【2019最新】精选高三数学(理)二轮专题复习文档：专题八第2讲函数与方程、数形结合思想

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题八第 2 讲函数与方程、数形结合思想数学思想解读 1. 函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系， 刻画数量之间的本质特征， 在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题 . 有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程 ( 组) ，进而通过解方程 ( 组) 求得未知量 . 函数与方程思想是相互联系、相互为用的 .2. 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系， 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 . 数形结合思想的应用包括以下两个方

2、面： (1) “以形助数”， 把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质； (2) “以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确 .热点一函数与方程思想应用 1求解不等式、函数零点的问题【例 1】 (1) 设 0<a<1，e 为自然对数的底数，则a，ae，ea1 的大小关系为 ()A.ea1<a<aeB.ae<a<ea1欢迎下载。C.ae<ea1<aD.a<ea1<ae(2)(2018 ·湖南六校联考 ) 已知函数 h(x) xln x与函数 g(x) kx1 的图象在区间上有两个不同的

3、交点，则实数k 的取值范围是 ()A.1B. 1， 1 eC.(1 ，e1D.(1 ，)解析 (1) 设 f(x) exx1，x>0，则 f (x) ex1>0， f(x) 在(0 ， ) 上是增函数，且 f(0) 0，f(x)>0 ， ex1>x，即 ea1>a.又 yax(0<a<1) 在 R上是减函数，得 a>ae，从而 ea1>a>ae.(2) 令 h(x) g(x) ，得 xln x 1kx，即 ln x k.令函数 f(x) ln x ，若方程xln x kx10 在区间上有两个不等实根，则函数 f(x) ln x与 yk

4、 在区间上有两个不相同的交点，f (x) ，令 0 可得 x1，当 x时 f (x)<0 ，函数是减函数；当 x(1 ， e) 时， f (x)>0 ，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为 f(1) 1，而 f 1e，f(e) 1，又 1e>1，所以，函数的最大值为 e1. 所以关于 x 的方程 xln x kx10 在区间上有两个不等实根，则实数 k 的取值范围是 .答案(1)B(2)B探究提高1. 第(1) 题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题八第讲函数与方程、数形结合思想2.

5、 函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1) 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题 .(2) 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练 1】 (1) 设函数 f(x) cos x ，则方程 f(x) 所有实根的和为()A.0B.C.D.32(2)(2018 ·石家庄质检 ) 已知函数 f(x)是定义在 R上的偶函数，且当x0时， f(x) log2(1x) ，若 f(a2 1)<1 ，则实数 a 的取值范围是()A.( ， 0) (0 ， )B.( ， )C.( 1，0) (0 ， 1)D.(

6、 1，1)解析(1) 由 f(x) cos x ，得 cos x ，令 y， ycos x.在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点.方程 f(x) 的实根之和为 .(2) 依题意， f(x) 在( ， 0) 上单调递减，且 f(x) 在 R上是偶函数 . f(x) 在(0 ， ) 上是增函数，且 f(1) f( 1) 1.由 f(a2 1)<1 ，得 |a2 1|<1 ，解得 <a<0或 0<a<.答案(1)C(2)A应用 2函数与方程思想在数列中的应用3/133/13【例 2】 已知数列 an 是各项均为正数的等差数列.(1) 若 a12，且

7、 a2，a3，a41 成等比数列，求数列 an 的通项公式 an；(2) 在(1) 的条件下，数列 an 的前 n 项和为 Sn，设 bn ，若对任意的 nN*，不等式 bnk恒成立，求实数 k 的最小值 .解 (1) a1 2，aa2(a4 1) ，又 an 是正项等差数列，故 d0，(2 2d)2 (2 d)(3 3d) ，得 d2 或 d 1( 舍去 ) ，数列 an 的通项公式 an2n.(2) Sn n(n 1) ，则 .bn S2n1 .1 1 2n 2n 1令 f(x) 2x(x 1) ，则 f (x) 2>0 恒成立， f(x) 在1 ， ) 上是增函数，当 x1 时，

