常微分方程试题库.

1、常微分方程一、填空题微分方程dy)ndyy2x20的阶数是 _1(dxdx答： 12若 M ( x, y) 和 N (x, y) 在矩形区域 R 内是 (x, y) 的连续函数 ,且有连续的一阶偏导数,则方 程 M ( x, y)dxN ( x, y)dy 0 有 只 与 y有关的积分因子的充要条件是_答：( MN )(1)( y)yxM3_称为齐次方程 .答：形如 dyg( y ) 的方程dxx4如果 f (x, y) _则, dyf (x, y) 存在dx唯一的解 y(x) ,定义于区间 x x0h 上,连续且满足初始条件 y0( x0 ) ,其中h _ .答：在 R 上连续且关于 y 满

2、足利普希兹条件hmin( a, b )m5 对于任意的( x, y1 ) , ( x, y2 ) R( R 为某一矩形区域), 若存在常数N(N 0) 使_ 则,称 f ( x, y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件 .答：f ( x, y1 )f (x, y2 ) N y1y26方程 dyx2y2 定义在矩形区域 R : 2x 2, 2 y2 上 ,则经过点(0,0) 的解的dx存在区间是 _11答：x447若 xi (t )(i1,2,.n) 是齐次线性方程的 n 个解 , w(t ) 为其伏朗斯基行列式 ,则 w(t) 满足一阶线性方程_1答： w'a1 (t)w08若 x

3、i (t )(i1,2,.n) 为齐次线性方程的一个基本解组，x(t) 为非齐次线性方程的一个特解 ,则非齐次线性方程的所有解可表为_n答： xcixixi19若 ( x) 为毕卡逼近序列n ( x) 的极限，则有( x)n ( x)_答： ML nhn 1( n1)!10_称为黎卡提方程，若它有一个特解y( x) ，则经过变换_ ，可化为伯努利方程答：形如 dy()y2( )y(x) 的方程yz ydxp xq xr11一个不可延展解的存在区间一定是区间答：开12方程 dyy1满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx答： D( x, y)R2 y0 ，（或不含 x 轴的上半平面）13方程 dy

4、x2 sin y 的所有常数解是dx答： yk, k0,1,2,14函数组 1 ( x),2 (x), ,n ( x) 在区间 I 上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间 I 上不恒等于零答：充分15二阶线性齐次微分方程的两个解y1 ( x), y2 ( x) 为方程的基本解组充分必要条件是答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16方程 y2 yy0 的基本解组是答： ex , xex217若 y(x) 在 (,) 上连续，则方程 dy(x) y 的任一非零解与dxx 轴相交答：不能18在方程 yp( x) yq( x) y0 中，如果 p( x) ， q( x) 在 (,) 上连

5、续，那么它的任一非零解在 xoy 平面上与 x 轴相切答：不能19若 y1 (x), y2 (x) 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点答：没有20方程 dy1y 2 的常数解是dx答： y121向量函数组 Y1 ( x), Y2 ( x), Yn ( x) 在其定义区间 I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式W ( x)0 ， xI 答：必要22方程 dyx2y 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx答：xoy 平面23方程 x( y 21)dxy(x 21)dy0 所有常数解是答： y1, x124方程 y4 y0 的基本解组是答： sin 2x, cos2 x25一阶微

6、分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线答： 2二、单项选择题1 n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（A）个3（A） n（ B） n - 1（C） n +1（D） n +22如果f ( x, y)，f ( x, y) 都在xoy平面上连续，那么方程dy(,) 的任一解的存在ydxf x y区间（ D）（A）必为 (,)（ B）必为 (0,)（C）必为 (, 0)（D）将因解而定3方程 dy1x 3y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D ）dx（A）上半平面（ B） xoy 平面（C）下半平面（ D）除 y 轴外的全平面4一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（C）（A）

7、不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解5.方程 dy1y2 过点 ( , 1)共有（B）个解dx2（A）一（B）无数（C）两（D）三6.方程 dyxy2 （ B）奇解dx（ A）有三个（ B）无（C）有一个（D） 有两个7 n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（A）线性空间（ A） n 维（B） n 1维（C） n 1 维（ D） n 2 维8方程 dy23 y3 过点（ A ）dx（A）有无数个解（ B）只有三个解（C）只有解 y0（ D）只有两个解9.f y ( x, y) 连续是保证 f ( x, y) 对 y

