数模引言线性非线性

1、数数 学学 建建 模模河海大学理学院丁根宏引引 言言本章主要讨论建立数学模型的意义、本章主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，给读者以建立数学模型方法和步骤，给读者以建立数学模型初步的了解。初步的了解。一、从现实对象到数学模型原型和模型原型和模型原型（原型（prototype）指人们在现实世界里关）指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。心、研究或者从事生产、管理的实际对象。模型（模型（model）指为了某个特定目的将原型）指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提练而构造的原型的某一部分信息简缩、提练而构造的原型替代物。替代物。注意：为了某种目的构造模型，模型不是注意

2、：为了某种目的构造模型，模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。某种目的有关的那些方面和层次。模型的分类模型的分类l直观模型（如实物、玩具、照片）直观模型（如实物、玩具、照片）物质模型（形象模型）物质模型（形象模型）l物理模型（为了模拟实验）物理模型（为了模拟实验）模型模型l思维模型（经验形式）思维模型（经验形式）理想模型（抽象模型）理想模型（抽象模型） l符号模型（如地图、电路图、分子式）符号模型（如地图、电路图、分子式）l数学模型（由数字、字母或其它

3、数学符号组成的，数学模型（由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式，图形或算法）描述现实对象数量规律的数学公式，图形或算法）模型的定义模型的定义所谓所谓数学模型数学模型是指对现实世界的一个是指对现实世界的一个特定对象特定对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据，根据特有的特有的内在规律内在规律，做出一些必要的，做出一些必要的简简化假设化假设，运用适当的，运用适当的数学工具数学工具得到的得到的一个一个数学结构数学结构。建立数学模型的过程建立数学模型的过程数学模型是运用数学的语言和工具，对部数学模型是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据分现实世界的信

4、息（现象、数据）加以）加以翻译、归纳的产物，它源于现实，又高于翻译、归纳的产物，它源于现实，又高于现实。数学模型经过演绎、推断，给出数现实。数学模型经过演绎、推断，给出数学上的分析、预报、决策或控制，再经过学上的分析、预报、决策或控制，再经过解释，回到现实世界，最后，这些分析、解释，回到现实世界，最后，这些分析、预报、决策或控制必须接受实际的检验，预报、决策或控制必须接受实际的检验，完成实践完成实践理论理论实践这一循环，如果实践这一循环，如果检验的结果是正确的或基本正确的，就可检验的结果是正确的或基本正确的，就可以用来指导实际，否则，要重新考虑翻译，以用来指导实际，否则，要重新考虑翻译，归纳的

5、过程，修改数学模型。归纳的过程，修改数学模型。数学建模流程图数学建模流程图现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答（分析、预报、（分析、预报、决策或控制）决策或控制）表达（归纳）表达（归纳）解释解释验证验证求解（演绎）求解（演绎）二、国外数学建模情况（国外从70年代初）1、教学教学课程、教材课程、教材1 9 7 8 年 由年 由 s p r i n g e r 出 版 ， 国 防 科 大 翻 译出 版 ， 国 防 科 大 翻 译modeling in applied mathematics共共4卷卷ellis harwoodmath

6、and its applicationkapormathematical modeling数学国际会议，数学国际会议，1983年起，会议录由年起，会议录由harwood出版出版竞赛竞赛国外数学建模情况2、科研、科研会议会议 1977数学和计算机建模国际会议数学和计算机建模国际会议期刊期刊mathematical and computer modeling年刊年刊applied mathematical modeling siam review、siam newsj. of mathematical modeling for teacher三、国内数学建模发展的情况国内从国内从1983起，先驱有