8、f(x)min f(1) 3，即当 n1 时， (bn)max .要使对任意的正整数 n，不等式 bnk恒成立，则须使 k(bn)max，实数 k 的最小值为 .探究提高 1. 本题完美体现函数与方程思想的应用，第 (2) 问利用裂项相消求 bn，构造函数，利用单调性求 bn 的最大值 .2. 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题八第讲函数与方程、数形结合思想公式与前 n 项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值 ( 范围 ) 问题的方法如下： (1) 由其表达式判断单调性，求出最值； (2) 由表达式不易判断单调

9、性时，借助 an1an 的正负判断其单调性 .【训练2】 (2018 ·东北三省四校二模 ) 已知等差数列 an 的公差d 1，等比数列 bn 的公比 q2，若 1 是 a1，b1 的等比中项，设向量 a(a1 ，a2) ，b(b1 ，b2) ，且 a·b 5.(1) 求数列 an ，bn 的通项公式；(2) 设 cn2anlog2bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn.解 (1) 依题设， a1b11，且 a·b5.即a1b1 1，a1b1（ a1 1） ·2b15.a11，解之得b11.数列 an 的公差为 d1，bn 的公比 q2，所以 ann

10、，bn2n1(n N*).(2)cn 2anlog2bn 2n·log22n 1(n 1)2n(n N)，Tnc1c2cn222×233×24(n1)2n2Tn232×243×25 (n 1)2n 1，两式相减得， Tn222324 2n(n 1)2n 1， (n 1)2n 1 4(2 n)2n 1，Tn(n2)2n14(nN*).应用 3函数与方程思想在几何问题中的应用5/135/13【例 3】 设椭圆中心在坐标原点， A(2，0) ，B(0，1) 是它的两个顶点，直线 ykx(k 0) 与 AB相交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点 .(

11、1) 若 6，求 k 的值；(2) 求四边形 AEBF面积的最大值 .解 (1) 依题意得椭圆的方程为 y21，直线 AB，EF的方程分别为 x2y2，ykx(k 0).如图，设 D(x0，kx0) ，E(x1，kx1) ，F(x2 ，kx2) ，其中 x1x2，且 x1，x2 满足方程 (1 4k2)x2 4，故 x2 x1. 由 6 知 x0x16(x2 x0) ，得 x0(6x2 x1) x2；由 D在 AB上知 x02kx02，得 x0. 所以，化简得 24k225k60，解得 k或 k.(2) 根据点到直线的距离公式和式知，点 E，F 到 AB的距离分别为h1，h2.又|AB| ，所

12、以四边形 AEBF的面积为S|AB|(h1 h2)·· 2（12k）14k2 222，【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题八第讲函数与方程、数形结合思想当且仅当 4k21(k 0) ，即当 k时，上式取等号 .所以 S 的最大值为 2.即四边形 AEBF面积的最大值为2.探究提高 几何中的最值是高考的热点， 在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个( 或者多个 ) 变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值 ( 范围 ) 问题的基本方法 .【训练 3】

13、(1)(2018 ·长沙一中质检 ) 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削， 加工成一个体积尽可能大的长方体新工件， 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为()A.B. 916C.D.12（21）3(2) 若点 O 和点 F( 2，0) 分别为双曲线 y21(a>0) 的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为 _.解析(1) 如图所示，原工件是一个底面半径为1，高为 2 的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形， 设正方形的边长为 a，长方体的高为 h，则 0<a<

14、，0<h<2.于是， h2a.令 f(a) V 长方体 a2h2a2a3，7/137/13 f (a) 4a3a2，令 f (a) 0，解得 a，易知 f(a)max f .材料利用率 .(2) 由 c2 得 a214，所以 a23.所以双曲线方程为 y21.设点 P(x，y)(x ) ， · (x ，y) ·(x 2，y)OP x22xy2x22x 1x22x1(x ).令 g(x) x22x1(x ) ，则 g(x) 在 ， ) 上单调递增 .g(x)min g() 32.所以·的取值范围为 3 2， ).答案(1)A(2)3 2，)热点二数形结合