8、 满足李普希兹条件的（B）条件（ A）充分（B）充分必要（C）必要（ D）必要非充分10二阶线性非齐次微分方程的所有解（C）（A）构成一个 2 维线性空间（B）构成一个 3 维线性空间（ C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间411方程 dyy 的奇解是（D）dx（ A ） yx（B） y1（ C） y1（D） y012若 y1 (x) ， y2 ( x) 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（C）（A）1(x)2(x)（ ）1 (x)2 ( x)B（C）()()()（ ）C121D C 1 (x)2 ( x)xxx13 f y (x, y)

9、连续是方程 dyf (x, y) 初值解唯一的（ D）条件dx（ A）必要（B）必要非充分（C）充分必要（ D）充分14. 方程 dyy1（ C）奇解dx（ A）有一个（ B）有两个（C）无（D）有无数个15方程 dy23y 3 过点 (0, 0)有（ A）dx(A) 无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解 (D)只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1 dyyy3dxx解： dxx y3x y 211y3dydy，则x e y ( y 2 ey dy c) 所以 xcydyyy2另外 y0也是方程的解2求方程 dyx y 2 经过 (0,0) 的第三次近似解dx解： 0 ( x)01 (

10、x)xx0 2 ( x) dx1 x2022 ( x)xx1 2 ( x) dx1 x 21x5022053 ( x)x2 2 ( x) dx1 x 21x51x111x8x022044001603讨论方程 dyy2， y(1)1的解的存在区间dx解： dydxy2两边积分1xcy所以方程的通解为y1xc故过 y(1)1的解为y1x2通过点(1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在区间为(,2)4 求方程 ( dy ) 2y 210 的奇解dx解 : 利用 p 判别曲线得p2y 21 0消去 p 得 y 21 即 y12 p0所以方程的通解为y sin( x c), 所以 y

11、1是方程的奇解5 (cos x1 )dx( 1x2 ) dy0yyy解 :M =y 2 ,N = y 2,M =N, 所以方程是恰当方程 .yxyxucos x1xyx得 usin x( y)v1xyyyy 2uxy 2' ( y)所以 ( y)ln yy故原方程的解为sin xxyclny66 y 'y22 y sin xcos xsin 2x解 :y'y 22y sin xcos xsin 2 x故方程为黎卡提方程 .它的一个特解为y sin x,令 yzsin x ,则方程可化为 dzz2 , z1dxxc即 ysin x1, 故y sin x1ccxx7 (2

12、xy 23y 3 )dx(73xy 2 )dy0解 :两边同除以 y 2 得2xdx3ydx72dy3xdy0ydx 2d 3xyd 70y所以x 23xy7c ,另外y 0 也是方程的解y8 dyxydx1 x 2解当 y0时，分离变量得dyxdxy1 x2等式两端积分得12ln yln(1x )ln C即通解为y C 1 x29. dy 3 y e2x dx解 齐次方程的通解为y Ce 3 x令非齐次方程的特解为yC ( x)e3 x7代入原方程，确定出C (x)1 e5 x C5原方程的通解为y Ce 3x + 1 e2 x 510. dy y xy5 dx解方程两端同乘以y 5 ，得y

13、 5 dyy4xdxdydz ，代入上式，得令 y 4z ，则4 y 5dxdx1 dzxz4 dx通解为zCe 4 xx14原方程通解为y 4Ce 4xx1411 2xydx( x 2y2 )dy0解因为 M2xN ，所以原方程是全微分方程yx取 ( x0 , y0 )(0, 0)，原方程的通积分为xy2dy C2xydxy00即x2 y1y3C12 dy3y ln ydx解：当 y0， y1 时，分离变量取不定积分，得dydxC通积分为y ln yln yCex13 yy( y ) 23x208解原方程可化为( yyx 2 )0于是y dyx2C1dx积分得通积分为1 y 2C1 x1 x

14、3C22314 dy1( y ) 2ydxxx解：令 yxu ，则 dyux du ，代入原方程，得dxdxx du1u 2dx分离变量，取不定积分，得dudxln C（C 0）1u 2x通积分为： arcsin yln Cxx15 d yytanyd xxx解令 yu ，则 dyux du ，代入原方程，得xdxdxux duutan u ， x dutan udxdx当 tanu0 时，分离变量，再积分，得dudxln Ctan uxln sin uln xln C即通积分为：yCxsin16 dyyx1dxx解：齐次方程的通解为yCx令非齐次方程的特解为9yC (x)x代入原方程，确定出

