主元法破解极值点偏移问题

1、主元法破解极值点偏移问题2016 年全国 I 卷的第 21题是一道导数应用问题， 呈现的形式非常简洁， 考查了函数的双零点的 问题，也是典型的极值点偏移的问题 , 是考生实力与潜力的综合演练场虽然大多学生理解其题意， 但对于极值点偏移的本质理解的深度欠佳，面对此类问题大多感到“似懂非懂”或“云里雾里”所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元” ，将问题化归为该主元的函数、方 程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用作为一线的教育教学工作者，笔者尝试用主 元法破解函数的极值点偏移问题，理性的对此类进行剖析、探究，旨在为今后的高考命题和高考复 习教学提供一点参考 .一、试题再现及

2、解析（一）题目2（ 2016年全国 I 卷）已知函数 f x x 2 ex a x 1 2有两个零点（1） 求 a 的取值范围；（2） 设 x1,x2 是 f x 的两个零点，证明： x1 x2 2本题第（ 1）小题含有参数的函数 f x 有两个零点，自然想到研究其单调性，结合零点存在性定理求得a的取值范围是0, 第（2）小题是典型的极值点偏移的问题，如何证明呢？二）官方解析（2） 不妨设 x1 x2 ，由（ 1）知， x1,1 ,x21,2 x2,1 ， f x 在 ,1 上单调递减，所以 x1x2 2 等价于 f x1f2x2 ，即 fx2f 2 x2 由于 fx22x2ex2x2 1，而

3、 f x2x2x2e 2 a2x2 1 ，所以 fx2x2x2e2 x2x2x2 2 e 2所以当 x2xe2e，则 g1时，0，0，故当 x 1 时， gg10 从而 g x2x20 ，故 x1 x2 2 二、对解析的分析本问待证是两个变量的不等式，官方解析的变形是Xi2 x2，借助于函数的特性及其单调性,2x1，同理构构造以x2为主元的函数.由于两个变量的地位相同，当然也可调整主元变形为造以Xi为主元的函数来处理此法与官方解析正是极值点偏移问题的处理的通法.不妨设X1 X2，由（1）知，Xi,1 ,X21,2X11,f X在1, 上单调递增，所以X1X22等价于f X2f 2% ，即 fx

4、1f 2 x12 xe，则所以uu 10，即 f所以fXif X2Xi ；所以X2X1，即 X1X22.三、例谈主元法破解极值点偏移问题对文献1的四道例题，笔者都能运用主元法顺利破解，验证主元法破解极值点偏移问题的可行性.例1（2014年江苏省南通市二模第20题）设函数f XXe ax a，其图象与x轴交于A X1,0 , B X2,0 两点，且 X1X2.证明：f（1）求a的取值范围;为函数f X的导函数）解: (1) a，且 0 X1In ax2 , f x 在 0,lna上单调递减，在In a, 上单调递增;要证明fX|x220，即f因为f xXea单调递增，所以只需证In a，亦即 X

5、22ln aX1,只要证明fx2fX-!f 2Ina X-!即可;令 g x f x f 21 na x x Ina，则2x af 2In a x e x e2a 0,所以g x在0,ln a上单调递减，g xg In a 0，得证.例2(2010年天津理科21题)已知函数f (x) xe x x R .(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)(如果X! x2，且f (xj f (x2)，证明x-ix22.解：f (x)在 ,1上是增函数，在1,上是减函数,f (x)极小值1f(1)-；e证明:f (x) e x 1 x ,f (Xi)f(X2)，亦即"Xix?e，且X1 1欲证

6、明x1X22，即 x22Xi，只需证fX2Xi0,即fX xe因为0，所以,1上单调递增,0，得证.(2011年辽宁理科21题)已知函数f(x)In xax(2 a)x .(1)讨论f (x)的单调性;(2)证明：当0 x1-时，fa(3)若函数yf (x)的图象与x轴交于代B两点,线段AB中点的横坐标为X0，证明:f(X。)解:(1)若 a0 , f (x)在 0,上单调增加；若1a 0 , f (x)在0,-上单调递增，在a上单调递减;(2)(略)f (-) 0，a欲证明f(Xo)0，即f (x0)f (-)，只需证明 aXoX1X2，即 X1a只需证明f x2f X12X2a2由(2)得

