2022年平面向量知识点及习题分章节

1、学习必备欢迎下载平面向量必修 4 第 2 章 平面向量2.1 向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系考纲要求：了解向量的实际背景理解平面向量的概念及向量相等的含义理解向量的几何表示经典例题：下列命题正确的是（）a.与共线，与共线，则与c 也共线b.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点c.向量与不共线，则与都是非零向量d.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是( ) a.密度b.体积c.重力d.质量2 下列说法中正确的是（）a. 平行向量就是向量所

2、在的直线平行的向量b. 长度相等的向量叫相等向量c. 零向量的长度为零d.共线向量是在一条直线上的向量3设 o 是正方形abcd 的中心， 则向量ao、ob、co、od是（）a平行向量b有相同终点的向量c相等的向量d模都相同的向量4.下列结论中 ,正确的是( ) a. 零向量只有大小没有方向b. 对任一向量a,|a|0 总是成立的c. |ab=|ba| d. |ab与线段 ba 的长度不相等5.若四边形abcd 是矩形 ,则下列命题中不正确的是( ) a. ab与cd共线b. ac与bd相等c. ad与cb是相反向量d. ab与cd模相等6已知 o 是正方形 abcd 对角线的交点，在以o，

3、a， b，c，d 这 5 点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与bc相等的向量有；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）与ob长度相等的向量有；（3）与da共线的向量有7在平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个向量的两个向量是共线向量中， 不正确的命题是并对你的判断举例说明8 如图，o 是正方形 abcd 对角线的交点， 四边形 oaed ， ocfb都是正方形，在图中所

4、示的向量中：（1）与ao相等的向量有；（2）写出与ao共线的向有；（3）写出与ao的模相等的有；（4）向量ao与co是否相等？答9o 是正六边形abcde 的中心，且oaa，obb，abc，在以 a， b，c，d，e，o 为端点的向量中：（1）与a相等的向量有；（2）与b相等的向量有；（3）与c相等的向量有10在如图所示的向量a，b，c，d，e中（小正方形的边长为1） ，是否存在：（1）是共线向量的有；（2）是相反向量的为；（3）相等向量的的；（4）模相等的向量11如图， abc 中，d，e，f 分别是边bc，ab ，ca 的中点，在以a、b、c、d、e、f 为端点的有向线段中所表示的向量中，

5、（1）与向量fe共线的有abcdefabcedfooabcdef精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）与向量df的模相等的有（3）与向量ed相等的有12如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“ 马” ，开始下棋时，它位于a 点，这只 “ 马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来若它位于图中的p点，这只 “ 马” 第一步有几种可能的走法？它能否从点a 走到与它相邻的b？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修 4 第 2 章 平面向量2.2 向量的线性

6、运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件考纲要求：掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义经典例题：如图，已知点,d e f分别是abc三边,ab bc ca的中点，求证：0eafbdc. 当堂练习：1a、b为非零向量，且| |abab，则（）aa与b方向相同babcabda与b方向相反2设()

7、()abcdbcdaa，而b是一非零向量，则下列各结论：/ab；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载a ba； abb； a bab， 其中正确的是（）abcd33在 abc 中， d、e、f 分别 bc、ca 、ab 的中点，点m 是 abc 的重心，则mcmbma等于（）aobmd4cmf4dme44已知向量ba与反向，下列等式中成立的是（）a|baba b|babac|baba d|baba5 若a b c化简3(2 )2(3)2()abbcab（）aabbcc

8、d 以上都不对6已知四边形abcd 是菱形，点p在对角线ac 上（不包括端点a、c） ，则ap= （）a().(0,1)abadb2().(0,)2abbcc().(0,1)abadd2().(0,)2abbc7已知| |3oaa，| |3obb， aob=60，则|ab_。8当非零向量a和b满足条件时，使得ba平分a和b间的夹角。9如图， d、e、f 分别是abc 边 ab、 bc、ca 上的中点，则等式：fddaaf0fddeef0dedabe0adbeaf0fedcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - -

9、 - - - - - - -学习必备欢迎下载10若向量x、y满足23,32xyaxyb，a、b为已知向量，则x=_；y=_11一汽车向北行驶3 km，然后向北偏东60方向行驶3 km，求汽车的位移. 12.如图在正六边形abcdef 中， 已知：ab=a, af= b,试用a、b表示向量bc, cd, ad，be. 必修 4 第 2 章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示重难点：对平面向量基本定理的理解与应用；掌握平面向量的坐标表示及其运算考纲要求：了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法，减法于数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的