7、肖树铁、叶其起，先驱有肖树铁、叶其孝、姜启源等孝、姜启源等我国从我国从1991年在上海等地区开展数学年在上海等地区开展数学建模竞赛的工作，建模竞赛的工作，1992年起由中国工年起由中国工业与应用数学学会主办全国大学生数业与应用数学学会主办全国大学生数学建模竞赛，从学建模竞赛，从1994年起由政府国家年起由政府国家教委（现为教育部）下达文件在全国教委（现为教育部）下达文件在全国高校中开展数学建模竞赛。高校中开展数学建模竞赛。我校数学建模发展的情况我校从我校从1993年起已连续十八年参加了年起已连续十八年参加了全国大学生数学建模竞赛，并取得了全国大学生数学建模竞赛，并取得了较好的成绩。较好的成绩。

8、四、数学建模发展迅速的主要原因1、花费少、设备少、周期短、花费少、设备少、周期短2、许多问题的解决只有建模是唯一途、许多问题的解决只有建模是唯一途径（如太阳表面温度、人体血液总量径（如太阳表面温度、人体血液总量等）等）数学建模发展迅速的主要原因3、以前发展慢的原因、计算工具（如、以前发展慢的原因、计算工具（如计算机速度慢、编程的复杂、不能解计算机速度慢、编程的复杂、不能解决符号的运算、图形学的问题），而决符号的运算、图形学的问题），而今高速、小型、智能、廉价计算机的今高速、小型、智能、廉价计算机的出现使数模发展迅速，注意数学建模出现使数模发展迅速，注意数学建模的美国五大工业：汽车、计算机、石的

9、美国五大工业：汽车、计算机、石油、飞机工业、机器制造油、飞机工业、机器制造五、建立数学模型的方法和步骤1、方法上大体分为两大类、方法上大体分为两大类机理分析：是根据对现实对象特性的认识，分机理分析：是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映机理的规律，建立的析其因果关系，找出反映机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。模型常有明确的物理或现实意义。测试分析：将研究对象视为一个测试分析：将研究对象视为一个“黑箱黑箱”系统，系统，内部机理无法直接寻求，可测量系统的输入内部机理无法直接寻求，可测量系统的输入（出）数据，并以此为基础运用统计分析方法，（出）数据，并以此为基础运用统计分

10、析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识（辨识（system identification）。）。建立数学模型的方法和步骤2、建立模型的大体过程建立模型的大体过程模型准备：了解问题的实际背景，明确模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息和统建模的目的，掌握对象的各种信息和统计数据等，弄清实际对象的特征，由此计数据等，弄清实际对象的特征，由此初步确定用哪一类模型。初步确定用哪一类模型。模型假设：根据对象的特征和建模的目模型假设：根据对象的特征

11、和建模的目的，对问题进行必要的合理的简化，并的，对问题进行必要的合理的简化，并用精确的语言做出假设，这是关键的一用精确的语言做出假设，这是关键的一步。步。建立数学模型的方法和步骤模型构成：根据所作假设，利用适当的模型构成：根据所作假设，利用适当的数学工具，构造各个量之间的关系或其数学工具，构造各个量之间的关系或其它数学结构，这里除需要上些相关学科它数学结构，这里除需要上些相关学科的专门知识外，还需要较广阔的应用数的专门知识外，还需要较广阔的应用数学方面的知识。学方面的知识。模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用建立模型过程建立模型过程模型准备模型准备模型假设模型假设模

12、型应用模型应用模型建立模型建立模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验六、六、建模示例例例1：椅子能在不平的地面上放稳吗？：椅子能在不平的地面上放稳吗？现实生活中，把椅子往不平的地面上一现实生活中，把椅子往不平的地面上一放通常只有三只脚着地，放不稳，然而放通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。着地，放稳了。模型假设：1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2、地面高度是连续变化的，沿任何方向地面高度是连续变化的，

13、沿任何方向都不会出现间断（没有象台阶那样的情都不会出现间断（没有象台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。况），即地面可视为数学上的连续曲面。3、对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。至少有三只脚同时着地。模型构成：建立模型的关键在于恰当建立模型的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的量，并把要证明的“着地着地”这个结论归结为某个简单这个结论归结为某个简单的数学关系。的数学关系。注意到椅子四脚连线呈正注意到椅子四脚连线呈正方形方形abcd