15、思想应用 1在函数与方程中的应用【例 4】 (1) 记实数 x1，x2， ， xn 中最小数为 minx1 ， x2， ，xn ，则定义在区间 0 ， ) 上的函数 f(x) minx2 1，x3，13x 的最大值为 ()A.5B.6C.8D.10(2) 已知函数 f(x) 其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则m的取值范围是 _.【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题八第讲函数与方程、数形结合思想解析(1) 在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x 的图象如图：由图可知，在实数集 R上，minx2 1，x3，13

16、x 为 yx3 上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线 y13x点 C下方的部分的组合图 . 显然，在区间 0 ， ) 上，在 C点时， y minx2 1，x3，13x 取得最大值 .解方程组得点 C(5，8). 所以 f(x)max 8.(2) 作出 f(x) 的图象如图所示 . 当 x>m时，x22mx4m (x m)24mm2.要使方程 f(x) b 有三个不同的根， 则有 4mm2<m，即 m23m>0.又 m>0，解得 m>3.答案(1)C(2)(3 ，)探究提高1. 第(1) 题利用函数的图象求最值， 避免分段函数的讨论；第(2)

17、题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解 .2. 探究方程解的问题应注意两点： (1) 讨论方程的解 ( 或函数的零点 )一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2) 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合 .【训练 4】 若函数 f(x) 满足 f(x 1) ，当 x 1，0 时， f(x) x，若在区间 1， 1) 上， g(x) f(x) mxm 有两个零点，则实数 m的取值范围为 _.9/139/13解析x 1，0 时， f(x) x.当 x(0 ，1) 时， 1<x1<0， f

18、(x 1) x1，从而 x1. 因此， x(0 ，1) 时，f(x) 1，作出函数 f(x) 在 1，1) 上的图象，如图所示 . 因为 g(x) f(x) mxm 有两个零点 . yf(x) 的图象与直线 y m(x1) 在区间 1，1) 上有两个交点，又 kAB，由几何直观知0<m.1答案0，2应用 2数形结合求解不等式与平面向量问题【例 5】(1) 已知， | ， | t ，若点 P 是 ABC所在平面内的一点，且，则·的最大值等于()A.13B.15C.19D.21(2)(2018 ·西安调研 ) 已知变量 x，y 满足约束条件若z2xy 的最大值为2，则实数

19、m()A. 1B. 2C.1D.2解析(1) 以点A 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.则有 A(0，0) ，B，C(0，t) ，由可知 P(1，4) ，那么， ( 1，t 4) ，故·· ( 1，t 4) 4t 17 21713.【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题八第讲函数与方程、数形结合思想当且仅当 4t ，即 t 时等号成立 .(2) 将目标函数变形为 y 2xz，当 z 取最大值时，直线 y2xz在 y 轴上的截距最小，故当m时，不满足题意 .当 m>时，作出不等式组表示的平面区域， 如图阴影部分所

20、示 ( 含边界 ).y2xz 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z2xy 取得最大值.易求点 B，最大值为 z2× 2，解得 m1.答案(1)A(2)C探究提高1. 平面向量中数形结合关注点：(1) 能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2) 重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解 .2. 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象， 根据不等式中量的特点，选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题 .【训练 5】 (1) 当 x(1 ，2) 时， (x 1)2<logax恒成立，则实数 a的取值范围

21、是 _.(2) 已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足 (ac) ·(b c) 0，则 |c|的最大值是 ()A.1B.2C.D. 22解析(1) 由题意，易知 a>1.在同一坐标系内作出y (x 1)2 ，x(1 ， 2) 及 y11/1311/13logax 的图象 .若 ylogax 过点 (2 ，1) ，得 loga2 1，所以 a2.根据题意，函数 ylogax ，x(1 ，2) 的图象恒在 y(x 1)2 ，x(1 ，2) 的上方 .结合图象， a 的取值范围是 (1 ，2.(2) 因为 (a c) ·(b c) 0，所以 (a c) (b c). 如图所示，设 c， a， b， ac， bc，即.又因为，所以 O，A，C，B 四点共圆 . 当且仅当 OC为圆的直径时， |c| 最大，且最大值为 .答案(1)(1 ，2(2)C应用 3圆锥曲线中的数形结合思想【例 6】 已知抛物线的方程为x28y，点 F 是其焦点，点A(2，4)