10、条件经典例题：已知点( ,0),(2 ,1),(2, ),(6,2)a xbxcxdx求实数x的值，使向量ab与cd共线；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当向量ab与cd共线时，点,a b c d是否在一条直线上？当堂练习：1若向量a=(1,1),b=(1, 1),c=(1,2)，则 c 等于（）a21a23b b21a23b c23a21b d23a+21b 2若向量a=(x2,3)与向量 b=(1,y+2) 相等，则（）ax=1,y=3 bx=3,y=1 cx

11、=1,y= 5 dx=5,y= 1 3已知向量),cos,(sin),4 , 3(ba且ab，则tan= （）a43b43c34d344 已知abcd 的两条对角线交于点e， 设1eab，2ead， 用21,ee来表示ed的表达式（）a212121eeb212121eec212121eed212121ee5已知两点p（， 6） 、（ 3，） ，点 p（37，）分有向线段21pp所成的比为 ，则 、的值为（）a41，8 b41， 8c41， 8 d4，816下列各组向量中：)2 , 1(1e)5 , 3(1e) 3, 2(1e)7 , 5(2e)10, 6(2e)43,21(2e有一组能作为表示

12、它们所在平面内所有向量的基底，正精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载确的判断是（）ab c d 7若向量a=（2，m）与b=（m，8）的方向相反，则m 的值是8已知a=（2，3） ，b=（-5，6） ，则 |a+b|= ，|a-b|= 9 设a= （2， 9） ，b= （,6） ，c=(-1,),若a+b=c,则= , = . 10 abc的顶 点a(2 ， 3)， b( 4， 2)和 重心g(2， 1)，则c点坐 标为. 11已知向量e1、 e2不共线，(1)若ab

13、=e1e2，bc=2e1 e2，cd=3e1 e2，求证： a、b、d 三点共线 .(2)若向量 e1e2 与 e1 e2 共线，求实数 的值 .12如果向量ab=i2j,bc=i+mj, 其中 i、j 分别是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使 a、b、c 三点共线 .必修 4 第 2 章 平面向量2.4 平面向量的数量积重难点：理解平面向量的数量积的概念，对平面向量的数量积的重要性质的理解考纲要求：理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量数量积于向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平

14、面向量的垂直关系经典例题：在abc中，设, 1,3, 2kacab且abc是直角三角形，求k的精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载值当堂练习：1 已知a= （3， 0） ，b= （-5， 5） 则a与b的夹角为（）a450 b、600 c、1350 d、1200 2已知a=（1，-2） ，b=（ 5，8） ，c=（2，3） ，则a （bc）的值为（）a34 b、 （34，-68）c、-68 d、 （-34，68）3 已知a= （2， 3） ，b= （-4， 7） 则向

15、量a在b方向上的投影为（）a13b、513c、565d、654已知a=（3，-1） ，b=（ 1，2） ，向量c满足ac=7，且bc，则c的坐标是（）a （2，-1）b、 （-2，1）c、 （2，1）d、 （ -2，-1）5 有下面四个关系式 （1）00=0； （2） （ab）c=a（bc） ； （3）ab=ba；（4）0a=0，其中正确的个数是（）a、4 b、3 c、2 d、1 6已知a=（m-2，m+3） ，b=（2m+1，m-2）且a与b的夹角大于90，则实数m（）a、m2 或 m -4/3 b、 -4/3 m 2 c、m2 d、m 2 且 m-4/3 7已知点 a（1，0） ，b（3，

16、1） ，c（2，0）则向量bc与ca的夹角是。8已知a=（1，-1） ，b=（-2，1） ，如果（)()baba，则实数= 。9若 |a|=2，|b|=2，a与b的夹角为45，要使kb-a与a垂直，则 k= 10已知a+b=2i-8j，ab=-8i+16j，那么ab= 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载11已知 2a+b=（-4，3） ，a-2b=（3， 4） ，求ab的值。12已知点 a （ 1，2） 和 b （4，-1） ， 试推断能否在y 轴上找到一点c，使a