14、。中心点为。中心点为o，椅子绕椅子绕o点转动时，对角线点转动时，对角线ac与与x轴的夹角轴的夹角 来表示椅来表示椅子的位置，子的位置，“着地着地”就是就是椅脚与地面的距离等于椅脚与地面的距离等于0.yxc abdabcdo模型构成：距离是距离是 的函数，记的函数，记a、c两脚与地面两脚与地面距离之和为距离之和为g( )，b、d两脚与地面距两脚与地面距离之和为离之和为f( )，不失一般性，可设，不失一般性，可设g(0)=0，注意到椅子在任何位置总有，注意到椅子在任何位置总有三只脚可以着地，即对任意三只脚可以着地，即对任意 ，f( )和和g( )中总有一个为零，则中总有一个为零，则“稳定的椅稳定的

15、椅子子”可归结为下面的数学问题：可归结为下面的数学问题：模型构成：假设：假设：f( )、g( )是是 的连续函数，的连续函数，g ( 0 ) = 0 ， f ( 0 ) 0 ， 且 对 任 意， 且 对 任 意 ，f( ).g( )=0求证：存在求证：存在 0，使，使f( 0)=g( 0)=0证：令证：令h( )=f( )-g( )则则h(0)0, h( /2)1 c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; a=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0

16、 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub); a x=x q=-val plot(a,q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(q)to matlab（xxgh5）计算结果：计算结果：五、五、 结果分析结果分析4.4.在在a=0.006a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长 很快。在这一点右边，风险增加很大时

17、，利润增长很缓慢，所以对于风险和很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和 收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合， 大约是大约是a a* *=0.6%=0.6%，q q* *=20% =20% ，所对应投资方案为，所对应投资方案为: : 风险度风险度 收益收益 x0 x1 x2 x3 x4 0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 3.3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最曲线上的任一点都表示该风险水平的最

18、大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。2.2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即: : 冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。1.1.风险大，收益也大。风险大，收益也大。实验作业实验作业 某厂生产甲乙两种口味的饮料某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料每百箱甲饮料需用原料6千克千克,工人工人10名名,可获利可获利

19、10万元万元;每百箱乙饮料需用原料每百箱乙饮料需用原料5千克千克,工人工人20名名,可获利可获利9万元万元.今工厂共有原料今工厂共有原料60千克千克,工人工人150名名,又由于其又由于其他条件所限甲饮料产量不超过他条件所限甲饮料产量不超过8百箱百箱.问如何安排生产计划问如何安排生产计划,即即两种饮料各生产多少使获利最大两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论进一步讨论: 1)若投资若投资0.8万元可增加原料万元可增加原料1千克千克,问应否作这项投资问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料多获利若每百箱甲饮料多获利1万元万元,问应否改变生产计划问应否改变生产计划.第5章 无约束优化3.1预备知识预

20、备知识一、问题的提出一、问题的提出例例 选址问题：某市燃气公司计划要建一个选址问题：某市燃气公司计划要建一个煤气供应站，该站要向城市中有固定位置煤气供应站，该站要向城市中有固定位置的的m个用户供货。对于选定的坐标系而言，个用户供货。对于选定的坐标系而言，煤气供应站与煤气厂其坐标为煤气供应站与煤气厂其坐标为(0,0)相距不能相距不能超过超过20km，已知第，已知第i个用户的位置（坐标）个用户的位置（坐标）为（为（ai,bi），），i=1,m，如果只考虑直线距，如果只考虑直线距离，问如何确定这个煤气站的位置，才能离，问如何确定这个煤气站的位置，才能使总的运输距离最短？使总的运输距离最短？问题的提出

