyxfz这曲线在这曲线在 xOy 面上的投影是一条平面曲线面上的投影是一条平面曲线 L*，称为函数称为函数 z = f (x , y) 的的等值线等值线oyx2( , )f x yc 1( , )f x yc ( , )f x yc 等值线等值线),(yxgradf梯度为等值线上的法向量梯度为等值线上的法向量P（3 3）. .梯度与等值线的关系梯度与等值线的关系(c2c1)23梯度与等值线的关系：梯度与等值线的关系：( , )( , )( , )zf x yP x y

14、Pf x yc 函数在点函数在点的梯度的方向与点的等的梯度的方向与点的等值线在这点的法值线在这点的法线的一个方向相同，且从数线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较值较低的等高线指向数值较高的等值线，而梯度的模等高的等值线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方于函数在这个法线方向的方向导数向导数24.),(),(),(000000000kzyxfjzyxfizyxfzyx 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.（4 4）. . 梯度的概

15、念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数).,(),(),(0000000zyxfgradzyxPyxf记作记作的梯度，的梯度，在点在点这向量称为函数这向量称为函数25梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)(4) grad()gradgraduvuvvu(6) grad ()( ) gradfufuu 21(5) grad () gradgrad uvuuvvv26类似地类似地,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯

16、度的方向与的梯度的方向与过点过点 P的等量面的等量面czyxf ),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.27例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 ,

17、 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.28实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈

18、的方向（即负梯度方向）爬行向（即负梯度方向）爬行本节开始蚂蚁逃生的例子：本节开始蚂蚁逃生的例子：32(3,2)(3,2)(3,2) )(,)13 13 13 13xyTTiTj 22( , )(15,13)kT x yxyxy 答：答：29内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为302. 梯度梯度 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP处的梯度为处的梯度为zfyfx

19、ff,grad 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP处的梯度为处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微0gradlflf梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.31说明说明: 对书上定义对书上定义3.1(二元函数的方向导数二元函数的方向导数)的说明的说明0000000(,)(,)(,)limtxyf xx yyf xyzlt oyxl),(yxP ),(000yxPle00cos ,(0)cos,xxttyyt 0(0)lxxtet00000(,)rOPxxy00( , )(cos ,sin)rO

20、Pxx yxtyt 0000()()limltxf xtef xflt See P2632说明说明: 对书上定义对书上定义3.2(偏导数偏导数)的说明的说明See P26？这个定义有问题！这个定义有问题！33n元函数的方向导数和偏导数元函数的方向导数和偏导数0000()()limltxf xtef xult 0000()()limiiixiixf xx ef xuxx See P29？010(1)00(1)001020(,)(,)iiiinnif xxxx xxf xxxx 34n元函数的梯度和方向导数的计算公式元函数的梯度和方向导数的计算公式0grad()f x 0()f x 1201020()()()nxxxnfx efx efx e 12000(),(),()nxxxfxfxfx 0(),)lgradf xe 其其中中000()() coslxugradf xegradf xl 12(cos,cos,c