15、C(x)ln xC原方程的通解为y Cx + xln x17.( x2 eyy)dxxdy0解积分因子为(x)1x 2原方程的通积分为x(exyydy C11x2 )dx0y即exC,C eC1x18 yy( y )20解：原方程为恰当导数方程，可改写为( yy )0即yyC1分离变量得ydyC1dx积分得通积分1y 2C1 x C2219 y ( xln y ) 1解令 yp ，则原方程的参数形式为x1ln ppypdyy ，有由基本关系式dx10dyy dxp(11 )dpp 2p(11 )dpp积分得y p ln pC得原方程参数形式通解为x1ln ppypln pC20 yyy 22x

16、0解 原方程可化为( yyx 2 )0于是y dyx 2C1dx积分得通积分为1 y 2C1x1 x3C 22321 (x 3xy 2 )dx(x 2 yy3 )dy0解：由于 M2xyN ，所以原方程是全微分方程yx取 ( x0 , y0 ) (0, 0)，原方程的通积分为x2 )dxy3dy C1( x3xyy00即x 42x2 y 2y4C四、计算题1求方程 yy1 ex 的通解2解对应的齐次方程的特征方程为：21011特征根为： 1 1, 21故齐次方程的通解为：y C1exC 2 e x因为1是单特征根所以，设非齐次方程的特解为y1 ( x)Axex代入原方程，有2AexAxexAx

17、ex1ex ， 可解出 A1 124故原方程的通解为yC1exC 2e xxex42求下列方程组的通解dx2 yxdtdy4y3xdt解方程组的特征方程为12A E034即23 20特征根为11，221 1对应的解为x1a1 ety1b1其中 a1 , b1 是11 对应的特征向量的分量，满足112a10341b10可解得 a1 1, b11同样可算出 22 对应的特征向量分量为 a2 2, b13 所以，原方程组的通解为12xet2e2tCCy1et23e2t3求方程 y5 ysin 5x 的通解解：方程的特征根为10，25齐次方程的通解为yC1C 2 e5x因为i5i 不是特征根。所以，设

18、非齐次方程的特解为y1 (x) A sin 5xB cos5x代入原方程，比较系数得25A25B125A25B0确定出 A1 ， B150501原方程的通解为y C1C 2 e5 x(cos 5x sin 5x)504求方程 y5y5x 2 的通解解对应齐次方程的特征方程为250 ，特征根为10 ，2 5 ，齐次方程的通解为yC1C 2 e5x因为0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1 (x)x( Ax 2BxC )代入原方程，比较系数确定出A1 ， B1 ， C22535原方程的通解为y C1C2 e5x1 x31 x 22 x3525五、证明题1在方程 dyf ( y)( y) 中，

19、已知f ( y) ，(x) 在 (,) 上连续，且( 1)0 求dx13证：对任意 x0 和 y01，满足初值条件y(x0 )y0 的解 y( x) 的存在区间必为 (,) 证明 : 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件显然 y1 是方程的两个常数解任取初值 (x0 , y0 ) ，其中 x0(,) , y01记过该点的解为yy( x) ，由上面分析可知， 一方面 yy( x) 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过 y1 ，下方不能穿过 y1，否则与惟一性矛盾 故该解的存在区间必为(,) 2设 y1 (x) 和 y2 ( x) 是方程 yq(

20、x) y 0 的任意两个解， 求证：它们的朗斯基行列式 W ( x)C ，其中 C 为常数证明 : 如果 y1( x) 和 y2 ( x) 是二阶线性齐次方程yp( x) yq( x) y0的解，那么由刘维尔公式有xW( x) W (x0 )ep (t )dtx 0现在， p( x)0 故有x0 dtW( x) W ( x0 )e x0W( x0 ) C3在方程 yp(x) yq( x) y0 中，已知 p( x) ， q( x) 在 (,) 上连续求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与 x 轴相切证明 : 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都

21、是 (,)显然，该方程有零解y(x)0 假 设该 方程 的 任 一非 零解 y1 ( x) 在x 轴 上 某 点 x0 处 与x 轴 相 切， 即 有y1 (x0 )y1 ( x0 ) =0 ， 那 么 由 解 的 惟 一 性 及 该 方 程 有 零 解 y( x)0 可 知14y1 (x)0, x(,) ，这是因为零解也满足初值条件y1 ( x0 )y1 (x0 ) = 0，于是由解的惟一性，有 y1 ( x)y( x)0, x(,) 这与 y1 (x) 是非零解矛盾4在方程 yp( x) yq(x) y0 中， p(x), q( x) 在 (,) 上连续，求证：若p( x) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W ( x) 是 (,) 上的严格单调函数证明 :设 y1 ( x) ， y2 (x) 是方程的基本解组，则对任意x