21、解：设煤气站的位置为（x1,x2）即求：22221122212120.)()(),(min xxtsbxaxxxfmiii一般形式：其中其中r=gj(x)0, j=1,2,m分类：线性规划，二次规划，非线性规划分类：线性规划，二次规划，非线性规划等等非线性规划又可分为非线性规划又可分为无约束非线性规划，有约束非线性规划。无约束非线性规划，有约束非线性规划。rxxf)(min xfnexmin 其中 1:eefn 标准形式：标准形式：求解无约束最优化问题的基本思想求解无约束最优化问题的基本思想求解的基本思想求解的基本思想 ( 以二元函数为例 )1x2x)(21xxf01x2x05310x1x2x

22、)(0xf)(1xf)(2xf连续可微 xfnexmax = minxfnex 多局部极小298.0f0f298.0f 唯一极小(全局极小)2122212121322)(xxxxxxxxf二、非线性规划的图示例106)()2()2()(min212221 xxxhxxxf三、极值问题局部极小点，全局极小点四、极值点存在的条件定理1（必要条件）定理2（充分条件） 则x*为f(x)的严格局部极小点。0*)(xf, 0*)(, 0zxhzzt 五、凸规划其中r=gj(x)0, j=1,2,m，这里f(x)为凸函数，gj(x)为凹函数。可以证明：上述r为凸集，其局部最优解x*即为全局最优解，而且其最优

23、解的集合形成一个凸集，当凸规划的目标函数f(x)为严格凸函数时，其最优解必定唯一。rxxf)(min3.2无约束非线性规划一、下降算法先给定一个初始估计x(0)，找x(1)，使f(x(1)0，取，取=0.618，k=0(2)若，若， 则停止，则停止，x* ak,bk；否则转；否则转(3)(3)计算计算sk=ak+(1-)(bk-ak) tk=ak+(bk-ak) 及及f(sk),f(tk)(4)若若f(sk)f(tk)，取，取ak+1=sk, bk+1=bk, sk+1=tk, f(sk+1)=f(tk),求求tk+1=ak+1+(bk+1-ak+1)及及f(tk+1)若若f(sk) f(tk

24、)，取，取ak+1=ak, bk+1=tk, tk+1=sk, f(tk+1)=f(sk),求求sk+1=ak+1+(1-)(bk+1-ak+1)及及f(sk+1)(5)令令k=k+1转转(2) |00ababkk0.618法p69例3用0.618法求fplot(x2+2*x, -3,5) grid -3-2-1012345-5051015202530350.618法k ak bk sk tk f(sk) f(tk)1 -3.000 5.000 0.056 1.944 0.115 7.6672 -3.000 1.944 -1.112 0.056 -0.987 0.115 3 -3.000 0.

25、056 -1.832 -1.112 -0.308 -0.987 4 -1.832 0.056 -1.112 -0.664 -0.987 -0.8875 -1.832 -0.664 -1.384 -1.112 -0.853 -0.9876 -1.384 -0.664 -1.112 -0.936 -0.987 -0.9967 -1.384 -0.936 -1.208 -1.112 -0.957 -0.9878 -1.208 -0.936 -1.112 -1.032 -0.987 -0.9999 -1.112 -0.936x*=(-1.112 -0.936)/2= -1.024三、无约束非线性规划1

26、.梯度法（最速下降法）（梯度法（最速下降法）（steepest descent method）1) 梯度法的基本原理梯度法的基本原理设无约束极值问题中的函数设无约束极值问题中的函数f(x)有一有一阶连续编导数，具有极小点阶连续编导数，具有极小点x*寻找寻找x(k)x*在点在点x(k)沿方向沿方向s(k)作射线作射线x=x(k)+s(k)梯度法f(x)在在x(k)处展成处展成taylor级数级数对于充分小的对于充分小的，只要，只要 f(x(k)ts(k)0，k=0(2)计算计算 f(x(k)，若，若| f(x(k)|，则停止，则停止，x*x(k)，否则转下一步，否则转下一步(3)令令s(k)=-