17、cb=900 ？若能，求点c 的坐标；若不能，说明理由。必修 4 第 2 章 平面向量2.5 平面向量的应用重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力考纲要求：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题经典例题：如下图，无弹性的细绳,oa ob的一端分别固定在,a b处，同质量的细绳oc下端系着一个称盘，且使得oboc，试分析,oa ob oc三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？当堂练习：1 已 知a 、 b 、 c为 三 个 不 共 线 的 点 ， p 为 abc所 在 平 面 内 一 点 ， 若abpcpbpa，则点 p与

18、 abc 的位置关系是（）a、点 p在 abc 内部b、点 p 在 abc 外部c、点 p 在直线 ab 上d、点 p在 ac 边上2已知三点a（1，2） ，b（4，1） ，c（0，-1）则 abc 的形状为（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载gcobagedcbaa、正三角形b、钝角三角形c、等腰直角三角形d、等腰锐角三角形3当两人提起重量为|g|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|f|，若 |f|=|g|，则的值为（）a、300 b、600 c、 900 d、1

19、200 4某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为（）a、v-a b、 a-v c、v+a d、v 5一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300 角，则水流速度为km/h。6两个粒子a， b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为 sa= （3， -4） ， sb= （4， 3） ，（ 1） 此时粒子 b 相对于粒子a的位移；（2）求 s在 sa方向上的投影。7如图，点p 是线段 ab 上的一点，且appb=mn，点 o 是直线 ab 外一点，设oaa，obb，试用, , ,m n

20、a b的运算式表示向量opbaopba8如图， abc 中， d，e 分别是 bc，ac 的中点，设ad 与 be 相交于 g，求证：ag gd=bg ge=219如图，o 是 abc 外任一点，若1()3ogoaoboc，求证： g 是 abc重心（即三条边上中线的交点）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载10一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile 处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以 9mile/h 的速度向前航

21、行，货船以21mile/h 的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。必修 4 第 2 章 平面向量2.6 平面向量单元测试1 在 矩 形abcd中 ， o是 对 角 线 的 交 点 ， 若ocedcebc则213,5=（）a)35(2121ee b)35(2121ee c)53(2112ee d)35(2112ee2对于菱形abcd ，给出下列各式：bcab|bcab|bcadcdab|4|22abbdac2 其中正确的个数为（）a 1个 b2 个 c 3 个 d4 个3在abcd 中，设dbdcacbadaab,，则下列等式中不正确的是（）acbabdbacdabdbac4已知

22、向量ba与反向，下列等式中成立的是（）750 a b c 东北450 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载a|baba b|babac|babad|baba5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0） ， （3，0） ， （1， 5） ，则第四个点的坐标为（）a （1，5）或（ 5， 5）b （1，5）或（ 3， 5）c （5， 5）或（ 3， 5）d （1，5）或（ 3， 5）或（ 5， 5）6与向量)5,12(d平行的单位向量为（）a)5,1312(b)135

23、,1312(c)135,1312(或)135,1312(d)135,1312(7 若32041|ba，5| , 4|ba， 则ba与的数量积为（）a 103b 103c102d10 8 若将向量) 1 , 2(a围绕原点按逆时针旋转4得到向量b,则b的坐标为( ）a)223,22(b)223,22(c)22,223(d)22,223(9设 kr，下列向量中，与向量) 1, 1 (q一定不平行的向量是（）a),(kkbb),(kkcc) 1, 1(22kkdd) 1, 1(22kke10 已知12| ,10|ba， 且1( 3)()3 65ab， 则ba与的夹角为（）a60b120 c135d1

24、5011非零向量|,bababa满足，则ba,的夹角为. 12在四边形abcd 中，若|,bababadaab且,则四边形abcd 的形状是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载13已知)2, 3(a，) 1, 2(b，若baba与平行，则 = . 14 已知e为单位向量，|a=4，ea与的夹角为32，则ea在方向上的投影为. 15已知非零向量ba,满足|baba,求证 : ba16已知在 abc 中，)3 ,2(ab，), 1( kac且 abc 中 c 为直角，

25、求 k 的值 . 17、设21,ee是两个不共线的向量，2121212,3,2eecdeecbekeab，若 a、 b、d 三点共线，求k 的值 . 18已知2|a3|b,ba与的夹角为 60o,bac35,bkad3,当当实数k为何值时，cddc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载19如图， abcd 为正方形， p 是对角线db 上一点， pecf 为矩形，求证： pa=ef；paef. 20如图，矩形abcd 内接于半径为r 的圆 o，点 p是圆周上任意一点，

