2015高考数学（人教版a版）一轮配套题库：3-7正弦定理、余弦定理应用举例

1、第七节正弦定理、余弦定理应用举例时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km解析利用余弦定理解ABC.易知ACB120°，在ACB中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcos120°2a22a2×3a2，ABa.答案B2张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点

2、A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 kmC3 km D2 km2 / 16解析如图，由条件知AB24×6，在ABS中，BAS30°，AB6，ABS180°75°105°，所以ASB45°.由正弦定理知，所以BSsin30°3.答案B3轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时

3、，下午2时两船之间的距离是()A35海里 B35海里C35海里 D70海里解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE25×250，CF15×230，且ECF120°，EF70.答案D4(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A20 m B20 mC20(1) m D30 m解析如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB20 m，所以BM20 m又在RtAMD中，DM20 m，ADM30

4、°，AMDMtan30°(m)ABAMMB2020(m)答案A5(2013·天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC()A. B.C. D.解析由余弦定理AC2AB2BC22AB·BCcosABC()2322××3×5，所以AC，再由正弦定理：sinBAC·BC.答案C6(2014·滁州调研)线段AB外有一点C，ABC60°，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小()A. B1C.

5、 D2解析如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD80t，BE50t.因为AB200，所以BD20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理，得DE2BD2BE22BD·BEcos60°(20080t)22 500t2(20080t)·50t12 900t242 000t40 000.当t时，DE最小答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得ABC120°，则A、C两地的距离为_km.解析如右图所示，由余弦定理可得：AC21004002&#

6、215;10×20×cos120°700，AC10(km)答案108如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile.此船的航速是_n mile/h.解析设航速为v n mile/h在ABS中，ABv，BS8，BSA45°，由正弦定理得：，v32(n mile/h)答案329如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15&

7、#176;方向走10米到位置D，测得BDC45°，则塔AB的高是_米解析在BCD中 ，CD10，BDC45°，BCD15°90°105°，DBC30°，BC10(米)在RtABC中，tan60°，ABBCtan60°10(米)答案10三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为

8、10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？解在BCD中，BDC45°，CBD30°，CD10，由正弦定理，得BC20.在RtABC中，ABBCsin60°20×30(米)，所以升旗速度v0.6(米/秒)11.如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题

9、意，知AB5(3)海里，DBA90°60°30°，DAB90°45°45°，ADB180°(45°30°)105°.在DAB中，由正弦定理，得，于是DB10(海里)又DBCDBAABC30°(90°60°)60°，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BD·BC·cosDBC3001 2002×10×20×900.得CD30(海里)，故需要的时间t1(小时)，即救援船到达D点需要1

10、小时12.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC××.由正弦定理，得AB×sinC×1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3