27、 f(x(k)，从，从x(k)出发，沿出发，沿s(k)进行一维搜索，求最佳步长进行一维搜索，求最佳步长k k(4)令令x(k+1)= =x(k)+k ks(k)，k=k+1, 转转(2)注：求最佳步长的三种方法(1)一维搜索法（如一维搜索法（如0.618法）法）(2)解析法（驻点法）解析法（驻点法）(3)公式法公式法公式法若若f(x)具有二阶连续偏导数，在具有二阶连续偏导数，在x(k)处处作作f(x(k)- f(x(k)的的taylor展式展式对对求导，并令其等于求导，并令其等于0，得近似最佳，得近似最佳步长步长)()()()()()()()()()(221)()()()()(kktkktkk

28、kkxfxhxfxfxfxfxfxf )()()()()()()()()()(kktkktkkxfxhxfxfxf 梯度法例例4 试用梯度法求试用梯度法求f(x)=(x1 1-1)2+(x2 2-1)2的极小点，的极小点，=0.1=0.12. 牛顿法设设x(k)是是f(x)的近似点，将的近似点，将f(x)在在x(k)点点作二阶作二阶taylor展开，得展开，得记右端记右端=(x)令令(x)=0得得此即为此即为newton迭代公式。迭代公式。)()()()()()()()()(21)()()(kktkktkkxxxhxxxxxfxfxf )()(0)()()(1)()()1()()()(kkkk

29、kkkxfxhxxxxxhxf 牛顿法算法步骤：牛顿法算法步骤：(1) 选定初始点nex 0，给定允许误差0，令 k=0；(2) 求kxf,12kxf,检验：若kxf,则 停止迭代,kxx*.否则, 转向(3)；(3) 令 kkkxfxfs12（牛顿方向） ； (4) kkksxx1,1 kk,转回(2). 如果f是对称正定矩阵a的二次函数，则用牛顿法经过一次迭代一次迭代就可达到最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步达到极值点，但由于这种函数在极值点附近和二次函数很近似,因此牛顿法的收敛速度还是很快的. 牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求hessian矩阵要可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大

30、了计算机计算量和存储量.3. 拟牛顿法（dfp）（davidon-fletcher-powell）方法：用方法：用hk+1近似代替近似代替h(x(k)-1，不，不需要求逆矩阵需要求逆矩阵公式见公式见p73。第6章 约束非线性规划一、基本概念一、基本概念 非线性规划的数学模型非线性规划的数学模型可行下降方向的概念可行下降方向的概念ljxhmixgtsxfji,.,2 , 1, 0)(,.,2 , 1, 0)(. .)(min二、最优性条件定理定理 (kuhn-tucker条件条件)设设x*是是nlp的可行解，的可行解，f, gi（iii起作用约束下起作用约束下标集标集）在）在x*可微，可微，gi

31、（i不属于不属于i）在）在x*连续，连续，hj（j=1,2,l）在）在x*连续可微，再假设连续可微，再假设 gi(x*)（iii）和）和 hj(x*)（j=1,2,l）线性无关。如线性无关。如果果x*是是nlpnlp的局部最优解，则存在的局部最优解，则存在i（iii）和）和j（j=1,2,l）使得使得 iixhxgxfiiiljjjii, 00*)(*)(*)(1 定理 (kuhn-tucker条件条件)如果设如果设gi（i不属于不属于i）在在x*也可微，则上述条也可微，则上述条件可改为：件可改为：称称x*为为k-t点。点。 mimixgxhxgxfiiiljjjmiii,.,1, 0,.,1

32、, 0*)(0*)(*)(*)(11 三、约束非线性规划问题的求解方法1. 1. 非线性规划的线性逼近非线性规划的线性逼近2 2制约函数方法（制约函数方法（sumtsumt）（sequential unconstrained minimization technique）(1)sumt外点法（罚函数法）外点法（罚函数法）对对minf(x)s.t. hj(x)=0, j=1,2,l 可转化为求：可转化为求：其中其中m是一个较大的正数。是一个较大的正数。ljjxhmxfmxt12)()(),(minsumt外点法对不等式约束，由于对不等式约束，由于gi(x)00等价于等价于min(0, min(0