26、求证： pa2+pb2+pc2+pd2=8r2. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载参考答案第 2 章 平面向量2.1 向量的概念及其表示经典例题：解：由于零向量与任一向量都共线，所以a 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以b 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于c，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑

27、，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选c. 当堂练习：1.c; 2.c; 3.d; 4.c; 5.b; 6. (1)ad(2)docoaoboodocoa,(3).,cbbcad; 7. ; 8. （ 1 ）bf（ 2 ）bfcode,（ 3 ）cfbfcobododeae,（4）不相等 ; 9. （1）cbdo,（2）dceo,（3）edoc,; 10. （1）da,（2）da,（3）不存在（4）da,，c; 11. （1）cbbccddcdbbd,（2）ceeceaae,（3）affb,; 12

28、. 3 种， 8 种，可以（转化为相邻两个中的互跳）; 2.2 向量的线性运算经典例题：证明：连结,de ef fd 因为,d e f分别是abc三边的中点， 所以四边形adef为平行四边形由向量加法的平行四边形法则，得edefea（ 1） ，同理在平行精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载四 边 形befd中 ，f df ef b(2) ， 在 平 行 四 边 形c f d e在 中 ，d fd ed c(3) 将（ 1）(2) (3) 相加，得eafbdcedef

29、fdfededf()()()effeeddefddf0当堂练习：1.c; 2.d; 3.a; 4.c; 5.d; 6.a; 7. 3; 8. |ba; 9. ， ; 10. （1）da,（ 2）da,（3）不存在（4）da,，c; 11. 北偏东 30方向，大小为3 3km12.baafabboabaobc；bafcd；babcad22；bafbe222.3 平面向量的基本定理及坐标表示经典例题：解 （1）( ,1)abx，(4, )cdx/abcd，24,2xx（2）由已知得(22 ,1)bcx x当2x时，( 2,1)bc，(2,1)ab，ab和bc不平行， 此时,a b c d不在一条直

30、线上；当2x时，(6,3)bc，( 2,1)abab/bc，此时,a b c三点共线又/abcd，,a b c d四点在一条直线上综上当2x时，,a b c d四点在一条直线上精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当堂练习：1.b; 2.b; 3.a; 4.b; 5.d; 6.a; 7. -4; 8. 358,10; 9. -3，15; 10. (8,-4); 11解析： (1) bd=bc+cd=2e1-8e2+3(e1+e2) e1-5e2abbd与ab又直线 b

31、d 与 ab 有公共点b，a、b、d(2)e1-e2 与 e1-e2存在实数k，使 e1e2（ e1e2 ） e1+(k )e20e1、 e2由平面向量的基本定理可知：且解得 ，故 12解法一： a、b、c 三点共线即ab、bc存在实数 使得abbc即 i-2j= （i+mj ）于是21m即 m=2 时， a、b、c 三点共线 .解法二：依题意知：i=(1,0),j=(0,1) 则ab=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), bc=(1,0)+m(0,1)=(1,m) 而ab、bc故当 m=2 时， a、 b、c 三点共线 . 2.4 平面向量的数量积经典例题：解：若,900a则acab，于

32、是0312k解得32k；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载若,900b则bcab，又,3, 1 kabacbc故得03312k，解得311k；若,900c则bcac，故0311kk，解得2133k所求k的值为32或311或2133当堂练习：1.c; 2.b; 3.c; 4.a; 5.d; 6.b; 7. 450; 8. 251; 9.2; 10. - 63; 11. a=(-1,2) b=(-2,-1) ab=0 12. 令 c(0,y), 则ac=(-1,y-2) )1,4(ycb因为acb=900, 所以accb=0 ,即 -4+(y-2)(-1-y)=0 y2-y+2=0, 此方程无实数解,所以这样的点不存在. 2.5 平面向量的应用经典例题：解：设,oa ob oc三根绳子所受力分别是, ,a b c，则0abc，,a b的合力为,| |cab cc， 如 上 右 图 ， 在 平 行 四 边 形ob c a中 ， 因 为,obocb coa，所以| | |,| |oaoboaoc即| |,| |