7、 f x2a1X2 aX2f x2，得证.例4(2013年湖南文科第21题)已知函数1(3)由(1)可得a 0, f (x) - 2ax 2 a在0,上单调递减,x、1不妨设 A(X1,0), B(X2,0),0X1 X2，则 0 x1x2,a(1)求f X的单调区间;证明：当f X1X2X1 X2 时，X1X20.解：,0上单调递增，在0,上单调递减;(2)由(1)知当X1时,不妨设x1X2，因为fX1f X2，即-1X1X11x2，则X0x2要证明x1X2X20,只需证明f X1X2，即fX2X2而 f(x2)f ( X2)等价于(1 X2)e2血 1 X2令 g(x) (1 x)e2x

8、1 x x 0 ,则 g '(X)(1 2x)e2x4xe2x令 h(x) (1 2x)e2x 1，则 h (x)所以h(x)单调递减，h(x) h 00,即gx 0,所以g x单调递减,所以g X g0，得证.对文献3的例朱老师提供了 3种方法,笔者也可运用主元法顺利破解，请看以下解析，岂例5函数f xX4 ；x3与直线y a不更为简捷?a -交于 A(x1,a), B(x2,a)，证明:3x(x22.解：函数f Xx 4x1，则f x在,1上单调递减，在1, 上4单调递增，且f -3(1)Xi1,1X24，要证明X3X22，即XiX21，只需证明f x1X2，即 f X2f 2 x

9、 x 1，则 g16x31,上单调递增,(2)x10,X24，同理可证X1 X23得证.四、通法提炼，般地，主兀法破解极值点偏移冋题思路是:第一步：根据fX1f X2X1X2建立等量关系，并结合x的单调性，确定x1,x2的取值范围;第二步：不妨设X1 X2，将待证不等式进行变形， 进而结合原函数或导函数的单调性等价转化. 如 例1、例3中的待证是导函数的值的不等式，因此应用导函数的单调性等价转化，例2、例4中的待证是应用原函数的单调性等价转化；第三步：构造关于X1 （或X2）的一元函数T x f xif 2a人i 1,2，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明.五、通性通法

10、的感悟极值点偏移问题在高考中几乎年年可见，深受高考命题专家的青睐，年年岁岁意相似，岁岁年年题不同，属于高考高频题型对于此类问题的研究，多位方家已经作了探讨.文1从高等数学的视角阐述了问题的背景，指明并提炼出极值点偏移问题的解题策略：若f x的极值点为X0，则根据对称性构造一元差函数F X f X0 X f X0 X，巧借F X的单调性以及 F 00 ,借助于 fX1fX2fX0X0X2与 fx0x0x2f 2x0 x2 ,比较x2与2x0 x1的大小，即比较x0与竺X1的大小有了这种解题策略, 2我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩，但是，此解法并不利于学 生思维的提

11、升，比较突兀，有“模式化”的曲高和寡之嫌疑，显然不是自然的想法，“想说爱你不 容易”教师的自然想法却让学生屡屡想不到、想不通、学不会，加重其自卑感；顺应学生的思维， 才能对接学生的认知，贴近学生“最近发展区”，化用于无痕，活用于无间，妙用于无限，神用于 无形，走有限之路，饮不竭之泉.文2结合文1的四个例题验证了转化为对数平均的求解的可行性，提炼出极值点偏移问题的 又一解题策略：根据 f % f X2建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函 数，利用对数平均不等式链求解这种解题策略，师生都感到运算量繁杂，有一定的技巧要求，而 且对数平均数的不等式链也有超纲的嫌疑，在解答过程中存在能否直接运用的疑问4，“想你，我不会爱你！”其实，解决极值点偏移问题的上两种方法，实质上都是把双变量的等式或不等式转化为一元变 量问题求解，途径都是构造一元函数，因此，主元法才是破解极值点偏移问题的通法，亲切自然， 美感灵气这一点也可以从官方答案得到印证对于官方提供的参考答案，是命题专家经过反复考 量的，承载着新课程改革的理念和导向，渗透着创新精神和实践能力的培养，体现着高考改革的发 展趋向，同时也蕴含着命题者解题的思维历程，蕴含着其问题的本质我们多一份敬畏，将参考答 案激活，用“冰冷的美丽”促进学生“火