33、, gi(x)=0,)=0,故一般非线性规划问题故一般非线性规划问题可转化为求：可转化为求：ljjmiixhmxgmxfmxt1212)()(, 0min()(),(min ljxhmixgtsxfji,.,2 , 1, 0)(,.,2 , 1, 0)(.)(minsumt外点法例例1 用外点法求用外点法求min(x-1)2s.t. x-200解：构造罚函数解：构造罚函数2*, 2)(,1121)(,1023)(,11)(,0121)(0)2(2)1(2,02)2( , 0min()1(),(22 xmxmmxmmxmmxmmmmxxmxdxdtxxmxmxt时时时时时时令令时时当当sumt外

34、点法例例2 用外点法求用外点法求minf(x)=x1+x2g1(x)=-x12+x200g2(x)=x100sumt外点法解：构造罚函数解：构造罚函数ttxmmmmmxxxmxtxxxxmxtggxxxmxxmxt)0 , 0(*,)21)1(41( ,)1(21()(0)(210)2)(21,02, 01), 0min()( , 0min(),(2221211221121222121 时时当当得得令令时时当当(2)sumt内点法(障碍函数法)对minf(x)s.t. gi(x)0, i=1,2,m构造或miixgrxfrxi1)(1)(),(miixgrxfrxi1)(ln)(),(sumt

35、内点法例例3 用内点法求用内点法求minf(x)=(1/12)(x1+1)3 + x2g1(x)=x1-100g2(x)=x200sumt内点法解：构造障碍函数解：构造障碍函数txxxrrxrxxixixrxixrxxirxixxrxxrxi)0 , 1(*, 0, 1,0,21, 0, 01)1()1(41),(min)111()1(121),(2121212222121121231 时时当当得得令令求求四、建模案例：飞行管理问题（95a）1. 问题的提出问题的提出2. 问题分析问题分析3. 模型假设模型假设4. 模型建立模型建立模型建立 从形式上看，本题属于最优控制问题（实从形式上看，本题

36、属于最优控制问题（实际是一个一般优化问题），而且有际是一个一般优化问题），而且有6个可控个可控制对象，相当复杂，因为可以在第制对象，相当复杂，因为可以在第6架飞机架飞机进入该正方形区域起至碰撞发生前任一时进入该正方形区域起至碰撞发生前任一时刻调整刻调整6架飞机中任一架、任二架、甚至六架飞机中任一架、任二架、甚至六架飞机的飞行方向，可以一次、二次、多架飞机的飞行方向，可以一次、二次、多次甚至不断地调整飞机的飞行方向角，因次甚至不断地调整飞机的飞行方向角，因而调整方案太多了，要进行优化，无疑似而调整方案太多了，要进行优化，无疑似大海捞针，所以首先要简化方案。大海捞针，所以首先要简化方案。1）两条结

37、论结论结论1：如果会发生碰撞，尽早调整一定优：如果会发生碰撞，尽早调整一定优于晚调整。于晚调整。（这一结论大大缩小了优化范（这一结论大大缩小了优化范围，原来可在一段时间的任一时刻进行调围，原来可在一段时间的任一时刻进行调整，而根据这一结论，仅需考虑开始采取整，而根据这一结论，仅需考虑开始采取行动就可以了。）行动就可以了。）结论结论2：如果会发生碰撞，则多次调整不如：如果会发生碰撞，则多次调整不如在第一次调整时调整到位好（在不超过调在第一次调整时调整到位好（在不超过调整幅度限制条件下）。整幅度限制条件下）。（根据这一结论优（根据这一结论优化范围进一步缩小了，原来的二次、三次、化范围进一步缩小了，原来的二次、三次、多次甚至不断调整的方案都可以不予考虑多次甚至不断调整的方案都可以不予考虑了。因为它们肯定不是问题的最